彭羅斯鑲嵌與建筑生成探討

張旭穎，靳銘宇

(北方工業(yè)大學(xué) 建筑與藝術(shù)學(xué)院，北京 100144)

1 引言

鑲嵌圖形在建筑中已被廣泛應(yīng)用，但人們對其數(shù)學(xué)原理知之甚少，對其在建筑中應(yīng)用方式也缺乏創(chuàng)新，本文從數(shù)學(xué)理論在建筑中應(yīng)用的層面，通過對鑲嵌圖形原理的論述與對建筑中鑲嵌理論實際應(yīng)用案例的分析，以彭羅斯鑲嵌為重點，展現(xiàn)數(shù)學(xué)理論對建筑生成的創(chuàng)新方法與意義，為建筑生成提供借鑒。

2 鑲嵌圖形的原理與特點

圖形的拼接是一種常見的裝飾，從中國古建的門窗格柵到現(xiàn)代墻壁上的瓷磚，從伊斯蘭世界的地毯到中國的刺繡，美輪美奐的鑲嵌圖形以其特有的幾何魅力在裝飾界深深吸引著人的注意。鑲嵌圖形在建筑裝飾中的應(yīng)用歷史悠久。數(shù)學(xué)幾何作為裝飾元素經(jīng)久不衰，研究其內(nèi)在原理，剖析鑲嵌的基本結(jié)構(gòu)，對鑲嵌在裝飾上的應(yīng)用會有更深層次的理解。

空間鑲嵌的形式是指依據(jù)某種對稱性秩序的空間規(guī)律，重復(fù)排列某一“單元形”，使其能夠不留任何縫隙且完全無重疊地填滿自身所在的整個空間，在二維空間中的鑲嵌又叫做圖形的密鋪[1]。根據(jù)鑲嵌所主導(dǎo)的對稱操作的不同，鑲嵌又可以分為兩大類：由平移所主導(dǎo)的周期性鑲嵌和由平移與旋轉(zhuǎn)共同主導(dǎo)的準(zhǔn)周期鑲嵌[2]。

這些特殊的圖案形成來源于一個思考：如何用一種或幾種圖形來鋪滿整個平面？顯然，正方形、正三角形和正六邊形是可以進(jìn)行平面的密鋪的，它們的內(nèi)角分別為90°、60°和120°，以一個角點為拼接點的話可以鋪滿360°，這些由平移主導(dǎo)的鑲嵌圖案就是被稱為周期性鑲嵌的平面圖形的密鋪；而正五邊形在進(jìn)行平鋪時，不能做到無縫拼接，因為五邊形的每個角的度數(shù)為108°，如果三個五邊形進(jìn)行拼接，那么三個五邊形的角度之和為324°，如果4個五邊形進(jìn)行拼接的話，那么四個角的度數(shù)之和為432°，均不等于360°，因此，只用單純的正五邊形無法進(jìn)行平面的無縫的周期性平鋪，見圖1。

但是，如果采用另一種形狀如來補(bǔ)全正五邊形拼接圖案的缺口的話，即可得到密鋪的平面。實際上，若采用多種形狀的瓷磚組合，就能得到無窮盡的密鋪方案。這種方法得出的圖案與正方形所密鋪的圖案又有所不同，正方形所組成的圖案具有平移對稱性[3]，它由平移操作所主導(dǎo)，可以通過圖形平移得出，是周期性的，而采用多種形狀組合的圖案則可能是非周期性的，它并不能通過一個單元重復(fù)平移得到。

圖1 正多邊形的密鋪

這就使得平面密鋪圖案有了更多的變化。不同于對稱與重復(fù)的美感，非周期平面圖形密鋪帶來了一種充滿數(shù)學(xué)奧妙的圖案，它看似有規(guī)律卻找不出重復(fù)的單元，圖形在平面上不斷拼貼卻永沒有重復(fù)的圖案，如同無理數(shù)一樣永不循環(huán)，但相比與直白的數(shù)字又多了些幾何的美感。對于建筑師來說這是一種新的美學(xué)，數(shù)學(xué)家則致力于研究采用更少的圖形得出非周期性的平面圖形密鋪。

3 準(zhǔn)周期鑲嵌

1973年，英國的數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家羅杰·彭羅斯(rogerpenrose)提出了一種具有5次旋轉(zhuǎn)對稱的拼圖。他發(fā)現(xiàn)正五邊形可以分割為6個小的正五邊形和5個三角形，對小五邊形進(jìn)行再一次分割后就產(chǎn)生了一個五角星形和一個類似帆船的形狀。利用這四個形狀，就能不重復(fù)地對平面進(jìn)行密鋪。這就是由平移與旋轉(zhuǎn)共同主導(dǎo)的準(zhǔn)周期鑲嵌，見圖2。

圖2 P1型彭羅斯鑲嵌

第二年，彭羅斯對這些形狀進(jìn)行了修改，只運(yùn)用了兩種不同的圖案，就創(chuàng)造出了一種新型的拼接方式。他將一個菱形分割成兩部分，這兩種圖案分別形象地被稱為“風(fēng)箏”和“飛鏢”，見圖3。

圖3 a“風(fēng)箏”，b“飛鏢”

從圖中可以看出，一個內(nèi)角分別為72°，108°，72°，108°的菱形，由上圖中的分割方法分割成飛鏢形和風(fēng)箏形，飛鏢形的內(nèi)角為分別為36°，72°，36°和216°，風(fēng)箏形的內(nèi)角分別為72°，144°，72°和72°。這些角的°數(shù)，都是36°的整數(shù)倍，這幾種度數(shù)通過不同的組合方法，都可以組成360°，而且，菱形的四條邊具有等長性，且分割出的飛鏢和風(fēng)箏的邊都有互相對應(yīng)的等長的邊。邊緣可以完全對應(yīng)，角度也可以完全對應(yīng)，因此，飛鏢形和風(fēng)箏形可以進(jìn)行平面的無縫拼接，見圖4、5。

圖4 P2型彭羅斯鑲嵌，由“風(fēng)箏”和“飛鏢”組成

圖5 P2型彭羅斯鑲嵌

彭羅斯創(chuàng)造出的第3種非周期平面圖形密鋪方案是由一個36°、72°菱形和一個72°、108°菱形構(gòu)成的。這三種鑲嵌方式本質(zhì)上都是五重旋轉(zhuǎn)[4]，只是表現(xiàn)形式不同。這些鑲嵌方式以發(fā)現(xiàn)者彭羅斯的名字進(jìn)行命名，被稱之為“彭羅斯鑲嵌”，它們都與數(shù)學(xué)中的黃金分割[5]有關(guān)。彭羅斯發(fā)明的這種圖案的拼接方式，實際上是把人工發(fā)明的黃金比例的數(shù)學(xué)概念與日常生活中的數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)到了一起。第一種類型的彭羅斯鑲嵌是通過五邊形的不斷膨脹不斷延伸而成，它的膨脹率為黃金分割值的平方，第二種彭羅斯鑲嵌中，風(fēng)箏圖案和飛鏢圖案的數(shù)量之比等于黃金分割值；第三種的基礎(chǔ)圖形為菱形，經(jīng)過一次延伸后，面積為原來的黃金分割值的平方倍，它們都和黃金分割有著密不可分的聯(lián)系[6]，這也與建筑設(shè)計中常見的黃金比例不謀而合，見圖6。

圖6 P3型彭羅斯鑲嵌

4 彭羅斯鑲嵌在建筑中的應(yīng)用

彭羅斯鑲嵌從其誕生開始，其所具有的獨特結(jié)構(gòu)就引起了多方關(guān)注，它不僅使彭羅斯在數(shù)學(xué)界廣為人知，在裝飾與藝術(shù)界也被許多人所青睞。設(shè)計師們被準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)所具有的隨機(jī)的、不重復(fù)的美感所吸引，這種“有趣”的圖形讓人不禁仔細(xì)觀察，擺脫拼貼的“一次性”的吸引力。

墨爾本皇家理工學(xué)院的斯托雷廳改造項目就采用了彭羅斯鑲嵌作為其建筑視覺主題，設(shè)計師對彭羅斯鑲嵌進(jìn)行了立體化處理，使彭羅斯鑲嵌表現(xiàn)出浮雕一般的效果，兩種菱形搭配兩種顏色的燈光，成功營造了一種多層次、充滿科學(xué)神秘感的神奇氛圍。見圖7。

牛津大學(xué)數(shù)學(xué)系安德魯·威爾斯大樓門前則采用了P3型彭羅斯鑲嵌作為地磚。鋪路由兩塊不同的菱形花崗巖鋪設(shè)，被飾以不銹鋼圓弧的花崗巖磚永不重復(fù)地排列下去，以獨特的方式展現(xiàn)建筑中數(shù)學(xué)的魅力，見圖8。

圖7 墨爾本皇家理工學(xué)院的斯托雷廳

圖8 牛津大學(xué)數(shù)學(xué)系門前鋪路

5 結(jié)語

彭羅斯鑲嵌還應(yīng)用在了多個地方。西澳大利亞大學(xué)bayliss大樓中庭的地板、芬蘭赫爾辛基市keskuskatu街的行人路都采用了彭羅斯鑲嵌圖案(圖9)。這些圖形將數(shù)字的魅力帶入裝飾，以嚴(yán)謹(jǐn)又隨機(jī)的秩序創(chuàng)造出千姿百態(tài)的圖形，以無規(guī)律可言的方式在平面上拼接，產(chǎn)生了不可思議的變化，令當(dāng)時的人們嘖嘖稱奇。彭羅斯鑲嵌對建筑裝飾界帶來了新的美學(xué)，至今仍以獨特的魅力吸引著人的目光。

圖9 芬蘭赫爾辛基市keskuskatu街行人路