野渡無人舟自橫現(xiàn)象的數(shù)值研究

余勇飛 陳 沉 斯鐵冬 胡 婷 魏家望

(中國電建集團華東勘測設(shè)計研究院有限公司，杭州311100)

(浙江華東工程數(shù)字技術(shù)有限公司，杭州311100)

“春潮帶雨晚來急，野渡無人舟自橫”。這首優(yōu)美的詩句出自唐朝詩人韋應(yīng)物之手，描繪的是傍晚荒郊野外的渡口，被拴住的一艘小船橫于水面隨波蕩漾的美景。詩人所描繪的生動畫面不僅給后人留下無窮無盡的遐想，同時詩中所闡述的力學(xué)現(xiàn)象也吸引了許多力學(xué)專家的注意[1]，并爭相從不同專業(yè)角度來證明“野渡無人舟自橫”這一力學(xué)現(xiàn)象。其中天津大學(xué)王振東[2-3]以流體力學(xué)觀點將小船簡化成一橢圓柱，并借助平面流動中復(fù)變函數(shù)理論，推導(dǎo)出橢圓柱在不可壓縮流體中所受力矩公式，得出小船橫于水流是穩(wěn)定的平衡位置，而順于水流是非穩(wěn)定的平衡位置；之后，王振東等[4]又在實驗室水槽中對這一力學(xué)現(xiàn)象進行了實驗研究，同樣得出小船橫于水流是穩(wěn)定的平衡位置，而順于水流是非穩(wěn)定的平衡位置這一結(jié)論，并證明該結(jié)論并不受水流速度等其他因素的影響；此外，周道祥[5]從流體力學(xué)伯努利原理出發(fā)，同樣分析出了“野渡無人舟自橫”這一力學(xué)實質(zhì)，并將該理論成功應(yīng)用于足球界“香蕉球”的分析計算。

以上詩人所描述以及學(xué)者所研究的物理現(xiàn)象可歸結(jié)為物體在力作用下的平衡問題。本文將采用數(shù)值模擬手段對這一力學(xué)現(xiàn)象進行研究分析。

1 理論基礎(chǔ)

站在流體力學(xué)角度，可以把“野渡無人舟自橫”這一力學(xué)現(xiàn)象簡化成橢圓在不可壓縮流體中的二維流動。王振東教授根據(jù)繞流理論，推導(dǎo)出橢圓在流體中受到的合力矩M為

式中，ρ為流體密度，a為橢圓長半軸，b為橢圓短半軸，v為流體速度，α為橢圓長軸與來流速度夾角，如圖1 所示。

圖1 物理模型

基于式(1)，王振東教授分析得出：小船橫于水流是穩(wěn)定的平衡位置，而順于水流是非穩(wěn)定的平衡位置的結(jié)論[2]。即無論小船初始位置在何處，在受到外力作用后發(fā)生偏轉(zhuǎn)，最終都能在橫于水流的位置重新建立起平衡。

本文將模擬小船在水流作用下，初始偏轉(zhuǎn)角α=0，π/4 兩種情況下的運動特性，以研究這一力學(xué)物理現(xiàn)象并驗證以上理論分析的準(zhǔn)確性。

2 數(shù)值模擬

根據(jù)剛體定軸轉(zhuǎn)動定律，小船所受力矩M與轉(zhuǎn)動角加速度之間的關(guān)系為

式中，I為小船轉(zhuǎn)動慣量，對繞自身幾何中心轉(zhuǎn)動的二維橢圓柱小船，其轉(zhuǎn)動慣量為I=m(a2+b2)/4；為小船轉(zhuǎn)動時的瞬時角加速度。

通過對流場的仿真計算，可以獲得小船周圍的壓力、速度場分布，從而計算出小船在任意偏轉(zhuǎn)角α下所受到的合力矩M(α)。將M(α)代入式(2)進而求得小船瞬時角加速度。借助數(shù)值模擬中流固耦合技術(shù)，將設(shè)置給小船，便能模擬出小船在水流作用下繞幾何中心的轉(zhuǎn)動過程，同時還能獲得小船α和M(α) 等物理量隨時間的變化曲線。

2.1 模型建立及網(wǎng)格劃分

對照王振東教授的“野渡無人舟自橫” 水槽實驗[4]，本文將小船假設(shè)為長半軸a= 5 cm，短半軸b= 2.5 cm 的橢圓，計算域取20a×8a，如圖2所示。

圖2 模型計算區(qū)域

在建立模型網(wǎng)格時，考慮到小船周圍流動的復(fù)雜性，對距小船中心半徑4a范圍內(nèi)的網(wǎng)格進行了加密處理。整個計算域全部采用質(zhì)量較高的結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，節(jié)點數(shù)約為23 320 個，如圖3 所示。

圖3 計算區(qū)域網(wǎng)格

2.2 數(shù)值計算方法

湍流模型為標(biāo)準(zhǔn)k–e模型；采用SIMPLE 算法求解壓力速度耦合方程；上下壁面采用無滑移條件；來流采用速度入口，出口為壓力出口；壓力離散格式采用二階形式，動量方程離散格式采用二階迎風(fēng)格式。來流速度v取0.3 m/s，時間步長取0.002 s。

3 結(jié)果分析

3.1 運動狀態(tài)分析

圖4 為小船初始偏轉(zhuǎn)角α= 0，π/4 兩種狀態(tài)下，計算得到的時間?偏轉(zhuǎn)角曲線圖。從圖中可以得出：無論初始偏轉(zhuǎn)角為何種狀態(tài)，小船在受到外界擾動后都偏離了原位置。并且都圍繞α= π/2 做阻尼振動，大約經(jīng)過60 s 時間的調(diào)整后波動消失，隨后小船在α=π/2 位置重新建立起了平衡狀態(tài)。

圖4 時間與偏轉(zhuǎn)角曲線

這一結(jié)果表明，無論小船最初偏轉(zhuǎn)角α為何值，受外力作用發(fā)生偏轉(zhuǎn)后，最終都能在橫于水流的位置重新建立起平衡。

3.2 受力分析

圖5 為小船初始偏轉(zhuǎn)角α= 0，π/4 兩種狀態(tài)下，計算得到的時間與力矩曲線圖。結(jié)合圖4 分析得出，小船受到外界擾動發(fā)生偏轉(zhuǎn)后，所受力矩M圍繞M=0 做阻尼振動，大約經(jīng)歷60 s 時間的調(diào)整后波動消失，此時力矩M= 0。這表明小船最終將橫于水面，并處于受力平衡的穩(wěn)定狀態(tài)。

圖5 時間與力矩曲線

綜合上一節(jié)結(jié)論，可以得出：小船橫于水流是穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，即小船受到外力發(fā)生偏轉(zhuǎn)后，最終都能在橫于水流的位置重新建立起穩(wěn)定的平衡。這一實驗結(jié)果剛好與理論分析相吻合。

3.3 穩(wěn)定性分析

上文通過對小船的運動狀態(tài)以及受力狀態(tài)進行分析，得出小船橫于水流處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)的結(jié)論，下文將進一步分析小船橫于水流能處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)的原因。

圖6 為初始偏轉(zhuǎn)角α= 0 方案，小船在發(fā)生偏轉(zhuǎn)后20 s 內(nèi)偏轉(zhuǎn)角α以及力矩M時程變化曲線。橫坐標(biāo)為時間，左側(cè)縱坐標(biāo)為偏轉(zhuǎn)角度α，右側(cè)縱坐標(biāo)為力矩M。實線為小船發(fā)生偏轉(zhuǎn)角度α，虛線為小船受到的力矩M。

圖6 偏轉(zhuǎn)角與力矩局部時程變化

由圖6 可以看出，當(dāng)α= 0 或者α= π/2 時，小船受力矩M= 0，即小船順于水流以及橫于水流受力平衡。

在t= 0 s 時刻，小船順于水流受力平衡。小船在受到擾動后沿順時針方向發(fā)生偏轉(zhuǎn)，與此同時產(chǎn)生一個同為順時針方向的力矩M，該力矩將會使偏角α進一步增大，可見順于水流這個平衡位置不穩(wěn)定。

在t ≈6.5 s 附近，小船接近橫于水流。由圖可以看出：小船在橫于水流附近，其偏轉(zhuǎn)方向始終與所受力矩方向相反，即該力矩將阻礙小船的偏轉(zhuǎn)，可見橫于水流這個位置是穩(wěn)定的。

觀察圖6 還發(fā)現(xiàn)：當(dāng)偏轉(zhuǎn)角α達到波峰或者波谷時，力矩M也基本處在波峰或者波谷位置，但第一個t ?M波峰明顯與其他時刻的波峰不同，猜測該異常可能是船身周邊水流出現(xiàn)流動分離形成旋渦造成的。然而查看該時刻小船附近的流線分布，如圖7 所示，發(fā)現(xiàn)船身周圍并未出現(xiàn)流動分離現(xiàn)象，因此排除流動分離造成異常波峰的可能。

圖7 t=7.5 s 小船周圍流線分布

究其原因主要是如下所述：由式(1) 知小船與水流成π/4 或3π/4 時，所受力矩最大。在圖6中，t= 6.8 s 時，小船偏轉(zhuǎn)角經(jīng)過α= 3π/4 位置，此時力矩M達到峰值；之后小船偏轉(zhuǎn)角α繼續(xù)增大而受到的力矩M則逐漸減?。籺=7.5 s 時，偏轉(zhuǎn)角α達到峰值，隨后偏轉(zhuǎn)角α逐漸減小同時受到的力矩M逐漸增大；t=8.0 s 時，小船偏轉(zhuǎn)角再次經(jīng)過α=3π/4 位置，受到的力矩M再次達到峰值，隨后逐漸減小。這便是造成第一個t ?M波峰曲線與其他時刻波峰曲線不同的原因。這一現(xiàn)象也從側(cè)面證實式(1) 的正確性。

4 結(jié)論

本文采用數(shù)值模擬手段對“野渡無人舟自橫”這一力學(xué)現(xiàn)象進行了詳細分析，研究了小船在水流作用下的運動特性，結(jié)果表明：

(1) 數(shù)值模擬重現(xiàn)了“野渡無人舟自橫” 這一力學(xué)現(xiàn)象，仿真結(jié)果也與相關(guān)文獻理論分析結(jié)果吻合。

(2)小船順著水流以及橫于水流所受到的作用力矩M=0，都屬于平衡位置。

(3)小船順著水流屬于非穩(wěn)定的平衡位置，此時小船受擾動發(fā)生偏轉(zhuǎn)后所產(chǎn)生的力矩與偏轉(zhuǎn)方向相同。小船在該同向力矩作用下將進一步發(fā)生偏轉(zhuǎn)，并再也恢復(fù)不到原平衡位置。

(4)小船橫于水流屬于穩(wěn)定平衡位置，此時小船受到擾動發(fā)生偏轉(zhuǎn)后所產(chǎn)生的力矩與偏轉(zhuǎn)方向是相反的。因此在該位置，即使小船失去平衡，但最終也能在該逆向力矩的作用下重新恢復(fù)到原平衡位置。