Laplace變換法及其在粘彈性波中傳播的應用

李 想， 陳國平， 胡文軍， 謝蒙優(yōu)

(1.西南科技大學 土木工程與建筑學院,綿陽 621010；2.中國工程物理研究院 總體工程研究所,綿陽 621900)

1 引 言

近年來，隨著科學技術的發(fā)展，泡沫和橡膠等聚合物由于其質(zhì)量輕和阻尼高等特點廣泛地應用在國防科技和航空航天等領域，作為緩沖、降噪及減排材料。該類材料在使用過程中常涉及沖擊、碰撞和爆炸等問題，因此獲取材料的動態(tài)力學性能尤為重要，許多學者做過此方面研究[1,2]。測量材料動態(tài)力學性能最常用的實驗方法有落錘實驗、擺錘沖擊實驗和分離式霍普金森壓桿實驗(簡稱SHPB)。SHPB實驗技術由于其原理簡單、操作方便和設計巧妙等優(yōu)點，已成為最經(jīng)典的測量材料動態(tài)力學性能的實驗技術。SHPB實驗技術基于兩個基本假設，即一維應力波假定和試件應力均勻假定[3]。傳統(tǒng)的SHPB裝置為了確保壓桿在實驗過程中始終保持彈性狀態(tài)，多采用高強度鋼制作，波阻抗較高，而橡膠和泡沫等粘彈性材料波阻抗較低，使用傳統(tǒng)的SHPB實驗裝置研究粘彈性材料，會造成波阻抗嚴重不匹配，從而導致入射波和反射波較為接近，透射波信號微弱，無法使用二波法或三波法確定應力和應變。王禮立等[4]首先提出了使用粘彈性壓桿的SHPB實驗技術，從而解決了波阻抗不匹配問題。

當使用粘彈性壓桿來替換高強度鋼桿時，若用應變片處測得的信號來代替壓桿與試件接觸端的信號，其結果會與真實值存在較大的誤差。這是由于應力波在粘彈性桿中傳播涉及到波的幅值衰減和波形彌散問題，所以必須對波形進行修正，修正波形需對應力波在粘彈性材料中的傳播規(guī)律進行研究，才能確定壓桿和試件接觸端的動態(tài)響應情況。因此，研究粘彈性波傳播問題十分必要。

本文對應力波傳播分析方法進行了簡要的綜述，詳細介紹了幾種處理粘彈性波傳播問題的分析方法，對比分析幾種方法在各自應用上的優(yōu)劣，重點介紹Laplace變換及其在粘彈性波中的應用。

2 粘彈性波傳播分析方法

為分析無限圓桿上一維縱波傳播問題，文獻[5]給出了相速度和頻率相關的頻率方程，該方程只在無限彈性圓桿的情況下才有精確解。目前，對于應力波傳播的分析方法多以該頻率方程為基礎進行研究，文獻[6，7]對該方程縱波解進行了修正，文獻[8]指出了縱波解在有限條件下的不精確性。

到目前為止，研究粘彈性波傳播的幾種方法都趨于成熟，分析粘彈性波傳播正問題的方法主要有Laplace變換法、小波變換法、特征線法和傳播系數(shù)法；分析粘彈性波傳播的反問題研究方法主要有波傳播實測信息的反分析法。

2.1 特征線有限差分法

特征線有限差分法是指對沿波前沿擾動的特征相容關系進行差分，結合Lagrange質(zhì)點的粘彈性記憶效應，將求解波動方程組轉化為用差分的方法求解相應特征線方程和相容方程的方法。文獻[9，10]均采用特征線法研究SHPB實驗中粘彈性試件的應力不均勻性，王禮立等[3,4]詳細敘述了線性粘彈性桿中縱波的特征線解法。江伯濤[11]應用特征線法研究了橡膠內(nèi)部應力波傳播的粘彈性特性；賴華偉等[12]應用特征線法分析了線性粘彈性球面應力波問題；雷衛(wèi)東等[13]研究了爆破荷載應力波在無限彈性介質(zhì)中傳播的特征線解。以Maxwell模型細長桿中線性粘彈性縱波傳播為例說明特征線解法。

一維粘彈性試件中的波動控制方程組：

運動學方程

(1)

連續(xù)方程

(2)

Maxwell本構方程

(3)

將式(1～3)通過方向導數(shù)法處理得到x-t平面的三族特征線和相應的特征相容關系：

(4)

特征線有限差分法已經(jīng)較為成熟，在工程應用中，其計算結果準確，接近理論解，十分便利高效，但其處理混凝土等大尺寸構件時，計算過程較為繁瑣，耗時長，成本高，達不到預期效果。

2.2 傳播系數(shù)法

傳播系數(shù)法是建立在粘彈性波傳播理論的Fourier諧波上的分析方法。傳播系數(shù)法在粘彈性波的分析中研究較多，Bacon[14]提出了利用粘彈性桿進行SHPB實驗和測量傳播系數(shù)的實驗方法；Butt等[15]對Bacon提出的方法進行了補充驗證；Zhao等[16,17]將Pochammer-Chree推廣到粘彈性圓柱研究中；劉孝敏等[18]在文獻[14]的基礎上，導出表征波衰減和彌散性質(zhì)的縱波傳播系數(shù)的修正公式；張方舉等[19]采用波傳播系數(shù)實驗方法分析PC桿中的波傳播過程，得到了PC桿中與波衰減和彌散相關的波傳播系數(shù)；Aleyaasin等[20]用傳播系數(shù)法重點討論了材料性能和桿徑對衰減和彌散系數(shù)的影響。

根據(jù)Bacon[14]對傳播系數(shù)的定義，粘彈性桿軸向運動的一維方程(忽略橫向慣性效應，應力波的波長比桿徑大的時候)，橫向慣性效應引起的幾何效應可以忽略不計。

對式(1,2)進行傅里葉變換可得一維頻域縱波波動方程為

(5)

線性粘彈性材料一維頻域本構方程為

(6)

E*為材料的復楊氏模量，定義傳播系數(shù)為

(7)

聯(lián)立式(5～7)可得粘彈性桿軸向運動的一維方程

(8)

(9)

軸向粒子速度v和法向力F為

(10)

2.3 波傳播實測信息的反分析法

反分析法是指通過測量距沖擊點一定距離處某些部位的響應,如位移、速度、加速度或應變,來確定沖擊點處的沖擊力。為了解決由于測量條件限制而產(chǎn)生的沖擊力難于測量的問題，近年來反分析法得到發(fā)展。Inoue等[21]對沖擊力間接測量的反分析方法進行了綜述；盧靜涵等[22]將反分析法應用到對壓力管道耐撞性側向沖擊實驗中沖擊力的校核,給出了該沖擊系統(tǒng)的傳遞函數(shù)h(t)，在實驗測量值的基礎上,得出了較為精確的沖擊力時程曲線,從而驗證了該方法的實用性；王志華等[23]利用反分析法中的反卷積技術給出SHPB中波導桿的傳遞函數(shù),完善了該實驗裝置的數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)，并利用傳遞函數(shù)h(t)對泡沫鋁動態(tài)特性實驗中測得的波形進行了校正。

在結構上給定點處的沖擊力和相應之間的關系可以通過線性卷積公式給出：

(t>0) (11)

f(t)=h(t)=e(t)=0

(t<0) (12)

式中e(t)是結構響應，f(t)是沖擊力，h(t)是傳遞函數(shù)。記F(ω)，H(ω)和E(ω)分別為f(t)，h(t)和e(t)的Laplace變換。對式(11)進行Laplace變換可得

(13)

由式(11)可得

H(ω)=E(ω)/F(ω)

(14)

由此可求出H(ω)，并將其做Laplace反變換可得

(15)

通過式(15)可求出傳遞函數(shù)h(t),式中S=Re(ω)。在傳遞函數(shù)h(t)已知的情況下，若已知沖擊的結構響應e(t),就可根據(jù)反卷積技術求得沖擊點的沖擊力時程f(t)。

在實際應用中，利用反分析法求解沖擊力f(t)時，求得傳遞系數(shù)h(t)最為關鍵，不同的系統(tǒng)對應不同的傳遞系數(shù)h(t)，現(xiàn)多使用計算機有限元仿真模型計算傳遞系數(shù)h(t)，建立與實際相符的模型較為困難，且計算結果存在一定誤差。

2.4 小波變換分析法

小波變換是在Fourier變換的基礎上發(fā)展而來，是對Fourier變換的補充和升華。Fourier變換處理非平穩(wěn)信號最大的缺點是無法獲知頻域上的時間信息。1994年以來國內(nèi)掀起了對小波分析研究的熱潮，小波分析在損傷檢測、信號去噪和圖像壓縮等方面有了長足的發(fā)展。文獻[24-26]研究了小波變換在損傷探測方面的應用；朱希安等[27]綜述了小波分析的研究現(xiàn)狀；李宏男等[28]則論述了小波分析在土木工程領域的應用；劉希靈等[29]使用離散小波變換對巖石SHPB實驗中的信號進行去噪，得到精確的重構信號；劉立偉[30]利用小波變換對木材應力波缺陷進行了檢測；燕永峰等[31]使用修正薩道夫斯基公式和多頻帶小波包系數(shù)，利用Matlab語言編程，提出了一種新型的爆破振動信號波形預測模型；李林[32]使用小波分析研究應力波在粘彈性桿中傳播，對波形進行了預測和可視化。

下面介紹小波變換分析粘彈性波傳播問題。

連續(xù)小波變換的定義：

(16)

A>0,a和b分別為伸縮和平移因子，Ψ(t)為母小波,滿足容許性條件

(17)

為了研究粘彈性波傳播的衰減和彌散特征，需分析應力波信號的相位和幅值信息，連續(xù)小波采用復數(shù)小波，母小波使用Gabor小波。

一維Gabor小波函數(shù)定義為

(18)

傅里葉變換為

(19)

式中 關于γ的取值，多數(shù)文獻均取值5.336[33,34]，di Lanza等[35]研究發(fā)現(xiàn)，當γ=5.336時，Gabor連續(xù)小波變換的群速度值與Pochhammer-Chree理論計算值比較吻合。

在使用小波變換求解波傳播問題時，由于小波變換的理論知識較為復雜抽象，初學者不易上手；且計算過程中，實際運算量較大，對計算環(huán)境和計算速度要求較高；最重要的是小波基的選取尚未有系統(tǒng)規(guī)范的方法，有待科研人員進一步探索。

3 Laplace變換法研究粘彈性波

3.1 Laplace變換法的基本原理

Laplace變換是在Fourier變換的基礎上進行研究，為彌補Fourier變換處理非平穩(wěn)信號上的不足而提出。其數(shù)學原理是在Fourier變換的基礎上乘一個衰減因子e- a t，具體過程如下。

(20)

(21)

式中a為實數(shù)，i為虛數(shù)單位，s為復數(shù)，令s=a+iw。

由于粘彈性波傳播過程中的波動控制方程是一組偏微分方程，可以通過求偏微分方程的技術來對粘彈性波的傳播問題進行求解，而Laplace變換是將時域的波動偏微分方程轉換為拉氏域的常微分方程求解的一種方法，早期便有學者提出使用Laplace變換對波傳播問題進行求解，但限于將像函數(shù)轉換為原函數(shù)的過程十分復雜，研究進展緩慢。且Laplace變換是一種半解析法，需要根據(jù)初始條件和邊界條件結合波動控制方程求解。近年來由于計算機技術的高速發(fā)展，發(fā)展了很多Laplace反變換的技術，Dubner等[36]將Laplace變換與有限傅里葉余弦變換結合起來進行Laplace變換的數(shù)值反演；Durbin[37]對Dubner的方法進行改進優(yōu)化，提出了一種精確的拉普拉斯變換數(shù)值反演方法；Wilcox[38]為拉普拉斯變換的數(shù)值計算提供了一個有效的基礎，以解決傳統(tǒng)解析方法無法解決的瞬態(tài)問題；Honig等[39]提出了一種基于Durbin的傅里葉級數(shù)展開的拉普拉斯變換數(shù)值反演方法；Abate等[40,41]研究了多精度的Laplace數(shù)值反演；Cohen[42]整理出版了相關書籍。Laplace反變換的高速發(fā)展，為使用Laplace變換技術求解粘彈性波的傳播問題提供了便利。

國內(nèi)使用Laplace變換法對粘彈性波傳播問題的研究不多，周風華等[43]研究了SHPB實驗中的粘彈性波傳播問題，采用Laplace變換處理波動方程,用數(shù)值反變換技術對像函數(shù)進行Laplace逆變換，改進FT反變換算法，并證明了其方法的有效性。周風華等[44]采用特征線法和Laplace變換法處理一維粘彈性波傳播問題，比較其結果表明,沿特征線差分方法可以有效處理強間斷在粘彈性介質(zhì)中的傳播，是一種便利、高效的數(shù)值分析方法；而Laplace變換方法具有簡潔和快速的特點，對于一些簡化的問題，結合數(shù)學分析軟件可以迅速得到初步答案。鄭宇軒等[45]采用Laplace變換處理SHPB實驗中涉及粘彈性試件內(nèi)部應力非均勻性問題，并給出了數(shù)值反變換解，該方法對分析應力波導致混凝土等非均質(zhì)脆性材料的破壞問題提供了一個新的解決途徑。王建等[46]采用Laplace變換法處理樁基應力波傳播問題，將混凝土樁基簡化為粘彈性介質(zhì)中的一維粘彈性桿，建立桿中一維粘彈性應力波傳播的控制方程，結合樁基兩端的耦合邊界條件對控制方程進行Laplace變換和數(shù)值反變換，得到了時間域的應力波形。

本文以一根長為L的粘彈性試件為研究對象，x為粘彈性試件的Lagrange坐標，時間為t,試件左端受到?jīng)_擊荷載，采用簡單的Kelvin模型描述粘彈性材料的力學特性，其由一個彈性構件和粘性構件并聯(lián)而成，如圖1所示。

圖1 Kelvin模型

材料本構方程

(22)

因材料最初處于靜止狀態(tài)，故其初始條件為

(0

對所有未知數(shù)函數(shù)的時間變量做Laplace變換，變換后的Laplace像函數(shù)在其上劃橫線表示，像函數(shù)的變量為s。對偏微分方程(1，2，22)進行Laplace變換，結合初始條件(23)可得

(24，25)

(26)

(27)

(28)

方程(28)的通解為

(29)

式中

(30)

雖然Laplace反變換近年得到了長足的發(fā)展，但該技術還不是十分成熟。

3.2 Laplace變換在粘彈性波中應用研究

Laplace變換法在處理粘彈性應力波傳播問題方面，由于Laplace變換能夠準確定位應力波任意時刻、任意點的波動情況，故在多個領域占有重要的地位。下面從地震波、基礎應力波和球面應力波幾個方面介紹其應用。

3.2.1 Laplace變換在地震波中的應用

當?shù)卣鸩ㄍㄟ^復雜的建筑介質(zhì)時，建筑物表現(xiàn)出內(nèi)在的粘彈性特性，為準確描述地震波在粘彈性介質(zhì)中的傳播特征、衰減和彌散情況，劉良坤等[47]使用Laplace變換研究框架-剪力墻的地震響應，建立框架-剪力墻的動力分析模型，并通過算例與有限元模型驗證所建立動力模型的正確性；李保[48]利用Laplace變換求解拱結構的地震響應,通過工程實例不同的工況來驗證該方法的準確性，結果證明利用Laplace變換求解大跨度拱結構的地震激勵響應問題時，比振型迭加法求解該問題更簡捷，精確度更高。

3.2.2 Laplace變換在基礎應力波中的應用

由于建筑物的基礎多為鋼筋混凝土結構澆筑，鋼筋混凝土不同于一般的剛性或者彈性材料，多表現(xiàn)為粘彈性特征，故在研究基礎受外界激勵時，基礎內(nèi)部多為粘彈性波。王健[46]采用Laplace變換研究樁基中應力波傳播問題，使用Laplace變換對控制方程和定解條件求解，并用數(shù)值反Laplace變換對像函數(shù)作反變換，得出空間各點速度和應力等物理量的精確值，是對傳統(tǒng)方法(特征線法和傳播系數(shù)法等)的一種補充；祝彥知[49]使用Laplace變換對土體受集中荷載的情況進行分析,求解土體的位移、應力和應變粘彈性解，進一步完善了空間半無限體的計算理論；王新輝等[50]運用Laplace變換研究雙層地基固結問題，在Laplace 逆變換中運用Stehfest算法進行數(shù)值求解，最終計算結果與實測沉降結果相符，證明了該方法的正確性和適用性；鄭長杰等[51]在研究大直徑管樁在粘彈性土層中的豎向動力響應時，利用Laplace變換對控制微分方程進行求解，研究結果表明，在大直徑管樁完整性試驗中應考慮橫向慣性效應；熊輝等[52]基于Laplace 變換，對層狀地基中樁土橫向振動阻抗計算問題進行了研究，并通過實例分析，驗證了該方法的有效性和可行性。

3.2.3 Laplace變換在球面應力波中的應用

盧強等[53]對球面應力波傳播特征進行研究，利用Laplace變換對球面波波動方程進行求解，得到Laplace域中的粒子速度、位移、應力和應變等物理量，采用基于Crump算法的Laplace數(shù)值逆變換方法分析了上述物理量的傳播特征，發(fā)現(xiàn)折合速度勢和折合位移勢的峰值在波傳播過程中逐漸衰減,這與理想彈性理論給出的折合速度勢和折合位移勢不隨傳播距離變化的結論不同。劉干斌等[54]基于Biot波動方程，研究在粘彈性飽和土中嵌入部分密封殼的球形空腔的瞬態(tài)響應，利用Laplace變換和Durbin提出的數(shù)值反Laplace算法求解軸對稱表面荷載和流體液壓的瞬態(tài)響應；夏才初等[55]基于西原模型，使用Laplace變換和逆變換，推導出了圓形隧道粘彈-粘塑性的解析解，分析圍巖位移及應力等物理量隨時間變化的規(guī)律，結合工程實例進行驗證，建議采用讓壓支護技術來保證圍巖和襯砌的穩(wěn)定性，為圓形隧道建設提供一定的理論依據(jù)。

4 粘彈性波傳播分析方法的比較

以上幾種處理粘彈性波傳播問題方法的使用條件及其各自的優(yōu)劣總結如下。

(1) 特征線有限差分法。計算過程需使用材料的本構方程、初始條件和邊界條件；該方法比較成熟[3]，計算結果準確，接近理論解，且能準確刻畫粘彈性波的傳播、反射和相互作用的特征，能夠有效地處理強間斷波在粘彈性介質(zhì)中的傳播，具有便利和高效的特點；但當試件尺寸過大時，計算過程較多，耗時較長，成本較高，對分析大尺寸混凝土等試件達不到預期效果。

(2) 傳播系數(shù)法。計算過程需要用到材料的本構方程，不需要初始和邊界條件；在使用該方法計算細長桿(即忽略橫向慣性效應)的粘彈性波的傳播時十分快捷，過程簡單，誤差在3%左右[19]；但對大桿(波長不顯著大于桿徑)，則需考慮橫向慣性效應，計算公式冗長，過程復雜，求解困難。

(3) 波傳播實測信息的反分析法。該方法不需要使用材料的本構方程、初始和邊界條件；求結構沖擊力十分簡單，求得傳遞函數(shù)成為該方法的關鍵。由于傳遞函數(shù)僅與結構尺寸和材料特性有關，可先用已知力和結構響應來求得傳遞函數(shù)，再以此求解該系統(tǒng)的未知沖擊力大?。坏怯捎谠谇蠼鈧鬟f函數(shù)時，建立符合實際的有限元模型至關重要，建模過程中始終存在一定差異，造成誤差較大，盧靜涵等[22]在算例中存在高達13%的誤差。

表1 幾種波傳播方法對比分析Tab.1 Comparative analysis of several wave propagation methods

(4) 小波變換分析法。計算時需要使用材料的本構方程、初始和邊界條件；小波分析具有在時域和頻域都顯示信號細節(jié)的能力，通過平移和伸縮的可變視窗口能夠聚焦到信號的任何細節(jié)部位，得到信號的瞬時特征，進行時域和頻域的信號處理，在非平穩(wěn)信號的處理方面具有不可替代的地位；且其計算結果精確，誤差在1%～3%[28,32]。但小波變換入門困難，實際運算量較大，同時在最優(yōu)小波基的選取方面，缺乏系統(tǒng)規(guī)范的方法。

(5) Laplace變換法。計算過程需要使用本構方程和初始邊界條件；該方法能簡潔快速地計算出試件的全場波動解，計算結果與特征線有限差分法基本一致，驗證了該方法的有效性和精確性，且在求解某一點或某一時刻的波動問題時，計算效率高(與特征線法和傳播系數(shù)法比較)[44]，同時該方法在處理大尺寸的混凝土材料的波動問題時也能快速地得到全場波動解；但數(shù)值反Laplace變換是近年隨著計算機技術的發(fā)展而崛起，發(fā)展時間較短，還存在很多不足，如將波動問題從時域變換到S空間上后，可能導致后期的擾動信號對前期的波動狀態(tài)產(chǎn)生影響，可參考文獻[43]的解決方案。

5 結 論

通過對幾種求解方法的優(yōu)劣分析以及對Laplace變換在粘彈波中應用的研究，可知Laplace變換法相較于其他幾種算法，具有十分快捷、高效和精準的特點，可求解出應力波在任意時刻、任意點的應力應變和粒子速度等物理量；尤其對于混凝土這類大試件，其他幾種分析方法對其求解都比較困難或者成本較高，而Laplace變換法在求解混凝土應力波傳播問題中具有其獨有的優(yōu)勢，可用粘彈性本構模型擬合混凝土材料的動態(tài)應力應變關系[56]，將混凝土視為粘彈性介質(zhì)，結合初始和邊界條件進行求解。其發(fā)展趨勢還可擴展到對梁和柱類大型混凝土等非均質(zhì)脆性材料及飛機渡輪等緩沖材料和軍工爆炸材料的沖擊及碰撞問題進行求解，為這類問題提供了一個新的解決途徑。