高中函數(shù)“最值”問(wèn)題的求解策略

呂相紅

最值問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)函數(shù)中的關(guān)鍵知識(shí)內(nèi)容.由于傳統(tǒng)解題模式下所教授內(nèi)容散、方法雜，這些都為學(xué)生解決最值問(wèn)題帶來(lái)了一定困擾，使其成為了高中函數(shù)中的一大難點(diǎn).本文主要以多元化思維為例，深度探討了函數(shù)最值問(wèn)題的各種求解策略.

一、定義法求解最值問(wèn)題

利用定義法求解函數(shù)最值問(wèn)題關(guān)鍵在于為函數(shù)最值定義.例如，可設(shè)置函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M，則需要滿足以下條件：第一，對(duì)任意x∈I，都有f（x）≤M;第二，存在x0∈I，使得f（x0）=M，則有M為函數(shù)y=f（x）的最大值.

假設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，下列命題中正確的是：

（1）如果存在一個(gè)常數(shù)p，使得對(duì)任意x∈R存在f（x）≥p，那么p是函數(shù)f（x）的最小值.

（2）如果存在x0∈R，使得對(duì)任意的x∈R，則有f（x）≥f（x0），則f（x0）是函數(shù)f（x）的最小值.

教師要指導(dǎo)學(xué)生合理利用定義域求解函數(shù)最值問(wèn)題，其關(guān)鍵還在于幫助學(xué)生把握好定義內(nèi)涵，準(zhǔn)確運(yùn)用函數(shù)知識(shí)內(nèi)容，明確函數(shù)中是存在值域的，但并不一定存在最值.上述題目可由函數(shù)的最小值定義解題，首先（1）應(yīng)該是假命題，它的條件雖然滿足了最小值定義中的任意性要求，但是并不滿足存在性要求.因此（1）是錯(cuò)誤的.而（2）命題則是正確的，即f（x）≥f（x0）時(shí)，則f（x0）應(yīng)該是函數(shù)f（x）的最小值.

二、配方法求解函數(shù)最值問(wèn)題

在求解二次函數(shù)最值過(guò)程中，如果函數(shù)形式為F（x）=af2（x）+bf（x）+c，可以考慮采用配方法.例如，求函數(shù)f（x）=9x2+6x+1的最小值.

上式函數(shù)最值問(wèn)題可采用配方法解題，在解題過(guò)程中則要注重自變量的取值范圍變化以及對(duì)稱軸與區(qū)間之間的相對(duì)位置關(guān)系.

二、合理利用滲透分類討論思想，解決函數(shù)最值問(wèn)題

合理利用滲透分類討論思想也是能夠解決某些函數(shù)最值問(wèn)題的，這里要做好概念分類、情況分類，并在分類基礎(chǔ)之上由儉入奢，解決某些復(fù)雜的函數(shù)最值問(wèn)題.例如，在求解函數(shù)y=2-2acosx-sin2x的最大值與最小值過(guò)程中，需要先將原函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

y=（cosx-a）2+1-a2=（t-a）2+1-a2=f（t）

可將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在某一區(qū)間中的最值問(wèn)題，但實(shí)際上這個(gè)問(wèn)題非常復(fù)雜，教師可以專門講二次函數(shù)的對(duì)稱軸與定義域之間的位置關(guān)系為學(xué)生掰開(kāi)揉碎進(jìn)行分類講解討論.例如，首先給出函數(shù)的對(duì)稱軸方程應(yīng)該為：t=a，它的定義域區(qū)間應(yīng)該為[-1，1]，此時(shí)可參考二次函數(shù)圖像分4種情況為學(xué)生提出針對(duì)性的解題思路.

第一種：如果a<-1，則有ymax=f（1）=2-2a，ymin=f（-1）=2+2a;

第二種：如果-1≤a≤0，則有ymax=f（1）=2-2a，ymin=f（a）=1-a2;

第三種：如果0≤a≤1，則有ymax=f（-1）=2+2a，ymin=f（a）=1-a2.

在上述最值問(wèn)題解題過(guò)程中就滲透了分類討論思想，它能夠幫助學(xué)生大量積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，非常有利于培養(yǎng)學(xué)生全面思考問(wèn)題的能力.

三、合理利用函數(shù)轉(zhuǎn)化思想，歸納總結(jié)函數(shù)最值問(wèn)題內(nèi)涵

最后要滲透函數(shù)思想，分析轉(zhuǎn)化問(wèn)題，最終將最值問(wèn)題歸結(jié)于函數(shù)問(wèn)題，利用函數(shù)最值解決問(wèn)題，幫助學(xué)生更好地掌握函數(shù)相關(guān)思想.教師要注重為學(xué)生滲透講解各種函數(shù)思想方法，教會(huì)他們合理把握二次函數(shù)知識(shí)內(nèi)容，將最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問(wèn)題再進(jìn)行求解.在一些二元函數(shù)的最值問(wèn)題中如果已知存在兩個(gè)變量，且兩個(gè)變量存在相依關(guān)系（通常為二元方程），則應(yīng)該對(duì)該類問(wèn)題合理運(yùn)用函數(shù)轉(zhuǎn)化思想.例如代入消元法就可將二元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)再進(jìn)行最值求解.

例如，已知an=n-97n-98（n∈N+），在數(shù)列{an}的前30項(xiàng)中，求解最大項(xiàng)與最小項(xiàng).

該題目中存在數(shù)列{an}，同時(shí)它的通項(xiàng)公式an可以理解為n的函數(shù)式，此時(shí)可將原問(wèn)題理解轉(zhuǎn)化為如果有n∈N+且存在n≤30時(shí)，求解函數(shù)an的最大值與最小值.此時(shí)可以分析其中一種情況，如果n∈N+且10≤n≤30，則an表示減函數(shù)，且有an>1，此時(shí)a30最小，a10最大.

這道問(wèn)題中數(shù)學(xué)函數(shù)思想非常明確，且它與最值問(wèn)題也實(shí)現(xiàn)了緊密關(guān)聯(lián)，采用最值問(wèn)題可分多種情況解決這一函數(shù)問(wèn)題，而像化歸、分類討論以及數(shù)形結(jié)合等都能解決這一問(wèn)題.