Klein-Gordon波動方程多波傳播的非線性特性

潘陳蓉， 陳松林

(安徽工業(yè)大學(xué) 數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院，馬鞍山 243002)

1 引 言

近幾十年來，學(xué)者們在社會科學(xué)和自然科學(xué)領(lǐng)域建立了許多非線性數(shù)學(xué)模型，并提出了許多求解非線性波動方程的方法。如齊次平衡法[1-3]、Jacobi橢圓函數(shù)展開法[4,5]和直接代數(shù)法[6,7]等。Klein-Gordon方程是著名的非線性波動方程，在力學(xué)、非線性光學(xué)、旋轉(zhuǎn)波和一些數(shù)學(xué)物理問題中[8-12]，有著非常重要的研究和應(yīng)用價值。

目前，已有眾多學(xué)者研究了單個平面波和波-波在波的傳播過程中的相互作用，Holmes[13]研究了非線性波動方程中的波-波相互作用，Zhang等[14]研究了廣義β效應(yīng)下的非線性行星-天氣波相互作用及其解的性態(tài)，李群等[15]研究了內(nèi)孤立波的波-波相互作用，那仁滿都拉[16]研究了流體與固體介質(zhì)中的有限振幅波與孤立波的傳播和相互作用。對三個波以上的多波相互作用的研究較少。

本文討論非線性對多波傳播的影響。選取適當(dāng)?shù)某踔岛鸵攵嘀爻叨龋瑢lein-Gordon方程進(jìn)行變形。應(yīng)用多重尺度方法討論三波初值在傳播過程中的相互作用，根據(jù)三波初值相互作用的研究，得到多波初值在傳播過程中速度相互影響的定量關(guān)系。最后，應(yīng)用Mathematica數(shù)值求解非線性Klein-Gordon波動方程，并作解的波動圖和解的首項近似的波動圖。由數(shù)值仿真結(jié)果可知，本文使用多重尺度方法獲得的結(jié)果具有較好的精度。

2 研究背景

Holmes[13]研究了非線性波動方程中的波-波相互作用，得到雙波傳播過程中速度相互影響的定量關(guān)系式，所得結(jié)果表明,一個波的存在會使得另一個波的傳播速度超過獨自傳播時的速度。Zhang等[14]研究廣義β效應(yīng)下的非線性行星-天氣波相互作用，通過使用多重尺度和攝動展開的方法，得到了天氣尺度波的修正方程。結(jié)果表明,行星尺度波和天氣尺度波的不對稱性、強(qiáng)度和持續(xù)性依賴于廣義β效應(yīng)。李群等[15]對內(nèi)孤立波的波-波相互作用進(jìn)行數(shù)值模擬，數(shù)值結(jié)果體現(xiàn)了波-波相互作用的非線性特征，即在兩波相交處，相速會隨著振幅的增大而增大。

考慮非線性波動方程

(-∞0)(1)

初值條件為

u(x,0)=F(x), ?tu(x,0)=G(x)

(2)

這是著名的非線性Klein-Gordon方程的初值問題，描述的是在彈性基座上弦的振動或者冷電子等離子體中的波。本文研究上述問題的行波解。首先，考慮當(dāng)ε=0時得到的線性方程，使用傅里葉變換，得到通解形式為

(3)

設(shè)式(1，2)解的形式漸近展開為

u(x,t)～u0(kx-ωt)+εu1(x,t)+…

(4)

可以看出，若直接尋找式(4)的漸近解，會導(dǎo)致長期項。因此，本文使用多重尺度研究非線性對右行波的影響。對于單個波傳播情形，可選取多重尺度

θ=kx-ωt,x2=εx,t2=εt

(5)

(6)

則微分方程(1)化為

(7)

繼而可得不含長期項的解的多尺度展式

u(x,t)～u0(θ,x2,t2)+εu1(θ,x2,t2)+…

(8)

對于初始條件中具有多波的情形，多重尺度式(5)和多尺度展式(8)一般無效。此時選擇更一般的多重尺度

x1=x,x2=εx,t1=t,t2=εt

(9)

李群等[15]對內(nèi)孤立波的波-波相互作用進(jìn)行數(shù)值模擬，數(shù)值結(jié)果表明，在兩波相交處，相速會隨著振幅的增大而增大。Holmes[13]研究非線性波動方程的雙波相互作用，通過選取適當(dāng)?shù)某踔岛鸵攵嘀爻叨?，獲得弱非線性Klein-Gordon方程的解的首項近似，得到雙波傳播時，一個波的存在會使另一個波的傳播速度超過獨自傳播時的速度。本文通過對三波情形的研究，討論多波傳播時行波相互影響的定性與定量關(guān)系。

3 多波相互作用

3.1 三波相互作用

由于在實際問題中常出現(xiàn)初始條件呈現(xiàn)多個波的情形。為了討論非線性對波傳播的影響，本文考慮三個波的情形，為此，假設(shè)初值

u(x,0)=α1cos(k1x)+α2cos(k2x)+α3cos(k3x)

(10)

?tu(x,0)=α1ω1sin(k1x)+α2ω2sin(k2x)+

α3ω3sin(k3x)

(11)

因為假設(shè)的三個波是不同的，所以設(shè)k1，k2和k3彼此不等。此時相應(yīng)的線性方程具有式(12)形式的解

u=α1cos(k1x-ω1t)+α2cos(k2x-ω2t)+

α3cos(k3x-ω3t)

(12)

在多波傳播時，引入式(9)的多重尺度，則有

(13)

方程(1)化為

u+εu3

(14)

引入其解的多尺度展式

u～u0(x1,t1,x2,t2)+εu1(x1,t1,x2,t2)+…

(15)

代入方程(14)及初始條件(10,11)，平衡其兩邊的O(1)項，可得

u0(x1,0,x2,0)=α1cos(k1x1)+α2cos(k2x1)+

α3cos(k3x1)

?t1u0(x1,0,x2,0)=α1ω1sin(k1x1)+α2ω2sin(k2x1)+

α3ω3sin(k3x1)

于是可得

(16)

A1，A2，A3，θ1，θ2和θ3是關(guān)于x2和t2的任意函數(shù)，要求滿足初始條件，即

A1(x2,0)=α1,A2(x2,0)=α2,A3(x2,0)=α3

θ1(x2,0)=θ2(x2,0)=θ3(x2,0)=0

(17)

再平衡其兩邊的o(ε)項，得

(18)

從式(16)得

(ki?x2+ωi?t2)Ai=0

(19)

(20)

式中i≠j≠k。線性波動方程(19)的通解為

Ai=Ai(ωix2-kit2)

(21)

結(jié)合初始條件(17)，Ai為常數(shù)，且Ai=αi，則線性波動方程(20)的通解為

(ωjx2-kjt2)+ci(ωix2-kit2)

(22)

式中ci由式(17)決定，從而可得

(23)

結(jié)合初始條件(10，11)，得到弱非線性Klein-Gordon方程的解的首項近似為

u～α1cos(k1x-λ1ω1t)+α2cos(k2x-λ2ω2t)+

α3cos(k3x-λ3ω3t)

(24)

3.2 多波相互作用

仿照三波傳播的討論，一般地，對于具有n個初始波的情形

(25)

引入式(9)的多重尺度，可得到方程解的首項近似為

(26)

4 數(shù)值仿真

為了驗證本文多重尺度方法的有效性，在非線性Klein-Gordon方程

(27)

中，取

ε=0.005,α1=α2=α3=1

k1=0.5,k2=1,k3=2

(28)

圖1 非線性Klein-Gordon方程在區(qū)域0< t <3和-10< x <10的波動

圖2 非線性Klein-Gordon方程解的首項近似式(21)在區(qū)域0< t <3和-10< x <10的波動

5 結(jié) 論

本文討論非線性對多波傳播的影響。選取合適的初值和引入多重尺度，對Klein-Gordon波動方程進(jìn)行變形。對三波傳播進(jìn)行討論，引入解的多尺度展式，設(shè)定合適的初始條件，得到方程解的首項近似和三波初值在傳播過程中的速度相互影響的定量關(guān)系。研究結(jié)果表明，三波傳播時，其中一個波傳播的速度受到另外兩個波的影響，即另外兩個波的存在會使得波的傳播速度(相速)超過獨自傳播時的速度(相速)。研究結(jié)果對多波情形仍然成立，根據(jù)三波初值相互作用的研究，得到各波傳播過程中的速度相互影響的定量關(guān)系。研究結(jié)果表明，多波初值在傳播過程中，一個波的傳播速度會受到另外多個波的影響，即另外多個波的存在會使得波的傳播速度(相速)超過獨自傳播時的速度(相速)。推廣了Holmes[13]關(guān)于雙波傳播的研究結(jié)果。

本文應(yīng)用Mathematica對波動方程進(jìn)行數(shù)值仿真，根據(jù)波動圖可以看出，非線性Klein-Gordon方程的解和方程解的首項近似式(24)是幾乎一致的。結(jié)果表明，本文使用的多重尺度法具有較好的適用性。