有效數(shù)字的“有效”解讀

孫海源

摘要：實(shí)驗(yàn)學(xué)科中，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的記錄與處理有著非常重要的作用。在記錄與處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，常會(huì)遇到有效數(shù)字相關(guān)的問(wèn)題。教學(xué)“化學(xué)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理”時(shí)，可從有效數(shù)字的作用、位數(shù)確定方法、運(yùn)算規(guī)則等方面，“有效”解讀有效數(shù)字。

關(guān)鍵詞：有效數(shù)字 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理 運(yùn)算規(guī)則

實(shí)驗(yàn)學(xué)科中，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的記錄與處理有著非常重要的作用。在記錄與處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，常會(huì)遇到與有效數(shù)字相關(guān)的問(wèn)題。有效數(shù)字是指實(shí)際能夠測(cè)量到的數(shù)字，包括最后一位估計(jì)的、不確定的數(shù)字。我們把通過(guò)直讀獲得的準(zhǔn)確數(shù)字稱為可靠數(shù)字，把通過(guò)估讀得到的數(shù)字稱為存疑數(shù)字，把測(cè)量結(jié)果中能夠反映被測(cè)量大小的帶有一位存疑數(shù)字的全部數(shù)字稱為有效數(shù)字。

筆者在教學(xué)“化學(xué)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理”時(shí)，重點(diǎn)突出了對(duì)有效數(shù)字的解讀：首先，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)有效數(shù)字的重要性，探討“處理數(shù)據(jù)時(shí)，不考慮有效數(shù)字會(huì)出現(xiàn)什么結(jié)果”;接著，建構(gòu)有效數(shù)字位數(shù)確定的方法，幫助學(xué)生深刻理解有效數(shù)字的定義;最后，分析有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則，促進(jìn)學(xué)生形成對(duì)有效數(shù)字的全面認(rèn)知。具體教學(xué)過(guò)程如下：

一、認(rèn)識(shí)有效數(shù)字的重要性

教師出示如下信息：

己烷（C6H14）存在5種同分異構(gòu)體，均為液體，其結(jié)構(gòu)與密度數(shù)據(jù)如下頁(yè)表1所示?，F(xiàn)有一瓶己烷液體，沒(méi)有標(biāo)出是哪種同分異構(gòu)體。同學(xué)A用測(cè)量密度的方式確定其成分：用量筒量取了5.0 mL的該液體，使用分析天平稱量出其質(zhì)量為3.2745 g。

并提問(wèn)：

根據(jù)信息中的數(shù)據(jù)，該液體密度d=mV=3.2745 g5.0 mL=0.6549 g/mL，所以是3號(hào)液體，對(duì)嗎？

大部分學(xué)生認(rèn)同這一觀點(diǎn)，但仍有一些學(xué)生提出了質(zhì)疑：這個(gè)數(shù)據(jù)看起來(lái)好像跟1號(hào)液體的密度也很接近，萬(wàn)一是數(shù)據(jù)不夠精確導(dǎo)致的呢？萬(wàn)一該液體的體積不是剛剛好5.0 mL或者質(zhì)量不是剛剛好3.2745 g呢？因?yàn)榇_實(shí)存在不同的學(xué)生在讀取同樣的位于量筒中的水的體積時(shí)得到的數(shù)據(jù)不一致的情況。學(xué)生自然討論起來(lái)：“該液體的體積V與質(zhì)量m均不是準(zhǔn)確的數(shù)值，而是存在一定誤差的。這個(gè)誤差可能是讀數(shù)引起的，也可能跟儀器本身的精度有關(guān)?！薄癡=5.0 mL，代表其體積可能正好是5.0 mL，也可能是5.1 mL，或者4.9 mL，即5 mL左右?！薄癡=5.0 mL中最后一位的‘0是不準(zhǔn)確的，存在一定的誤差;同樣的，質(zhì)量m=3.2745 g中的最后一位數(shù)字‘5也是不準(zhǔn)確的。”

對(duì)此，教師引導(dǎo)：為了方便分析，我們不妨假設(shè)體積和質(zhì)量均在最后一位產(chǎn)生“1”的誤差，即體積V的真值范圍是（5.0±0.1）mL，質(zhì)量m的真值范圍是（3.2745±0.0001）g。

學(xué)生據(jù)此計(jì)算得到該液體的密度范圍，即密度的最小值dmin=（3.2745-0.0001） g（5.0+0.1） mL=0.6420 g/mL，最大值dmax=（3.2745+0.0001） g（5.0-0.1） mL=0.6683 g/mL。

可以看到，該液體的密度（單位：g/mL）在0.6420到0.6683之間，也就是說(shuō)，該液體的密度在小數(shù)點(diǎn)后第2位就已經(jīng)不準(zhǔn)確了。那么，一開(kāi)始計(jì)算得到的“準(zhǔn)確值”0.6549也就不是準(zhǔn)確值了，在第2位的“5”上面就已經(jīng)有變化了，0.6549可能是0.6420，也可能是0.6683。既然這樣，還有必要把該液體的密度寫(xiě)這么多位嗎？既然0.6549中的“5”已經(jīng)不準(zhǔn)確了，后面的“49”還有意義嗎？這么一討論，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)：原來(lái)只能保證計(jì)算數(shù)據(jù)中的“0.6”部分是確定的，而小數(shù)點(diǎn)后面第2位的“5”就已經(jīng)存在不確定性了，那么計(jì)算時(shí)只需要保留到這一位就可以了，即d=mV=3.2745 g5.0 mL=0.65g/mL。顯然，這個(gè)計(jì)算結(jié)果無(wú)法確定該液體的類(lèi)型。

順著這個(gè)思路，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，之所以不能確定結(jié)果，是因?yàn)闇y(cè)量太粗糙了，尤其是使用量筒來(lái)測(cè)量體積，誤差太大了。教師順勢(shì)提問(wèn)：那么，如果我們能夠把體積測(cè)量得更加精確呢？假如同學(xué)B此時(shí)選用帶刻度的移液管測(cè)量該液體體積，得到的體積數(shù)據(jù)為V=4.93 mL，其誤差也產(chǎn)生在最后一位，同樣為±0.01，此時(shí)我們能夠確定該液體是幾號(hào)液體嗎？

經(jīng)過(guò)與上面類(lèi)似的計(jì)算過(guò)程，得到d=mV=3.2745 g4.93 mL=0.6642 g/mL，dmin=（3.2745-0.0001） g（4.93+0.01） mL=0.6628 g/mL，dmax=（3.2745+0.0001） g（4.93-0.01） mL=0.6656 g/mL。

這時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，能夠保證準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)多了一位，而不確定的數(shù)據(jù)則是小數(shù)點(diǎn)后第3位及以后的數(shù)。對(duì)比表1中的密度數(shù)據(jù)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，該液體是5號(hào)液體。此時(shí)，有效數(shù)字的“效”就顯現(xiàn)出來(lái)了——其對(duì)于實(shí)驗(yàn)結(jié)果的確定十分重要。

二、建構(gòu)有效數(shù)字位數(shù)確定的方法

在教學(xué)過(guò)程中，細(xì)心的學(xué)生發(fā)現(xiàn)：密度計(jì)算結(jié)果中不確定數(shù)字的位置與體積、質(zhì)量測(cè)量結(jié)果中不確定數(shù)字的位置是相關(guān)的。為了驗(yàn)證這一點(diǎn)，教師引導(dǎo)學(xué)生將體積測(cè)量值的有效數(shù)字推廣到更多的位數(shù)（其計(jì)算結(jié)果如表2所示）。

那么，可以使用什么方式描述這種位置？有學(xué)生指出：可以使用小數(shù)點(diǎn)后第幾位的描述方式。但是，稍加討論就發(fā)現(xiàn)，這種方式好像不那么“正確”，因?yàn)槿绻洋w積的單位調(diào)整為L(zhǎng)，密度的單位相應(yīng)地變?yōu)間/L，會(huì)有如表3所示的結(jié)果。因此，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，使用該數(shù)據(jù)位于非零數(shù)字后面的位數(shù)更加合適。這樣的討論過(guò)程其實(shí)就是建構(gòu)有效數(shù)字定義的過(guò)程。

三、分析有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則

更進(jìn)一步地，學(xué)生把三個(gè)物理量數(shù)據(jù)的有效數(shù)字位數(shù)統(tǒng)計(jì)出來(lái)（如表4）后發(fā)現(xiàn)，有效數(shù)字在進(jìn)行除法運(yùn)算時(shí)似乎遵循如下規(guī)則：當(dāng)體積的有效數(shù)字位數(shù)小于質(zhì)量的有效數(shù)字位數(shù)時(shí)，密度的有效數(shù)字位數(shù)與體積的有效數(shù)字位數(shù)相等;當(dāng)體積的有效數(shù)字位數(shù)等于或者大于質(zhì)量的有效數(shù)字位數(shù)時(shí)，密度的有效數(shù)字位數(shù)就保持在質(zhì)量的有效數(shù)字位數(shù)，即兩個(gè)數(shù)據(jù)相除，商的有效數(shù)字的位數(shù)似乎取決于有效數(shù)字位數(shù)較少的那個(gè)數(shù)據(jù)。