隔震結(jié)構(gòu)方程的一種壓縮解法

田志昌， 孫欣欣， 李 娟， 李 革， 楊志軍， 陳 明

(內(nèi)蒙古科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，包頭 014010)

1 引 言

基礎(chǔ)隔震[1]能夠有效提高結(jié)構(gòu)的抗震性能，為了達到理想減震效果，一般隔震設(shè)計中支座滑動時的剛度非常小。利用有限元軟件解決大規(guī)模的代數(shù)方程計算問題，方程能否得到可靠的解取決于剛度矩陣的正定性條件。在基礎(chǔ)固定結(jié)構(gòu)體系中，通常采用逐步積分，如Newmark法，基本不存在問題。但在基礎(chǔ)隔震的情況下，上部結(jié)構(gòu)的剛度矩陣在遇到隔震支座較小的剛度時，總剛度矩陣正定性條件變差，會出現(xiàn)病態(tài)方程[1-4]。病態(tài)方程的解常偏離真值[2]。根據(jù)文獻[2]，解決這個問題的辦法有兩種，一種是保證剛度矩陣中的元素差異不要太大，這顯然違背了物理原理；第二種是降低矩陣規(guī)模，減緩病態(tài)。

針對此現(xiàn)象，本文提出利用上部結(jié)構(gòu)本身的振型疊加來壓縮未知量，進而減小剛度矩陣的規(guī)模。將振型疊加后的方程與隔震器參數(shù)聯(lián)合形成新的不對稱混合方程組。無論上部結(jié)構(gòu)有多大規(guī)模，未知數(shù)目有多少，都能通過振型疊加法壓縮至幾十個未知數(shù)之內(nèi)。根據(jù)隔震結(jié)構(gòu)的特點，隔振器增加不到10個未知參數(shù)即夠用。一個1萬自由度的中型結(jié)構(gòu)，可以用15個振型和3個支座剛體位移描述。可見壓縮量達10000:18。一個18階的方程即使系數(shù)不均勻，但計算收斂也是可靠的；而1萬階的大型剛度矩陣中，若出現(xiàn)非常小的剛度就會引起方程解相對誤差很大的病態(tài)問題。

2 基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)體系運動方程求解

2.1 計算模型

以底部帶有基礎(chǔ)隔震器的n層框架結(jié)構(gòu)為計算模型，如圖1所示。

根據(jù)結(jié)構(gòu)體系的模型，可寫出該模型的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣，阻尼采用Rayleigh阻尼，即C=αM+βK。無隔震器結(jié)構(gòu)的總未知量為n，加入隔震器支座后增加了一個未知量，即結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣等的階數(shù)增加為n+1。對隔震與上部主結(jié)構(gòu)體系進行分塊，矩陣可表示為

[M]n+1×n+1=m1?mnm0=Mn×n00m0

(1)

[K]n+1×n+1=k11??-k0knn?…-k0…k0=Kn×nKn×1K-1×nk0

(2)

圖1 n層框架結(jié)構(gòu)模型

[C]n+1×n+1=c11??-c0cnn?…-c0…c0=Cn×nCn×1C1×nc0

(3)

(4)

(5)

式中Mn × n,Cn × n,Kn × n和yn分別為上部主體結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼、剛度和位移，m0，c0，k0和y0分別為基礎(chǔ)隔震器質(zhì)量、阻尼、剛度和位移，Yn × 1為結(jié)構(gòu)相對基礎(chǔ)的位移。

綜上所述，一個n+1自由度的隔震結(jié)構(gòu)模型在地震作用下的運動方程為

(6)

2.2 壓縮未知數(shù)

方程按照上部體與基礎(chǔ)隔器分塊表示為

(7)

將式(7)的質(zhì)量及剛度與主體系矩陣分離，可以表示為

(8)

(9)

(10)

結(jié)構(gòu)處于彈性階段的振型矩陣，即

由模態(tài)的正交性[4]可知，在i≠j時，有

(11)

則式(10)可寫成

(12)

將式(12)合并成統(tǒng)一方程得

(13)

式(13)即為結(jié)構(gòu)在m個模態(tài)廣義坐標(biāo)下添加隔震器的運動方程，其共有m+1個方程(m為結(jié)構(gòu)的模態(tài)數(shù)量)。與用振型疊加法壓縮未知數(shù)的式(7)相比，方程數(shù)量明顯減少，剛度矩陣規(guī)模也減小，此時組合方程包含已壓縮未知量的上部結(jié)構(gòu)方程和基礎(chǔ)隔震器結(jié)構(gòu)方程。

3 算法的正確性驗證

3.1 計算模型基本參數(shù)

該結(jié)構(gòu)為四層框架結(jié)構(gòu)教學(xué)樓，層高均為3.9 m，房屋總高度為15.6 m，場地類別為二類，抗震設(shè)防類別為乙類，設(shè)防烈度為8度，柱截面尺寸為500 mm×500 mm，梁截面尺寸均為300 mm×600 mm，樓板厚度為120 mm，采用C30混凝土，結(jié)構(gòu)標(biāo)準(zhǔn)層平面如圖2所示。

圖2 結(jié)構(gòu)標(biāo)準(zhǔn)層平面

3.2 地震波數(shù)據(jù)

本文選用典型的Ⅱ類場地的El Centre地震記錄，取0 s～30 s的地震波進行研究，并將地震波劃分為1500步，每0.02 s為一個步長[9]。

3.3 分析結(jié)果對比

如圖3所示，對框架結(jié)構(gòu)進行靜力分析時，在相同結(jié)點位移處的位移，用正常解法和壓縮解法分別求解方程，比較兩種解法結(jié)果，一次求解兩種算法結(jié)果基本一致，如圖3(a)所示，水平位移誤差在 0.5% 以下，如圖3(b)所示；在轉(zhuǎn)角處的位移值基本一致，如圖3(c)所示，算法誤差比值在1%左右，如圖3(d)所示。

如圖4所示，NewMark時程計算壓縮方法在 30 s 內(nèi)的方程求解是收斂的；如圖5所示，在同等條件下，正常解法和壓縮解法在0.38 s以前的位移響應(yīng)保持同步，但0.4 s以后正常解法的位移開始出現(xiàn)異常，后續(xù)累積發(fā)散。

圖3 壓縮解法和正常解法結(jié)果比較

圖4 壓縮解法

圖5 正常解與壓縮解比較

4 結(jié) 論

本文提出了適用于大型結(jié)構(gòu)和高層建筑隔震體系的壓縮解法，通過一個框架算例，比較了正常解法和壓縮解法的計算結(jié)果，得出如下結(jié)論。

(1) 兩種算法在相同結(jié)點處的若干次解的位移值基本吻合，尤其是在地震波橫波作用時，誤差比值在0.5%以下，證實了壓縮解法在框架結(jié)構(gòu)靜力分析中的準(zhǔn)確性與有效性。

(2) 在逐步積分法中，正常解法累積誤差可導(dǎo)致結(jié)果發(fā)散，而壓縮解法則不會出現(xiàn)發(fā)散。