對《數(shù)學思考》一課疑難問題的思考與實踐

浙江省寧波市鄞州區(qū)潘火街道德培小學 朱 軍

一、思——新授課還是復(fù)習課

翻開人教版小學數(shù)學六年級下冊教科書《復(fù)習與整理》（P100），里面安排了這樣一個教學內(nèi)容：4 數(shù)學思考。

粗略一看，這一課是通過解決“6個點、8 個點，兩兩相連能連成幾條線段”的問題，讓學生化繁為簡，采用列表、畫圖、找規(guī)律等策略解決連線問題。如果不去看這一教學內(nèi)容在教材中的編排，很難想象這是一節(jié)總復(fù)習課。但在實際的教學中，許多教師把這節(jié)課當做新授課進行教學。

這樣定位的原因有以下幾個方面：第一，從編排的時間上看，這一課時安排在六年級下冊《整理與復(fù)習》中，可以看出這是一節(jié)復(fù)習課。第二，從配套的《教師用書》上看，翻開人教版小學數(shù)學《教師用書》，提到：“本套教材，從一年級下冊開始，每一冊都安排有一個單元“找規(guī)律”或“數(shù)學廣角”的內(nèi)容。其中‘找規(guī)律’是讓學生探索給定圖形或數(shù)字中簡單的排列規(guī)律?！當?shù)學廣角’中滲透了排列、組合、集合、等量代換、邏輯推理、統(tǒng)籌優(yōu)化、數(shù)學編碼、抽屜原理等方面的數(shù)學思想方法。在此基礎(chǔ)上，這里通過三道例題進一步鞏固、發(fā)展學生找規(guī)律的能力，分步枚舉組合的能力和列表推理的能力。”對此，不難看出這一課時是一節(jié)復(fù)習課，是借助例題5 這一素材幫助學生整理數(shù)學方法和數(shù)學思想。第三，從課后的練習上看，教材中的“做一做”安排了這樣一道練習。這道練習與上面例題的兩點連線問題屬于不同的題型，說明不是例題的專項練習，而是數(shù)學思考中其他數(shù)學方法和數(shù)學思想的補充。認識到這三點，也就能確定本節(jié)課的授課類型為復(fù)習課。

二、思——先整理復(fù)習還是先教學例題

確定這一課時是復(fù)習課，教師就要思考：是先整理復(fù)習？還是先教學例題？

如果先進行整理復(fù)習，則須對一至六年級學習中有關(guān)數(shù)學思考的內(nèi)容進行梳理。翻閱一至六年級人教版小學數(shù)學教科書，有關(guān)數(shù)學思考的內(nèi)容不僅多，而且比較散，有蘊含化繁為簡思想，有蘊含集合思想，還有蘊含代數(shù)思想等。再加上畫圖、列表、找規(guī)律等這些解決問題的策略，想將這些零散的知識點整理成框架存在很大困難，如果不整理，就失去復(fù)習課的意義，這也是許多教師很困惑的地方之一。

為此，我嘗試幾種不同方法的課堂實踐：或先整理復(fù)習數(shù)學思考的各種方法、策略等，再把例5 作為練習讓學生應(yīng)用；或先教學例5，再復(fù)習整理，然后將有關(guān)數(shù)學思考的方法、策略等整理成框架。經(jīng)過對比分析發(fā)現(xiàn)：先整理復(fù)習再解決例題的方法由于缺乏具體實例，學生很難回顧整理，而且在教學過程中依靠學生回憶對其來說較空洞，缺乏具象化。而先教學例5 再整理復(fù)習，因為有具體實例支撐，已經(jīng)有一部分的數(shù)學思考方法和策略呈現(xiàn)在黑板上，接著讓學生回憶以前所學數(shù)學思考的方法和策略，學生基本能夠回憶起來，相對來說容易很多。

由此可見，可以通過例5 教學先形成部分數(shù)學思考方法和策略，進而幫助學生回憶一至六年級課堂教學中，哪些問題也是運用了這樣的數(shù)學思考方法，這樣整理有了一個“半扶半放”的過渡，教學可操作性大大提高。

三、思——挖深一個復(fù)習點還是拓廣一片復(fù)習點

作為六年級總復(fù)習中的一節(jié)課，到底是挖深點，復(fù)習一個知識點？還是拓廣點，復(fù)習一整片相關(guān)的知識點？兩者有利有弊，挖深一個知識點容易讓學生深入掌握這節(jié)課的知識與技能，能夠在較短的時間里掌握好這一種方法；拓廣一點則可以打通學生對這一內(nèi)容的縱向聯(lián)系，融會貫通掌握這一類方法。

作為一節(jié)總復(fù)習課，它不同于單元復(fù)習，最重要的是讓學生聯(lián)系以往所學知識，綜合發(fā)展地看待問題。因此，我認為應(yīng)該從一個知識點入手，進而回顧整理小學階段相應(yīng)的數(shù)學思考內(nèi)容，將以前學過的數(shù)學方法、策略以及蘊含的數(shù)學思想都暴露出來，形成一整片相關(guān)知識，讓學生梳理并建構(gòu)數(shù)學思考的知識框架?；谶@樣的理念，我設(shè)計了以下主要教學環(huán)節(jié)。

1.【主要環(huán)節(jié)一】呈現(xiàn)問題，喚醒數(shù)學思考經(jīng)驗

（1）課一開始，創(chuàng)設(shè)這樣的情境：有一天老師仰望星空，突然想到一個數(shù)學問題，這么多的星星如果兩兩連起來，能連幾條線段？

（2）課件出示百點圖，提出問題：這里有100 顆星星，我們把它們看成100 個點，兩兩相連，最多能連幾條線段？

（3）讓學生大膽猜測。

生1：100×99=9900 條。

生2：100-1=99 條。

生3：100×99÷2=4950 條。

……

（4）進行質(zhì)疑：到底是多少條，我們可以怎么辦？用什么方法解決這個問題？喚醒學生平時解決此類問題的經(jīng)驗。

生1：可以畫一畫。

師：畫圖是一個好策略，讓學生畫一畫。

生：畫不下去了。

師：怎么不畫了？

生：100 個點太多不好畫。

師：100 個點連線畫圖很復(fù)雜，怎么辦？

生：點少一點會簡單一點。

師建議：你們覺得從幾個點開始研究比較好？

生1：從2 個點入手。

生2：2 個點知道了，我們再研究3 個點，4 個點……看看有沒有規(guī)律。

師及時表揚：厲害！想到從簡單的2 個點、3 個點、4 個點……開始研究，再找規(guī)律解決100 個點問題是個好方法，我們就試試這樣的方法能不能解決連線問題。

（5）呈現(xiàn)表格，學生進行探究。

?

【設(shè)計意圖】這一教學環(huán)節(jié)一方面喚起學生曾經(jīng)解決問題的數(shù)學方法和策略，另一方面通過交流、討論，讓學生明白復(fù)雜的問題我們可以從簡單入手，探求解決問題的方法和策略。

2.【主要環(huán)節(jié)二】解決難題，運用數(shù)學思考方法

（1）學生自主探究后，交流反饋，預(yù)設(shè)：

生1：直接連線，再數(shù)一數(shù)。

生2：有規(guī)律的連，按規(guī)律計算。

這里有規(guī)律的連有兩種情況：一種是每增加一個點，就會增加和前面點數(shù)相同的線段數(shù)；還有一種可能就是：從一個點出發(fā)能連幾條線，再依次從剩下的點出發(fā)能連幾條線。

其中有規(guī)律的連并找出規(guī)律是本節(jié)課的重點，我分8 個步驟進行：

第一，出示表格，提問：三個點能連成幾條線段？

第二，繼續(xù)追問，思考：3 條是怎么來的呢？

第三，討論交流，預(yù)設(shè)：

生1：原來兩個點連成有一條線，增加一個點以后就會和前面兩個點連兩條線，就是3 條。

生2：第1 個點可以連兩條線，第2 個點還能連一條線，這樣也是3條。

學生邊說教師邊課件演示。

第四，算式表征：教師小結(jié)這兩種方法雖然想法不一樣，但是都進行了有規(guī)律的連線，是好辦法。那這兩種想法能用算式表示出來嗎？

生1：1+2=3。

生2：2+1=3。

第五，尋找規(guī)律：4 個點連線的情況又是怎么樣的呢？5 個點的情況呢？

生1：3+2+1=6 或1+2+3=6。

生2：4+3+2+1=10 或1+2+3+4= 10。

第六，總結(jié)規(guī)律：這里的連線存在什么規(guī)律？

先讓學生四人小組討論，進而總結(jié)：每增加一個點，這個點可以和前面已有的每個點都連一條線段，所以前面有幾個點，就會增加幾條線段。還可以從一個點出發(fā)，能連除它以外的任意一個點，再依次減少直到1 為止。這樣兩種規(guī)律都是可以的。

第七，應(yīng)用規(guī)律，解決問題：再回到一開始提出的問題，如果有100個點，那么可以連幾條線段？

生：1+2+……+99 或99+98+……+1。

第八，優(yōu)化算法：教師提出思考，這樣的算式我們可以怎么計算。

生：（1+99）×99÷2=4950（條）。

【設(shè)計意圖】這個環(huán)節(jié)讓學生通過列表、畫圖、用算式表示等策略找到連線問題的規(guī)律，進而解決問題，看似解決一道題，其實在解決問題的過程中學生不斷運用各種解決問題的數(shù)學思考方法和策略，為下一步梳理數(shù)學思考做好鋪墊。

3.【主要環(huán)節(jié)三】回顧過程，梳理建構(gòu)數(shù)學思考框架

（1）教師引導學生回顧：“在解決這個難題的過程中，我們是怎么思考的呢？”

生交流討論：我們遇到難題的時候先化難為易，從簡單的兩個點出發(fā)，再通過列表、畫圖、算式等策略找到規(guī)律解決難題。

（2）師繼續(xù)追問：在我們小學數(shù)學學習過程中，還有沒有這樣的解決經(jīng)歷？

生1：打電話、植樹問題、雞兔同籠……都有用到化難為易的數(shù)學思考方法。

生2：我們學過找規(guī)律，先從簡單的開始找，再找復(fù)雜的。

生3：我們還可以畫圖、列表、計算等方法幫助我們思考。

師小結(jié)并板書：看來數(shù)學思考的方法和策略在我們解決問題的時候非常重要。復(fù)雜的問題我們可以從簡單入手，通過畫一畫、列表、算式表征等策略找到規(guī)律，并應(yīng)用規(guī)律解決復(fù)雜的問題。

【設(shè)計意圖】通過回顧解決問題的過程，喚起學生曾經(jīng)解決問題的數(shù)學思想方法和策略，讓學生發(fā)現(xiàn)原來我們六年的數(shù)學思考學習其實是有聯(lián)系的，很多地方用到的方法都是相同的，構(gòu)建數(shù)學思考的知識框架。

以上是我對這一節(jié)課的思考，經(jīng)歷了“思考—實踐—再思考—再實踐”這樣“三思三實踐”的過程。如果我們一線教師對每堂課的研究都能緊扣“三思三實踐”，相信教師們對教材的理解、對學生的了解一定能提高很 多。