從形美出發(fā)向神美邁進(jìn)
——《點(diǎn)陣中的規(guī)律》教學(xué)實(shí)錄（二）

魏峰

【教學(xué)內(nèi)容】

北師大版五年級(jí)上冊(cè)第98頁。

【教學(xué)過程】

一、課前交流

師：今天的數(shù)學(xué)課就從好玩的圖片開始，（如下圖）你看到什么了？

（圖一讓學(xué)生通過不同的角度看到兩張側(cè)臉和瓶子，圖二通過旋轉(zhuǎn)得到不同的人臉）

二、設(shè)疑導(dǎo)入

師：你能在10秒鐘內(nèi)說出下面式題的答案嗎？

師：同學(xué)們是不是覺得這是不可能的事情呢？今天我們就是要把這種不可能變成可能，變成一定能。

三、探求規(guī)律

1.引入點(diǎn)陣。

師：（課件出示10×10閱兵實(shí)景圖）同學(xué)們都見過閱兵的場(chǎng)景嗎？今天我們學(xué)習(xí)的圖形就隱藏在這些圖中，你看這些士兵的隊(duì)伍排得多整齊，如果把一個(gè)士兵看作一個(gè)點(diǎn)，那么這個(gè)兵陣就變成了一個(gè)點(diǎn)陣。這節(jié)課我們一起來研究點(diǎn)陣中的規(guī)律。（板書課題）

師：這個(gè)正方形有點(diǎn)大，我把它變小一點(diǎn)，可以去掉一些點(diǎn)，（邊演示邊問）去掉了多少？再去掉一些，又去掉了幾個(gè)點(diǎn)？……

2.探索正方形點(diǎn)陣排列的規(guī)律。

●活動(dòng)一：

屏幕上出現(xiàn)4×4的點(diǎn)陣。

師：現(xiàn)在這個(gè)點(diǎn)陣簡(jiǎn)單多了，你會(huì)列式計(jì)算出這個(gè)點(diǎn)陣嗎？

生：4×4。

師：按這樣的排列規(guī)律，前面一個(gè)點(diǎn)陣是什么樣的？再前面的呢？看來這組點(diǎn)陣有規(guī)律啊，到底有什么規(guī)律呢？誰來說一說？

生：這些點(diǎn)陣都是正方形，每行的點(diǎn)數(shù)與每列的點(diǎn)數(shù)相同。

生：從左往右看，后一個(gè)點(diǎn)陣的點(diǎn)數(shù)都比前一個(gè)點(diǎn)陣的點(diǎn)數(shù)多。

師：圖中的四個(gè)點(diǎn)陣各有幾個(gè)點(diǎn)？

生：第一個(gè)點(diǎn)陣有1×1＝1個(gè)點(diǎn)，第二個(gè)點(diǎn)陣有2×2＝4個(gè)點(diǎn)，第三個(gè)點(diǎn)陣有3×3＝9個(gè)點(diǎn)……

師：這組算式有什么共同的特點(diǎn)呢？

生：是第幾個(gè)點(diǎn)陣，每橫排就是幾個(gè)點(diǎn)，算式就是幾乘幾。

師：那么第五個(gè)點(diǎn)陣呢？第十個(gè)點(diǎn)陣呢？第n個(gè)點(diǎn)陣呢？

（板書：n×n）

小結(jié)：剛才我們是橫著看每排有幾個(gè)點(diǎn)和有幾排，很快算出了每個(gè)點(diǎn)陣中的點(diǎn)子數(shù)。是第幾個(gè)點(diǎn)陣就用幾乘幾。

●活動(dòng)二：

師：剛才我們用橫線分的方法發(fā)現(xiàn)了點(diǎn)陣中的規(guī)律，那么能不能換個(gè)角度觀察和思考，也用一組有規(guī)律的算式表示這一組點(diǎn)陣中的點(diǎn)子總數(shù)呢？這個(gè)任務(wù)我們分小組合作完成。

（學(xué)生自主或合作探究，教師巡視了解情況）

◆展示交流1：

生：我是用斜線劃分的。

師：用斜線劃分了幾個(gè)區(qū)域？每個(gè)區(qū)域的點(diǎn)子數(shù)是什么樣的規(guī)律呢？這組算式有什么共同的特點(diǎn)呢？

生：如第二個(gè)點(diǎn)陣就從1加到2再加回來，第3個(gè)點(diǎn)陣就從1加到3再加回來……

生：就是從1開始，連續(xù)的自然數(shù)相加，是第幾個(gè)點(diǎn)陣就加到幾，再反加到1。

◆展示交流2：

師：大家還有不同的方法嗎？還能換個(gè)角度去思考嗎？

生：我是用折線拐彎分的。如第二個(gè)點(diǎn)陣，用折線把點(diǎn)陣劃分了2個(gè)區(qū)域，點(diǎn)子總數(shù)是1＋3＝4。

師：第三個(gè)點(diǎn)陣呢？

生：點(diǎn)子總數(shù)是1＋3＋5＝9。

師：第四個(gè)點(diǎn)陣呢？

生：點(diǎn)子總數(shù)是1＋3＋5＋7＝16。

師：每個(gè)點(diǎn)陣的算式有什么規(guī)律呢？

生：都是奇數(shù)相加。

師：從奇數(shù)幾加起？加幾個(gè)？是隨意的幾個(gè)奇數(shù)相加嗎？

生：從奇數(shù)1加起，連續(xù)的奇數(shù)相加。

生：不是隨意的幾個(gè)奇數(shù)相加。

生：第幾個(gè)點(diǎn)陣就從1開始加幾個(gè)連續(xù)奇數(shù)。

小結(jié)：用折線把點(diǎn)陣分為了幾個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域的點(diǎn)子數(shù)都是奇數(shù)個(gè)，算式都是從1加起，是第幾個(gè)點(diǎn)陣就加幾個(gè)連續(xù)的奇數(shù)。

3.回顧方法。

師：（大屏出示點(diǎn)陣圖，三種算式）回顧一下，我們一開始是怎樣研究點(diǎn)陣的？是化繁為簡(jiǎn)，從10×10的點(diǎn)陣簡(jiǎn)化到4×4、3×3、2×2、1×1。我們用橫著看、斜著看、折著看三種不同的方法、不同的角度發(fā)現(xiàn)了不一樣的規(guī)律。如果點(diǎn)陣?yán)^續(xù)增加是不是還會(huì)有這樣的規(guī)律呢？那我們一起試著往后再看一個(gè)點(diǎn)陣圖好嗎？后一個(gè)點(diǎn)陣是幾乘幾呢？

生：橫線分，列式為5×5；斜線分，列式為1+2+3+4+5+4+3+2+1；折線分，列式為1+3+5+7+9。

師：為什么三個(gè)不同的算式的結(jié)果都是25？

生：都是同一個(gè)點(diǎn)陣。

師：你喜歡哪一種方法？為什么？

生：我喜歡第一種方法。因?yàn)橛?jì)算簡(jiǎn)便。

師：這三種算式有什么內(nèi)在聯(lián)系？

生：對(duì)于算式“1+2+3+4+5+4+3+2+1”我們可以用移多補(bǔ)少的方法變成5個(gè)5相加，就是5×5。

生：對(duì)于算式“1+3+5+7+9”我們也可以用移多補(bǔ)少的方法變成5個(gè)5相加，也是5×5。

師：由于觀察的角度不一樣，對(duì)于同樣一個(gè)點(diǎn)陣（教師指向第五個(gè)點(diǎn)陣），算點(diǎn)子總數(shù)：橫著看算式是5×5，斜著看算式是1+2+3+4+5+4+3+2+1，折線拐彎看算式是1+3+5+7+9。但結(jié)果都是25，還發(fā)現(xiàn)三個(gè)算式有內(nèi)在聯(lián)系，正所謂“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同，只要移多補(bǔ)補(bǔ)少，大小相等皆明了”??！

師：第六個(gè)點(diǎn)陣你能用三種方法列出算式嗎？第九個(gè)呢？第n個(gè)呢？

四、內(nèi)化規(guī)律

1.10秒鐘挑戰(zhàn)極限。

師：現(xiàn)在是一開始出現(xiàn)的10×10點(diǎn)陣圖。下面的算式你能快速算出結(jié)果嗎？

1+2+3+4+5+……10+……+4+3+2+1=？

1+3+5+7+9+…19=？

師：你怎么這么快？

生：這兩個(gè)算式就是我們自己研究的斜著看和折著看的計(jì)算方法。

師：10秒挑戰(zhàn)還有最后一題，誰來試試？

生：10000。

師：就是幾乘幾的點(diǎn)陣？

生：100×100的正方形點(diǎn)陣。

師：了不起。看來不可能的事同學(xué)們居然做到了，把有規(guī)律的算式與點(diǎn)陣建立了聯(lián)系，數(shù)形結(jié)合，化難為易，化抽象為形象。數(shù)形結(jié)合是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想。（板書：數(shù)形結(jié)合）接下來，我們繼續(xù)接受挑戰(zhàn)吧！

2.下面各點(diǎn)可以擺成正方形的點(diǎn)陣嗎？

A：32個(gè)點(diǎn)B：36個(gè)點(diǎn)C：48個(gè)點(diǎn)

D：81個(gè)點(diǎn)E：100個(gè)點(diǎn)F：1000個(gè)點(diǎn)

師：36個(gè)點(diǎn)是幾乘幾的點(diǎn)陣？81呢？100呢？

3.連一連。

五、總結(jié)提升

1.回顧總結(jié)。

師：學(xué)完本課，有什么收獲？

2.拓展延伸。

師：除了剛才我們看到的正方形點(diǎn)陣、三角形點(diǎn)陣、長方形點(diǎn)陣這些平面上的點(diǎn)陣，數(shù)學(xué)家還將研究領(lǐng)域拓展到空間中。（課件出示以下平面及空間點(diǎn)陣）漂亮吧，可以說點(diǎn)陣應(yīng)用于生活的方方面面，生活中處處有數(shù)學(xué)。

師：同學(xué)們，我們要學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光去觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維去思考世界，用數(shù)學(xué)的語言去表達(dá)世界。