高聳結構斷裂后傾倒過程的動力學分析1)

牛清勇 曾國偉 鄭華升

(武漢科技大學理學院，武漢430065)

問題高聳結構斷裂后的傾倒問題可以簡化為圖1(a) 所示的力學模型。已知結構斷裂后分成了相互鉸接的兩部分，上部結構在重力的傾覆力矩作用下無初速傾倒，下部結構與地面固結始終保持靜止。若上部結構傾倒后的位置用其軸線與鉛直方向的夾角φ來表征，且上下兩段均視作均質(zhì)細長桿。試分析上部結構倒落至某一位置所需的時間和基礎的動約束力。

圖1 高聳結構傾倒分析模型

解答針對目前理論力學教材[1-3]在動力學部分中還缺少有關細長桿傾倒時間分析的現(xiàn)狀，本文試著做一些探討。高聳結構如水塔、煙囪、橋梁的橋墩或主塔等，在拆除過程中常會遇到中部斷裂后的傾倒問題，可將上述過程簡化為圖1(b) 所示力學模型來分析，其實質(zhì)上是個特殊的一級倒立擺。上下兩段結構的長度、質(zhì)心位置、上部結構傾倒后的運動分析以及下部結構固定端處的受力分析已在圖1(b)中給出。設上部結構繞斷口的轉(zhuǎn)動慣量用JO表示，當其從豎直位置(初始傾倒角φ0= 0?) 無初速傾倒至任一位置φ時，根據(jù)動能定理有

利用二倍角公式，式(1) 可以表示為

考慮到角速度為正，整理式(2) 有

由式(3) 可得到關于傾倒時間t的微分表達式

將式(4) 從φ0到φ積分，當0< φ0< φ≥90?可以得到

注意到∫csc(x)dx= ln(|tan(x/2)|)+ C (此處C 為積分常數(shù))，則可以得到傾倒時間的顯式表示

上部結構由豎直狀態(tài)傾倒至任一位置φ時的角速度ω可由式(1) 推出

將式(2)兩邊同時對時間求導并消去角速度項，可得到角加速度為

上部結構質(zhì)心C的加速度可表示為

將式(8) 的切向和法向角加速度分別向x和y軸分解并合成后，得到直角坐標形式的加速度

對系統(tǒng)整體利用動量定理并對斷口截面Oz軸應用動量矩定理，可以解出基礎的約束力結果

利用式(6) 和式(10) 可以對高聳結構斷后的傾倒時間和基礎的動約束力進行分析。

(1)固定傾倒末位置φ為某一定值，同時變化初始傾倒位置φ0，可得到結構從不同初始位置φ0傾倒至當前位置φ所需要的時間。如令φ=90?(即倒至水平位置) 并且將式(6) 無量綱化，則無量綱傾倒時間隨初始傾倒角φ0的變化規(guī)律如圖2 所示。

由圖2 可以看出，傾倒至水平位置φ= 90?所需的時間依賴于傾倒的初始位置φ0。初始傾倒角φ0越小，則倒至水平位置所需的時間越長。當φ0趨于0?時，傾倒所需的時間也趨于無窮大。這是因為φ0= 0?位置為上部結構的鉛直平衡位置，除非受到干擾平衡被打破，否則上部結構將一直保持平衡不會傾倒。由于結構斷口余留截面形心和上部結構質(zhì)心連線與鉛垂方向的夾角通常不等于0?，因而存在傾覆力矩，所以斷裂后的傾倒時間常為一有限值。

圖2 倒至水平位置所需時間與初始傾角的關系

(2) 假設斷后的上部結構從鉛直位置開始倒落，根據(jù)式(10a)～(10c)，繪制出無量綱形式的動約束力隨傾倒角度的變化曲線，如圖3 所示。需要指出的是，豎直約束力分量中扣除了結構自重的影響，為附加形式的動約束力。水平動約束力和動約束力偶的變化規(guī)律完全相同，數(shù)值上僅相差下部結構的高度h1。由式(10a) 和式(10c) 可知，在φ= arccos(2/3)(即48.2?) 前后，水平動約束力和約束力偶的方向會發(fā)生反轉(zhuǎn)，并且此后它們的大小隨傾倒角度的增加而增大。豎直附加動約束力的大小隨傾倒角度的變化呈現(xiàn)下凹形狀，由式(10b)可知在φ=arccos(1/3)(即70.5?)處，基礎的豎直附加動約束力取到極小值。

圖3 傾倒過程基礎中的附加動約束力