小問題2020-5

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2020-5 如圖1 所示，底面半徑為r的小圓錐相對于底面半徑為R的大圓錐作純滾動。已知小圓錐底面圓心相對大圓錐速度為v，兩者頂點重合，且頂角均為直角。大圓錐在慣性系中以角速度ω繞其本體坐標系的OX軸運動(角速度方向與X軸正方向一致)。求當小圓錐本體坐標系原點o位于Y OZ平面內(nèi)時，小圓錐的角速度、角加速度和小圓錐上最高點B的加速度。(供稿：寶音賀西，清華大學航天航空學院)

圖1

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*《小問題》2020-4 解答*

問題：如圖1 所示，三根質量均為m、長均為l的勻質細桿鉸接后成一直線靜止于光滑水平面上，今在AB桿的質心G處作用一垂直于桿的水平?jīng)_量I。試用沖擊問題的拉格朗日方程，(1) 證明沖擊后AB桿、BC桿、CD桿的初始角速度之比為4:3:?1。(2) 求沖擊后系統(tǒng)的動能。(問題及以下答案供稿：張孝祖，江蘇大學)

圖1

解答：

(1) 沖擊后三桿都作平面運動，系統(tǒng)有5 個自由度，故取AB桿質心G沿桿方向的位移x、垂直桿方向的位移y及AB桿、BC桿、CD桿的轉角φ1，φ2，φ3為5 個廣義坐標，如圖2 所示。

圖2

AB桿動能

BC桿動能

CD桿動能

系統(tǒng)總動能T=T1+T2+T3。廣義沖量

由沖擊問題的拉氏方程

式中，qi表示廣義坐標，q1=x，q2=y，q3=φ1，q4=φ2，q5=φ3，t+表示沖擊后，t?表示沖擊前。注意到?jīng)_擊前系統(tǒng)動能為0，代入整理后有

聯(lián)立式(3)～式(5)，可解得

(2)由沖擊問題的動能定理：沖擊過程系統(tǒng)動能的改變等于所有對應沖量與沖擊點在沖擊前后的平均速度的點積之和?，F(xiàn)系統(tǒng)只在G點受I沖擊，沖擊后G點速度=0，=13I/(15m)，沖擊前G點速度為0，故得沖擊后系統(tǒng)動能為