數(shù)形結(jié)合百般好
——《點(diǎn)陣中的規(guī)律》教學(xué)實(shí)錄（一）

洪喬

【教學(xué)內(nèi)容】

北師大版五年級(jí)上冊(cè)第98頁(yè)。

【教學(xué)過程】

一、計(jì)算比賽，激趣導(dǎo)入

師：先來做個(gè)小調(diào)查，咱們班誰(shuí)計(jì)算速度最快？誰(shuí)動(dòng)作最快？

（選一位學(xué)生速算，再選一位學(xué)生用計(jì)算器計(jì)算，與教師比賽）

師：請(qǐng)看大屏幕中的題，任選其中一題進(jìn)行比賽。其他同學(xué)看清楚了，你們是評(píng)委哦！

（比賽結(jié)果：教師獲勝）

師：想知道獲勝的秘訣嗎？

生：想。

師：老師把這道計(jì)算題轉(zhuǎn)化成了一個(gè)正方形點(diǎn)陣，只要用一句乘法口訣就能很快地算出答案，這種學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法叫做數(shù)形結(jié)合。（板書）

二、化難為易，獲得經(jīng)驗(yàn)

1.揭示數(shù)點(diǎn)數(shù)要找規(guī)律。（動(dòng)畫依次呈現(xiàn)三角形點(diǎn)陣）

師：我們一起來數(shù)一數(shù)，這些圖形是由幾個(gè)點(diǎn)組成的？

生：第一個(gè)點(diǎn)陣是由1個(gè)點(diǎn)，第二個(gè)點(diǎn)陣由3個(gè)點(diǎn)，第三個(gè)點(diǎn)陣由6個(gè)點(diǎn)，第四個(gè)點(diǎn)陣由10個(gè)點(diǎn)，第五個(gè)點(diǎn)陣？第六個(gè)？第七個(gè)？

師：聲音怎么不整齊了？怎么回答不出來了？原來咱們還沒有發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，今天我們就來學(xué)習(xí)點(diǎn)陣中的規(guī)律。（板書）

2.探索點(diǎn)陣內(nèi)分組找規(guī)律的方法。

師：第三個(gè)點(diǎn)陣是怎么數(shù)的？

生：橫著數(shù)1+2+3=6。

生：斜著數(shù)也是1+2+3=6。

（學(xué)生回答的同時(shí)，教師用課件的熒光筆涂色，進(jìn)行分組）

師：我們從上往下觀察這些點(diǎn)陣，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：從上往下看每個(gè)點(diǎn)陣，一層比一層多一個(gè)點(diǎn)。

師：我們?cè)購(gòu)淖笸矣^察每個(gè)點(diǎn)陣的算式，你又有什么發(fā)現(xiàn)？

生：從左往右看每個(gè)算式，后一個(gè)加數(shù)比前一個(gè)加數(shù)多一。

師：這些算式都是由點(diǎn)陣得到的，我們一起來說一說吧。

齊說：第一個(gè)點(diǎn)陣是1，第二個(gè)點(diǎn)陣是1+2，第三個(gè)點(diǎn)陣是1+2+3，第四個(gè)點(diǎn)陣是1+2+3+4，第五個(gè)點(diǎn)陣是1+2+3+4+5，……第N個(gè)點(diǎn)陣是1+2+3+……+N。

師：第七個(gè)點(diǎn)陣的算式應(yīng)該從1一直加到幾？怎樣列式？

生：從1一直加到7，算式是1+2+3+4+5+6+7。

小結(jié)：對(duì)于這組三角形點(diǎn)陣，我們可以任取一個(gè)三角形采用分組的方法來研究，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)陣中的規(guī)律是：一層比一層多一，那么相對(duì)應(yīng)的算式中的規(guī)律是：從1開始，后面一個(gè)加數(shù)比前面一個(gè)加數(shù)依次多一，是第幾個(gè)點(diǎn)陣就加到幾。

三、自主探究，構(gòu)建模型

師：請(qǐng)拿出學(xué)習(xí)卡。這是一組正方形點(diǎn)陣，請(qǐng)同桌兩人共同探索規(guī)律，寫出相應(yīng)的算式，并說說點(diǎn)陣與算式之間的規(guī)律。

（同桌兩人運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，共同探討規(guī)律，教師巡視，手機(jī)拍照展示學(xué)生的探索結(jié)果）

1.橫著看，找規(guī)律。

師：說說你是怎么找規(guī)律的？

生：我是橫著看找規(guī)律的，第一個(gè)點(diǎn)陣是1個(gè)1，所以列式1×1；第二個(gè)點(diǎn)陣是2個(gè)2，所以列式是2×2；第三個(gè)點(diǎn)陣是3個(gè)3，所以列式是3×3；第四個(gè)點(diǎn)陣是4個(gè)4，所以列式是4×4。

（課件同步演示：1×1，2×2，3×3，4×4）

師：那么第八個(gè)點(diǎn)陣的算式怎樣列呢？有多少個(gè)點(diǎn)？

生：8×8=64。

師：這個(gè)正方形點(diǎn)陣與算式之間有什么聯(lián)系嗎？

生：第一個(gè)點(diǎn)陣是1×1，第二個(gè)點(diǎn)陣是2×2，第三個(gè)點(diǎn)陣是3×3，第四個(gè)點(diǎn)陣是4×4……第N個(gè)點(diǎn)陣是N×N，第幾個(gè)點(diǎn)陣算式就是幾乘幾。

2.斜著看，找規(guī)律。

師：還有不同的方法嗎？

生：斜著看，找規(guī)律，第一個(gè)點(diǎn)陣是1，第二個(gè)點(diǎn)陣是1+2+1，第三個(gè)點(diǎn)陣是1+2+3+2+1，第四個(gè)點(diǎn)陣是1+2+3+4+3+2+1。（學(xué)生邊說教師邊同步出示算式）

師：仔細(xì)觀察第三個(gè)點(diǎn)陣，我們把正方形沿對(duì)角線分成了兩個(gè)三角形，就成了我們之前研究的三角形點(diǎn)陣，誰(shuí)知道正方形的這條對(duì)角線的點(diǎn)數(shù)對(duì)應(yīng)在算式里的什么數(shù)嗎？

生：對(duì)應(yīng)算式里的3。

師：誰(shuí)能說說點(diǎn)陣與算式之間的規(guī)律？

生：點(diǎn)陣中的點(diǎn)數(shù)依次多一，然后又依次減一。相對(duì)應(yīng)的算式也是依次加一，然后又依次減一。

師：還有不同的發(fā)現(xiàn)嗎？

生：第二個(gè)點(diǎn)陣最大數(shù)是2，第三個(gè)點(diǎn)陣最大數(shù)是3，第四個(gè)點(diǎn)陣最大數(shù)是4……那么第N個(gè)點(diǎn)陣最大加數(shù)就是N。

師：誰(shuí)能說說第五個(gè)點(diǎn)陣相對(duì)應(yīng)的算式嗎？

生：1+2+3+4+5+4+3+2+1。

3.拐彎看，找規(guī)律。

師：這組正方形點(diǎn)陣，你還能列出不一樣的分組方法嗎？

（展示學(xué)生拐彎分的涂色方法，并課件動(dòng)畫出示1個(gè)點(diǎn)、3個(gè)點(diǎn)、5個(gè)點(diǎn)、7個(gè)點(diǎn)，最后組成了正方形點(diǎn)陣）

師：你會(huì)根據(jù)這種分法列出相應(yīng)的算式嗎？

生：第二個(gè)算式是1+3，第三個(gè)算式是1+3+5，第四個(gè)算式是1+3+5+7。

師：你發(fā)現(xiàn)算式中各數(shù)有什么特點(diǎn)嗎？

生：是一組連續(xù)奇數(shù)的和。

師：再觀察點(diǎn)陣與算式之間有什么規(guī)律嗎？（如果學(xué)生發(fā)現(xiàn)不了，可以啟發(fā)：圖形被折線分成了幾組？所以算式中就有幾個(gè)數(shù)？）

生：第二個(gè)點(diǎn)陣被分成了2組，所以算式中有2個(gè)數(shù)相加。第三個(gè)點(diǎn)陣被分成了3組，所以算式中有3個(gè)數(shù)相加。第四個(gè)點(diǎn)陣被分成了4組，所以算式中有4個(gè)數(shù)相加。

師：第N個(gè)點(diǎn)陣，就是從1開始的N個(gè)連續(xù)奇數(shù)相加。

師：剛才我們是在同一個(gè)點(diǎn)陣內(nèi)找規(guī)律的。我們還可以與前一個(gè)點(diǎn)陣比較來看，還有其他找規(guī)律的方法嗎？

生：發(fā)現(xiàn)第二個(gè)點(diǎn)陣比前面一個(gè)點(diǎn)陣新增了3個(gè)點(diǎn)，所以在前一個(gè)點(diǎn)陣的算式后面加3。第三個(gè)點(diǎn)陣比前面的點(diǎn)陣新增了5個(gè)點(diǎn)，所以在前一個(gè)點(diǎn)陣的算式后面加5。第四個(gè)點(diǎn)陣比前面一個(gè)點(diǎn)陣新增了7個(gè)點(diǎn)，所以在前一個(gè)點(diǎn)陣的算式后面加7。

師：原來我們橫向比較也能發(fā)現(xiàn)規(guī)律，列出相對(duì)應(yīng)的算式?，F(xiàn)在老師要來考考你們了，第五個(gè)點(diǎn)陣相對(duì)應(yīng)的算式誰(shuí)會(huì)列？

生：1+3+5+7+9。

四、揭示秘訣，固化新知

1.探索三個(gè)算式間的聯(lián)系。

師：（結(jié)合板書）橫著看，列式是4×4；斜著看，列式是1+2+3+4+3+2+1；拐彎看，列式是1+3+5+7，結(jié)果都是多少？為什么？

生：16，都是同一個(gè)點(diǎn)陣。

生：把后兩個(gè)算式通過移多補(bǔ)少或重新配對(duì)可變成4個(gè)4。

師：這三種方法中，你最喜歡哪種分法？為什么？

生：第一種，計(jì)算最簡(jiǎn)便。

2.揭示比賽獲勝秘訣。

師：這些算式都是同一個(gè)正方形點(diǎn)陣，所以在計(jì)算時(shí)，老師把這些算式都轉(zhuǎn)化成了正方形的第一種分法，直接用乘法口訣4×4=16，就很快算出答案了。你現(xiàn)在知道前面人機(jī)大戰(zhàn)老師獲勝的秘訣了嗎？

生：老師都是看算式想是幾乘幾的點(diǎn)陣，是幾乘幾的點(diǎn)陣就用幾乘幾算出結(jié)果。

師：大家說一說人機(jī)大戰(zhàn)中六個(gè)算式各是幾乘幾的點(diǎn)陣？

3.小結(jié)。

師：原來數(shù)形結(jié)合可以這么巧妙地解決數(shù)學(xué)問題，難怪中國(guó)現(xiàn)代“數(shù)學(xué)之父”華羅庚用他樸素的語(yǔ)言作了一首七言絕句。（課件展示）

五、延伸應(yīng)用，形成策略

1.我們來看一看這道題：比一比，看誰(shuí)算得又對(duì)又快。

課件出示：

（1）1+2+3+……+20+……+3+2+1

生：都等于20×20=400。

師：看到這樣的算式，你能想到什么樣的點(diǎn)陣呢？

生：一排20個(gè)點(diǎn)，共有20排。

2.請(qǐng)按長(zhǎng)方形點(diǎn)陣中的規(guī)律填空。

六、聯(lián)系生活，結(jié)課欣賞

1.欣賞圖片。

2.請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)點(diǎn)陣，看你的爸爸、媽媽或同學(xué)能不能找出你設(shè)計(jì)的規(guī)律？