刻畫動點的等量關系是動點之靈

李運桂

魏爾斯特拉斯說：“一個沒有幾分詩人才能的數學家決不會成為一個完全的數學家.”如果說動點是喧囂的鬧市，那么刻畫它的等量關系就是大隱隱于市的隱者，需要你慧眼尋覓;如果說動點是暴走的臺風，那么刻畫它的等量關系就是臺風中心，需要你風雨兼程的堅守;如果說動點是驚雷暴雨，那么刻畫它的等量關系就是雨后彩虹，帶給你驚魂后的欣喜.刻畫動點的等量關系是動點之靈.下面是筆者在研習2019年無錫市中考17題的收獲.

一、試題呈現

圖1

（2019年無錫市第17題）如圖1所示，在△ABC中，AC∶BC∶AB=5∶12∶13，⊙O在△ABC內自由移動.若⊙O的半徑為1，且圓心O在△ABC內所能到達的區(qū)域的面積為103，則△ABC的周長為.

二、試題分析

根據△ABC的三邊之比可知△ABC是直角三角形，圓心O在△ABC內所能到達的區(qū)域是與△ABC相似的三角形.該三角形的本質特征是它的內切圓的半徑比△ABC的內切圓的半徑小1.

三、解題過程

圖2

解：根據題意，如圖2所示.圓心O在△ABC內所能到達的區(qū)域是△A′B′C′，顯然△ABC∽△A′B′C′，則A′C′∶B′C′∶A′B′=AC∶BC∶AB=5∶12∶13.

令△ABC的內切圓的半徑為R，△A′B′C′的內切圓的半徑為r.

則：R-r=1，

設AC5=BC12=AB13=x，A′C′5=B′C′12=A′B′13=y，

則AC=5x，BC=12x，AB=13x;A′C′=5y，B′C′=12y，A′B′=13y.

因為52+122=132，

所以△ABC是直角三角形.

由直角三角形內切圓半徑公式可得：

R=12AC·BC12（AC+BC+AB）=5x×12x5x+12x+13x=2x.

同理可得：r=2y.

由題意得S△A′B′C′=12A′C′·B′C′=12×5y×12y=30y=103.

解得：y=13.

所以r=2y=23，R=2x=1+r=53，

即x=56，AC+BC+AB=30x=30×56=25.

四、解題反思

與2019年無錫市第17題相似的考題頻頻出現在中考試卷上.

圖3

（2019年蘇州市第18題）如圖3所示，一塊含有45°角的直角三角板，外框的一條直角邊長為8 cm，三角形外邊框線和與其平行的內框線之間的距離均為2 cm，則圖中陰影部分的面積為 cm2（結果保留根號）.

圖4

（2017年鹽城市第24題）如圖4所示，△ABC是一塊直角三角板，且∠C=90°，∠A=30°.現將圓心為點O的圓形紙片放置在三角板內部.

（1）如圖4①，當圓形紙片與兩直角邊AC、BC都相切時，試用直尺與圓規(guī)作出射線CO（不寫作法與證明，保留作圖痕跡）.

（2）如圖4②，將圓形紙片沿著三角板的內部邊緣滾動1周，回到起點位置時停止，若BC=9，圓形紙片的半徑為2，求圓心O運動的路徑長.