數(shù)學(xué)試題命制要從“結(jié)構(gòu)良好”到“結(jié)構(gòu)不良”

摘要：結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題并不是問(wèn)題本身有錯(cuò)誤或者不恰當(dāng)，而是指它沒(méi)有明確的結(jié)構(gòu)或解決途徑。結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題的解決有利于高級(jí)知識(shí)的獲得和能產(chǎn)性思維的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題的命制可以基于結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題的特點(diǎn)、真實(shí)的生活情境和數(shù)學(xué)的學(xué)科邏輯。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)試題 結(jié)構(gòu)不良 生活情境 學(xué)科邏輯

近年來(lái)，數(shù)學(xué)試題中的結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題引發(fā)了研究者的關(guān)注。新建構(gòu)主義認(rèn)為，結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題有助于發(fā)展學(xué)生的思維、遷移和創(chuàng)新能力。

一、結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題的特點(diǎn)

結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題并不是問(wèn)題本身有錯(cuò)誤或者不恰當(dāng)，而是指它沒(méi)有明確的結(jié)構(gòu)或解決途徑。通過(guò)對(duì)結(jié)構(gòu)良好問(wèn)題與結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題的比較（如表1所示），可以看出結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題具有如下特點(diǎn)：（1）給定條件不完全;（2）目標(biāo)不確定;（3）不明確哪些概念、規(guī)則、原理對(duì)解決問(wèn)題有用;（4）常常沒(méi)有確定、唯一的答案;（5）往往和具體情境相聯(lián)系或與多個(gè)知識(shí)領(lǐng)域相聯(lián)系;等等。

下面以一個(gè)具體的例子來(lái)說(shuō)明：

（1）命題p：已知A（1，1）、B（-1，1）、C（-1，-1）、D（1，-1），則滿足∠AMD=∠BMC的所有點(diǎn)M都在y軸上。請(qǐng)你判斷這個(gè)命題的真假。

（2）命題p：已知A（1，1）、B（-1，1）、C（-1，-1）、D（1，-1），則滿足∠AMD=∠BMC的所有點(diǎn)M都在y軸上。能夠說(shuō)明命題p是假命題的一個(gè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為。

這兩個(gè)問(wèn)題是基于同一個(gè)背景命制的。問(wèn)題（1）是結(jié)構(gòu)良好的問(wèn)題：給出一個(gè)具體的命題，判斷它的真假，問(wèn)題條件清晰、目標(biāo)明確、答案唯一。而問(wèn)題（2）的特點(diǎn)是答案不唯一，解決方案多樣化：既可以考慮正方形ABCD外接圓上的點(diǎn)（除A、B、C、D外），又可以考慮如曲線y=x（x>1）等上的點(diǎn)，還可以建立滿足∠AMD=∠BMC的點(diǎn)M的軌跡方程，從中選擇不在y軸上的一個(gè)點(diǎn)M。因此，問(wèn)題（2）具備結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題的特征，雖然只是改變了問(wèn)法，但更有利于考查學(xué)生的思維、遷移和創(chuàng)新能力。

根據(jù)現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)的研究，結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題主要有三種形式：一是問(wèn)題的起點(diǎn)、目標(biāo)明確，也知道若干種解決問(wèn)題的辦法，但不知道哪種辦法最好;二是問(wèn)題的起點(diǎn)、目標(biāo)明確，但不知道解決問(wèn)題的辦法;三是只有問(wèn)題的起點(diǎn)明確，問(wèn)題的目標(biāo)和解決問(wèn)題的途徑、方法都不明確。

二、結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題的功能

（一）結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題的解決有利于高級(jí)知識(shí)的獲得

從知識(shí)觀來(lái)看，學(xué)習(xí)可以分為初級(jí)和高級(jí)兩個(gè)層次。解決結(jié)構(gòu)良好問(wèn)題時(shí)，由于問(wèn)題的設(shè)計(jì)相對(duì)簡(jiǎn)單化，學(xué)生只需要再現(xiàn)其習(xí)得的知識(shí)和技能，這使學(xué)生獲得的是“惰性知識(shí)”，不利于其在具體情境中有效地遷移。新建構(gòu)主義認(rèn)為，結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題能夠促進(jìn)高級(jí)知識(shí)的獲得，為更復(fù)雜知識(shí)的掌握和運(yùn)用做準(zhǔn)備。通常，結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題需要學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行準(zhǔn)確的表征，建立問(wèn)題解決空間，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生在自主建構(gòu)中提升問(wèn)題解決能力和思維能力。

（二）結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題的解決有利于能產(chǎn)性思維的培養(yǎng)

德國(guó)心理學(xué)家韋特海默（M.Wertheimer）提出：能產(chǎn)性思維是指面對(duì)一個(gè)問(wèn)題時(shí)能產(chǎn)生一個(gè)新的解決方案。結(jié)構(gòu)良好問(wèn)題往往與學(xué)生已經(jīng)解決過(guò)的問(wèn)題相同或相似，學(xué)生只需要調(diào)用早已知道的解決路徑，就可以合理解決問(wèn)題。比如，求函數(shù)f（x）=x³-15x²-33x+6的單調(diào)減區(qū)間，學(xué)生只需要利用導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性的關(guān)系，令f^′（x）=3x²-30x-33=3（x+1）（x-11）<0，解得-1

三、結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題的命制建議

（一）基于結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題的特點(diǎn)命制

命制結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題時(shí)，可以根據(jù)其特點(diǎn)，對(duì)條件、結(jié)論、方法等問(wèn)題結(jié)構(gòu)要素進(jìn)行合理的設(shè)置。比如，通過(guò)條件部分呈現(xiàn)，或用到的概念、規(guī)則、原理不明確，或結(jié)論不唯一、解決方法多樣等，設(shè)計(jì)適度開(kāi)放的問(wèn)題。

在①b1+b3=a2，②a4=b4，③S5=-25這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中。若問(wèn)題中的k存在，求出k的值;若k不存在，說(shuō)明理由。

設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，{bn}是等比數(shù)列，，b1=a5，b2=3，b5=-81，是否存在k，使得Sk>Sk+1且Sk+1

這個(gè)結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題的特點(diǎn)是條件部分呈現(xiàn)，需要學(xué)生自主選擇適當(dāng)?shù)臈l件填入，構(gòu)成完整的問(wèn)題。而根據(jù)選擇的條件不同，答案也相異：如果填入條件①，那么{an}是首項(xiàng)為-13、公差為3的等差數(shù)列，故{an}單調(diào)遞增，且a5<0，a6>0，所以存在k使得Sk>Sk+1且Sk+10，所以存在k使得Sk>Sk+1且Sk+1

這個(gè)題目，我們?cè)诟叨男率谡n上測(cè)試過(guò)學(xué)生，結(jié)果并不理想。究其原因，并不是解題難度大，而是傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)良好的題目訓(xùn)練出來(lái)的學(xué)生對(duì)這類“不走尋常路”的題目甚少接觸，也缺乏靈活選擇信息、運(yùn)用知識(shí)的能力，因此不適應(yīng)。要改變這種現(xiàn)狀，可以從訓(xùn)練學(xué)生解決結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題著手，讓學(xué)生體會(huì)問(wèn)題的豐富性和復(fù)雜性，學(xué)會(huì)對(duì)信息的取舍、評(píng)價(jià)以及推理、判斷。

（二）基于真實(shí)的生活情境命制

一方面，現(xiàn)實(shí)生活中有著大量的結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題，需要解決者從諸多現(xiàn)象中分析、設(shè)計(jì)出解決方案，這有利于我們?cè)O(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題。另一方面，“學(xué)科核心素養(yǎng)實(shí)際上就是一種把所學(xué)的學(xué)科知識(shí)和技能遷移到真實(shí)生活情境的能力和品質(zhì)。要養(yǎng)成這種素養(yǎng)，學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)該是在一個(gè)又一個(gè)基于真實(shí)情境的問(wèn)題中通過(guò)體驗(yàn)、探究來(lái)建構(gòu)自己的知識(shí)，發(fā)展自己的能力”。所以，我們可以從真實(shí)的生活情境出發(fā)命制結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題，讓學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和技能分析、解決實(shí)際問(wèn)題。

（2015年高考全國(guó)Ⅰ理科數(shù)學(xué)卷第19題）某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x（單位：千元）對(duì)年銷售量y（單位：t）和年利潤(rùn)z（單位：千元）的影響。對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi（i=1，2，…，8）數(shù)據(jù)做了初步處理，得到散點(diǎn)圖（見(jiàn)圖1）及一些統(tǒng)計(jì)量的值（見(jiàn)表2）。

x-y-w-∑8i=1（xi-x-）2∑8i=1（wi-w-）246.65636.8289.81.6∑8i=1（xi-x-）（yi-y-）∑8i=1（wi-w-）（yi-y-）1469108.8注：表中wi=xi ，w-=18∑8i=1wi。

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=a+bx與y=c+dx哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）

（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程;

（3）已知這種產(chǎn)品的年利率z與x、y的關(guān)系為z=0.2y-x。根據(jù)（2）的結(jié)果回答下列問(wèn)題：

①當(dāng)年宣傳費(fèi)x=49時(shí)，年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少？

②當(dāng)年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大？

這一題也屬于結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題，它的特點(diǎn)是源于真實(shí)的生活情境，目標(biāo)不夠清晰。因此，很多學(xué)生不能從模糊的問(wèn)題情境中發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題解決的目標(biāo)。其實(shí)，發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題比分析和解決問(wèn)題難度更大。因?yàn)榉治龊徒鉀Q問(wèn)題時(shí)，問(wèn)題的“已知”和“所求”都是清晰的，學(xué)生只需要調(diào)用已有的知識(shí)和方法，就可以得到問(wèn)題的答案;但是，發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題時(shí)，問(wèn)題的“已知”和“未知”往往并不清楚，學(xué)生需要多角度思考，確定已知條件和解決目標(biāo)，這對(duì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維提出了要求。

從散點(diǎn)圖中可以看出，8個(gè)點(diǎn)的分布更符合y=c+dx的圖像，因此，y=c+dx適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型。于是，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求出這個(gè)回歸方程。由題意，可得d∧=∑ni=1（wi-w-）（yi-y-）∑ni=1（wi-w-）2=108.81.6=68，c∧=y--d∧w-=563-68×6.8=100.6，因此，y∧=100.6+68x。所以，當(dāng)x=49時(shí)，年銷售量y的預(yù)報(bào)值y∧=100.6+6849≈576.6，年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值z(mì)∧=576.6×0.2-49≈66.32。又因?yàn)閦∧=-x+13.6x+20.12，所以當(dāng)x=6.8，即x≈46.24時(shí)，z∧取到最大值。

這個(gè)問(wèn)題受考試模式的限制，提供了兩種模型選擇。其實(shí)，如果是課堂教學(xué)，可以僅提供收集、處理后的數(shù)據(jù)信息，請(qǐng)學(xué)生嘗試估計(jì)年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值何時(shí)最大。這樣的結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題更有價(jià)值，更有助于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力。

國(guó)際上，在“問(wèn)題解決”的評(píng)價(jià)方面，比較有影響力的是國(guó)際經(jīng)合組織（OECD）構(gòu)建的PISA數(shù)學(xué)測(cè)試。這個(gè)測(cè)試的目的是考查學(xué)生是否掌握參與社會(huì)生活所需要的問(wèn)題解決能力和終身學(xué)習(xí)能力，而其試題幾乎全部是來(lái)自真實(shí)生活情境的結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題。

不過(guò)，依據(jù)上述原則命制試題時(shí)，我們還要根據(jù)考查意圖進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶幚恚禾蕹x目標(biāo)的細(xì)枝末節(jié)，保留關(guān)鍵性事實(shí)。在選題時(shí)，要貼近學(xué)生的知識(shí)水平、生活經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生能充分地理解情境;在知識(shí)點(diǎn)上，要與課程標(biāo)準(zhǔn)和教材內(nèi)容緊密聯(lián)系，便于學(xué)生找到解決問(wèn)題的基本依據(jù)。

（三）基于數(shù)學(xué)的學(xué)科邏輯命制

數(shù)學(xué)研究（學(xué)習(xí)）要解決的問(wèn)題不僅是“是什么”，更側(cè)重“為什么”，同時(shí)還有“在什么條件下形成這個(gè)結(jié)論”等。因此，我們可以基于數(shù)學(xué)的學(xué)科邏輯設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題：要深入研究教材知識(shí)，以教材中的基本問(wèn)題為依托，開(kāi)發(fā)適宜的情境并科學(xué)地設(shè)問(wèn)，將教學(xué)內(nèi)容轉(zhuǎn)化為符合學(xué)科邏輯的結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題，形成“像科學(xué)家一樣思考”的問(wèn)題鏈。

比如，教學(xué)高中數(shù)學(xué)“導(dǎo)數(shù)”這部分內(nèi)容時(shí)，我們多次以三次函數(shù)為模型，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的知識(shí)并感受導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的工具性作用。因此，我們可以從學(xué)生熟悉的三次函數(shù)出發(fā)，命制以三次函數(shù)性質(zhì)的探究為主體的結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題：

已知三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d，其中a、b、c、d∈R，且a≠0。記f（x）的圖像為曲線C，已知C的對(duì)稱中心為O′-b3a，f-b3a。

（1）已知S是C上的動(dòng)點(diǎn)，證明：當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)S在C的對(duì)稱中心O′時(shí)，過(guò)點(diǎn)S且與C相切的直線有且僅有1條;

（2）如圖2，記過(guò)點(diǎn)O′且與C相切的直線方程為y=h（x），該直線與C將平面分為四個(gè)部分。過(guò)坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)M（m，n）作C的切線l，判斷直線l的條數(shù)，并確定此時(shí)點(diǎn)M的位置。

如果利用這個(gè)問(wèn)題開(kāi)展研究性學(xué)習(xí)，學(xué)生可以借助信息技術(shù)手段合理地猜測(cè)數(shù)學(xué)結(jié)論，明確解決問(wèn)題的思路和方案，再通過(guò)自主探究、合作交流等方式嚴(yán)格地論證數(shù)學(xué)結(jié)論：當(dāng)點(diǎn)M在C的對(duì)稱中心O′處或點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足n>f（m），

n>h（m）或n

nf（m），

n

n>h（m）（即點(diǎn)M在圖2中的區(qū)域Ⅱ）時(shí)，直線l有3條。經(jīng)歷上述的問(wèn)題解決過(guò)程，學(xué)生能逐漸形成主動(dòng)探究的習(xí)慣，培養(yǎng)實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神。

如果作為測(cè)試題（特別適合改編成為高考數(shù)學(xué)卷中即將出現(xiàn)的新題型——多項(xiàng)選擇題），我們可以給出一個(gè)具體的三次函數(shù)，進(jìn)而給出不同的點(diǎn)M（恰好位于點(diǎn)O′處、曲線C上不同于O′的點(diǎn)處、區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅱ），考查切線的條數(shù)，從中反映學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺(jué)、實(shí)踐能力和創(chuàng)新品質(zhì)。

總之，數(shù)學(xué)試題命制從結(jié)構(gòu)良好到結(jié)構(gòu)不良，是新課程、新高考的一個(gè)亮點(diǎn)。由于結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題本身的特點(diǎn)給學(xué)生提供了更為廣闊的空間，有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出問(wèn)題、分析并解決問(wèn)題能力的培養(yǎng)以及學(xué)科核心素養(yǎng)的形成。希望同仁們能重視結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題的命制，讓解決這些問(wèn)題的過(guò)程體現(xiàn)其教育價(jià)值，更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。此外，值得一提的是，最大的結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題其實(shí)就是數(shù)學(xué)寫(xiě)作的主題（話題）。而數(shù)學(xué)寫(xiě)作也是當(dāng)下數(shù)學(xué)教學(xué)研究的一個(gè)熱點(diǎn)，值得做更深入的研究。

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