分析集中趨勢 把握波動程度

來小靜 鄧涇河

以前，我們學(xué)習(xí)過平均數(shù)，知道平均數(shù)可以反映一組數(shù)據(jù)的平均水平，現(xiàn)在，我們將結(jié)合實際問題，探討用平均數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)等分析數(shù)據(jù)的集中趨勢.同時，我們還將研究方差這一統(tǒng)計量，了解數(shù)據(jù)的波動程度.

一、分析數(shù)據(jù)集中趨勢）

1.平均數(shù)

（1）算術(shù)平均數(shù)

意義：把一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的總和除以這組數(shù)據(jù)的個數(shù)所得的商.

應(yīng)用場景：當(dāng)所給數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn中各個數(shù)據(jù)的重要程度相同時，一般使用該公式計算平均數(shù)，

應(yīng)用特點：

（i）可了解一組數(shù)據(jù)的大致集中程度;

（ii）當(dāng)一組數(shù)據(jù)中最大的數(shù)據(jù)與最小的數(shù)據(jù)差距較大時，數(shù)據(jù)的集中程度可能受影響.

（2）加權(quán)平均數(shù)

應(yīng)用場景：當(dāng)所給數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn中各個數(shù)據(jù)的重要程度（權(quán)）不同時，一般選用加權(quán)平均數(shù)計算平均數(shù)，

權(quán)的意義：權(quán)就是數(shù)據(jù)的重要程度，常見的權(quán)有數(shù)值、百分?jǐn)?shù)、比值、頻數(shù)等.

應(yīng)用特點：

（i）可根據(jù)權(quán)把握一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.

（ii）可通過改變權(quán)的大小，改變一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.

（iii）組中值的意義：數(shù)據(jù)分組后，一個小組的組中值是指這個小組的兩個端點的數(shù)的平均數(shù).統(tǒng)計中常用各組的組中值代表各組的實際數(shù)據(jù).

2.中位數(shù)和眾數(shù)

（1）中位數(shù)

意義：將一組數(shù)據(jù)按照由小到大（或由大到小）的順序排列.如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)據(jù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù);如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間位置兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，

應(yīng)用場景：

（i）在一組互不相等的數(shù)據(jù)中，小于和大于它們的中位數(shù)的數(shù)據(jù)各占一半：

（ii）因為中位數(shù)在一組數(shù)據(jù)的“中間”，所以通過中位數(shù)可大致了解一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.

（2）眾數(shù)

意義：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)就是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

應(yīng)用場景：眾數(shù)可以是一個，也可以是多個（或沒有眾數(shù)）.

應(yīng)用特點：

當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有較多的重復(fù)數(shù)據(jù)時，眾數(shù)往往能更好地反映其集中趨勢.

3.平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的區(qū)別

（1）平均數(shù)能充分利用所有數(shù)據(jù)，但容易受極端值的影響.

（2）加權(quán)平均數(shù)受權(quán)的影響較大，改變權(quán)的大小，可改變加權(quán)平均數(shù).

（3）中位數(shù)計算簡單，不易受極端值的影響，但不能充分利用所有數(shù)據(jù).

（4）當(dāng)數(shù)據(jù)中某些數(shù)據(jù)重復(fù)出現(xiàn)時，人們往往關(guān)心眾數(shù)，但當(dāng)各個數(shù)據(jù)的重復(fù)次數(shù)大致相等時，眾數(shù)便沒有意義了.

二、把握數(shù)據(jù)波動程度）

應(yīng)用場景：要把握一組數(shù)據(jù)的波動情況時，應(yīng)用方差分析比較好.

應(yīng)用特點：

（1）方差越大，數(shù)據(jù)的波動越大;方差越小，數(shù)據(jù)的波動越小;

（2）當(dāng)一組數(shù)據(jù)同時加上一個數(shù)a時，其平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)也增加，但其方差不變：

（3）當(dāng)一組數(shù)據(jù)擴(kuò)大后倍時，其平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)也擴(kuò)大后倍，其方差擴(kuò)大k2倍;

（4）方差的運用要根據(jù)實際情況具體分析.

練習(xí)

1.有19位同學(xué)參加歌詠比賽，所得的分?jǐn)?shù)互不相同，取前10位同學(xué)進(jìn)入決賽.某同學(xué)知道自己的分?jǐn)?shù)后，要判斷自己能否進(jìn)入決賽，他只需知道這19位同學(xué)分?jǐn)?shù)的（?）.

A.平均數(shù)

B.中位數(shù)

C.眾數(shù)

D.方差

2.高臺跳水比賽有20位評委給選手打分.統(tǒng)計每位選手的得分時，會去掉一個最高分和一個最低分.這樣做，肯定不會對所有評委打分的哪一個統(tǒng)計量產(chǎn)生影響：（?）.

A.平均分

B.眾數(shù)

C.中位數(shù)

D.方差

3.某商場對上月筆袋的銷售情況進(jìn)行了統(tǒng)計.如下表所示：

商場經(jīng)理決定本月進(jìn)筆袋時多進(jìn)一些藍(lán)色的.經(jīng)理的這一決定應(yīng)用了哪個統(tǒng)計量：（?）.

A.平均數(shù)

B.方差

C.中位數(shù)

D.眾數(shù)

4.體育課上，兩名同學(xué)分別進(jìn)行了5次立定跳遠(yuǎn)測試.要判斷這5次測試中誰的成績比較穩(wěn)定，通常需要比較這兩名同學(xué)成績的（?）.

A.平均數(shù)

B.中位數(shù)

C.眾數(shù)

D.方差

5.陽光公司招聘面試后，參加面試的小明、小英議論他們所在小組的人的面試成績.小明說：“我們組成績是86分的人最多.”小英說：“我們組7位面試者成績排在最中間的恰好也是86分，”上面兩位面試者的話能反映出的統(tǒng)計量是（?）.

A.眾數(shù)和平均數(shù)

B.平均數(shù)和中位數(shù)

C.眾數(shù)和方差

D.眾數(shù)和中位數(shù)

6.某校要從甲、乙兩名跳遠(yuǎn)運動員中挑選一人參加全市中學(xué)生運動會.在最近的10次選拔賽中，他們的成績（單位：m）如下：

甲：5.85 5.96 6.10 5.98 6.12 5.97 6.04 6.00 6.13 6.01

乙：6.13 6.18 5.80 5.74 6.18 5.93 5.85 5.90 5.98 6.24

（1）甲、乙這10次比賽成績的方差分別是多少？

（2）這兩名運動員的運動成績各有什么特點？

（3）歷屆比賽表明，成績達(dá)到5.96 m就很可能奪冠.你認(rèn)為為了奪冠應(yīng)該選誰參加比賽？

（4）如果歷屆比賽成績表明，成績達(dá)到6.10m就能打破記錄，那么你認(rèn)為為了打破記錄應(yīng)選誰參加比賽？

（答案在本期找）