過(guò)程式板書(shū)：讓數(shù)學(xué)核心問(wèn)題留痕

摘要：數(shù)學(xué)板書(shū)主要呈現(xiàn)數(shù)學(xué)核心知識(shí)點(diǎn)。從教學(xué)方法和教學(xué)目標(biāo)的角度來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)板書(shū)和數(shù)學(xué)核心問(wèn)題的目的是一致的，那就是為學(xué)生的學(xué)習(xí)服務(wù)。將核心問(wèn)題與數(shù)學(xué)板書(shū)融為一體（過(guò)程式板書(shū)），對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)有很大的促進(jìn)作用。過(guò)程式板書(shū)既要呈現(xiàn)學(xué)習(xí)過(guò)程，又要呈現(xiàn)核心問(wèn)題的引領(lǐng)過(guò)程;既要呈現(xiàn)核心知識(shí)點(diǎn)，又要呈現(xiàn)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的產(chǎn)生過(guò)程。在設(shè)計(jì)過(guò)程式板書(shū)的過(guò)程中，可以在比較中留痕，凸顯知識(shí)本質(zhì);在體驗(yàn)中留痕，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn);在歸納中留痕，親歷合情推理;在溝通中留痕，構(gòu)建知識(shí)體系。

關(guān)鍵詞：過(guò)程式板書(shū);核心問(wèn)題;留痕

數(shù)學(xué)板書(shū)主要呈現(xiàn)數(shù)學(xué)核心知識(shí)點(diǎn)。在提倡數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地的當(dāng)下，數(shù)學(xué)板書(shū)的引領(lǐng)作用顯得越來(lái)越重要。數(shù)學(xué)核心問(wèn)題既為核心知識(shí)點(diǎn)的落實(shí)服務(wù)，也為學(xué)生核心素養(yǎng)的生成服務(wù)。從教學(xué)方法和教學(xué)目標(biāo)的角度來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)板書(shū)和數(shù)學(xué)核心問(wèn)題的目的是一致的，那就是為學(xué)生的學(xué)習(xí)服務(wù)。如果能將核心問(wèn)題與數(shù)學(xué)板書(shū)融為一體（過(guò)程式板書(shū)），那么對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的促進(jìn)作用就更大。

過(guò)程式板書(shū)既要呈現(xiàn)學(xué)習(xí)過(guò)程，又要呈現(xiàn)核心問(wèn)題的引領(lǐng)過(guò)程，既要呈現(xiàn)核心知識(shí)點(diǎn)，又要呈現(xiàn)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的產(chǎn)生過(guò)程。我探究了過(guò)程式板書(shū)的設(shè)計(jì)，并通過(guò)設(shè)計(jì)讓數(shù)學(xué)核心問(wèn)題留痕，讓課堂學(xué)習(xí)更有效。

一、凸顯知識(shí)本質(zhì)：在比較中留痕

比較是數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的思想方法之一，是促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的手段。比較還是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式，通過(guò)比較，可以凸顯知識(shí)本質(zhì)，便于學(xué)生更清晰地掌握，而滲透比較思想的核心問(wèn)題可以更好地引領(lǐng)學(xué)生展開(kāi)學(xué)習(xí)。因此，借助比較讓?zhuān)诵膯?wèn)題在板書(shū)上留痕，既可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，又可以讓學(xué)生感悟比較的數(shù)學(xué)思想。

人教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》四年級(jí)上冊(cè)“畫(huà)垂線”是一節(jié)典型的技能課。畫(huà)垂線的技能如果能夠通過(guò)比較的方式呈現(xiàn)出來(lái)，那么學(xué)生的感悟效果也就更加明顯。我在分析教材后提煉出了“畫(huà)垂線”的核心問(wèn)題：如何畫(huà)垂線？能畫(huà)幾條？垂線和距離有什么異同？為了突出這幾個(gè)核心問(wèn)題，我設(shè)計(jì)了五次比較的場(chǎng)景：一是畫(huà)點(diǎn)在直線上的垂線的范式和變式;二是畫(huà)點(diǎn)在直線外的垂線的范式和變式;三是畫(huà)同一條直線上的不同垂線;四是過(guò)一點(diǎn)畫(huà)直線的幾條線段;五是畫(huà)平行線之間的幾條垂線。通過(guò)這樣五次比較并且在黑板上留下痕跡（如圖1），學(xué)生就可以清晰地知道垂線的畫(huà)法，過(guò)一點(diǎn)只能畫(huà)一條垂線，一條直線上的所有垂線互相平行，從一點(diǎn)到直線的垂直線段最短，平行線之間的距離處處相等。這也是核心問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)的一種新方式。

人教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》四年級(jí)上冊(cè)“筆算除法”一課，教材安排了兩課時(shí)進(jìn)行教學(xué)，第一課時(shí)教學(xué)四舍法試商，第二課時(shí)教學(xué)五入法試商。我認(rèn)為，把這兩個(gè)課時(shí)整合在一起教學(xué)更有利于學(xué)生的比較，從而讓學(xué)生真正掌握四舍法和五入法試商的特征。為此，我設(shè)計(jì)了這一節(jié)整合課的核心問(wèn)題：四舍法試商可能會(huì)發(fā)生什么現(xiàn)象？五入法試商可能會(huì)發(fā)生什么現(xiàn)象？?jī)烧哂泻尾煌?？借助板?shū)，學(xué)生容易理解四舍法試商，初商容易變大，要調(diào)小;五入法試商，初商容易偏小，要調(diào)大。最后的驗(yàn)算方法，學(xué)生基本都能理解。把兩種試商方法放在一起比較，學(xué)生能夠更好地理解兩種試商方法的特征和優(yōu)勢(shì)，便于學(xué)生深刻領(lǐng)會(huì)。事實(shí)上，板書(shū)（如圖2）的過(guò)程就是核心問(wèn)題引領(lǐng)下學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程。

二、積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)：在體驗(yàn)中留痕

體驗(yàn)是個(gè)體主動(dòng)親歷或虛擬地親歷某件事并獲得相應(yīng)的認(rèn)知和情感的直接經(jīng)驗(yàn)的活動(dòng)。數(shù)學(xué)體驗(yàn)式學(xué)習(xí)是指學(xué)生在教師的組織、引導(dǎo)和合作下，在一定的情境下參與特定的數(shù)學(xué)活動(dòng)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成和應(yīng)用過(guò)程，從而積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，更好地獲取知識(shí)、應(yīng)用知識(shí)、解決問(wèn)題。因此，數(shù)學(xué)核心問(wèn)題應(yīng)努力把學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)引向體驗(yàn)式學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在自主體驗(yàn)中真正感悟數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。在板書(shū)中，可以通過(guò)示意圖建立數(shù)學(xué)模型、通過(guò)流程圖進(jìn)行清淅展示來(lái)留下體驗(yàn)的痕跡。

人教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》四年級(jí)上冊(cè)“烙餅問(wèn)題”是一節(jié)經(jīng)典的數(shù)學(xué)思維課，我連續(xù)四年任教這一內(nèi)容，之前三年都著眼于例題，努力建構(gòu)烙餅?zāi)Ｐ停骸袄语灥淖疃虝r(shí)間=餅的張數(shù)×烙一面的時(shí)間”。這一模型在“每次最多烙兩張餅”這一條件下普適性很強(qiáng)，但如果這一條件發(fā)生改變，就沒(méi)有了普適性，又要重新建構(gòu)模型。前三年中，我都要建兩個(gè)烙餅?zāi)Ｐ?，使得自己很辛苦，也使得有些學(xué)稀里湖涂。今年，我進(jìn)行了教學(xué)改進(jìn)，著力建立一個(gè)普適的模型?；诖?，我設(shè)計(jì)了如下的核心問(wèn)題：烙3張餅，如何最省時(shí)？烙餅時(shí)間和烙餅次數(shù)有什么關(guān)系？烙餅次數(shù)如何算？在烙2張餅的時(shí)候，讓學(xué)生感受同時(shí)烙可以節(jié)省時(shí)間，當(dāng)然應(yīng)該在板書(shū)上留下痕跡。烙3張餅是本課的核心內(nèi)容，必須安排學(xué)生動(dòng)手體驗(yàn)，讓學(xué)生積累烙餅經(jīng)驗(yàn)，真正感受到同時(shí)烙的優(yōu)勢(shì)，利用示意圖留下痕跡。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生順勢(shì)推導(dǎo)出烙4張餅、5張餅、6張餅的時(shí)間，然后引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察得出如下這些結(jié)論：烙餅次數(shù)=烙餅張數(shù)（每次烙2張餅時(shí)）;烙餅次數(shù)=餅的張數(shù)×2÷每次烙幾個(gè)面;烙餅的最短時(shí)間=烙餅次數(shù)×烙一面的時(shí)間。當(dāng)我把這些模型留在黑板上時(shí)（如圖3），這樣的板書(shū)既呈現(xiàn)出烙餅過(guò)程，又呈現(xiàn)出核心問(wèn)題的引領(lǐng)過(guò)程，讓學(xué)生真正經(jīng)歷了烙餅及思考的過(guò)程。

人教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》四年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《合理安排時(shí)間》，是一節(jié)適合學(xué)生自己探索、自己體驗(yàn)的思維活動(dòng)課，前提是要事先給予學(xué)生安排整理的方法——畫(huà)流程圖，還要事先提醒學(xué)生同時(shí)做的事情可以放在流程圖的同一個(gè)框內(nèi)（如圖4）。為此，筆者設(shè)計(jì)了如下的核心問(wèn)題：你能利用流程圖將下面的事情有序安排，保證所花時(shí)間最少嗎？如何合理安排，可以節(jié)省時(shí)間？當(dāng)學(xué)生在經(jīng)歷思考和畫(huà)流程圖后，會(huì)你一言、我一句地總結(jié)出合理安排時(shí)間的兩條原則：一是要關(guān)注事情的先后順序，二是要關(guān)注能同時(shí)做的事情同時(shí)做。只有這兩條原則都符合了，所花的時(shí)間就是最少且最合理。當(dāng)然，黑板的清晰展示，可以給學(xué)生一個(gè)較好的示范。最后的板書(shū)既是核心問(wèn)題的清晰呈現(xiàn)，更是學(xué)生體驗(yàn)過(guò)程的展示，讓學(xué)生清晰地感悟合理安排時(shí)間的竅門(mén)所在。

三、親歷合情推理：在歸納中留痕

歸納推理是從特殊到一般的推理方法，即依據(jù)一類(lèi)事物中部分對(duì)象的相同性質(zhì)推出該類(lèi)事物都具有這種性質(zhì)的一般性結(jié)論的推理方法。歸納推理往往是在人們實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上得出結(jié)論的，是合情推理的一種常見(jiàn)方式，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常用到。因此，教師在遇到需要?dú)w納推理的內(nèi)容時(shí)，一定要精心設(shè)計(jì)好核心問(wèn)題，然后引領(lǐng)學(xué)生投入到歸納推理中。當(dāng)學(xué)生親歷這個(gè)過(guò)程時(shí)，就親歷了合情推理，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維就能得到一次深度發(fā)展。

人教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》四年級(jí)上冊(cè)“除法的規(guī)律”一課，教材涉及三種除法規(guī)律，即除數(shù)不變規(guī)律、被除數(shù)不變規(guī)律、商不變規(guī)律。而要在一節(jié)課內(nèi)發(fā)現(xiàn)這三種規(guī)律對(duì)于四年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)還是比較困難的，即使能發(fā)現(xiàn)，在綜合運(yùn)用時(shí)也容易混淆。如何清晰歸納出這三種規(guī)律呢？我設(shè)計(jì)了如下這組核心問(wèn)題：結(jié)合黑板上的三組算式，想一想除數(shù)不變的時(shí)候，被除數(shù)和除數(shù)如何變化？被除數(shù)不變的時(shí)候，除數(shù)和商如何變化？商不變的時(shí)候，被除數(shù)和除數(shù)到底發(fā)生什么變化？設(shè)計(jì)時(shí)直接指向黑板上事先寫(xiě)好的三組算式，做到數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生的思維有所依靠。借助這三組算式，選取從上往下和從下往上兩個(gè)視角，學(xué)生會(huì)在不斷交流中初步歸納推理出這三種規(guī)律。在此基礎(chǔ)上，我繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注相應(yīng)的關(guān)鍵詞和條件，學(xué)生基本上能夠理解這三種規(guī)律（如圖5）。這樣，每一種規(guī)律都是師生共同歸納推理出來(lái)的，板書(shū)也是師生一起完成的，學(xué)生對(duì)這三種規(guī)律就會(huì)有一種親切感，能夠把握其實(shí)質(zhì)。

人教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》四年級(jí)上冊(cè)“田忌賽馬”這一課，教材首先讓學(xué)生通過(guò)有序排列感受田忌和齊王賽馬的所有方式（一共6種），田忌獲勝的次數(shù)為什么只有1次？這1次獲勝的原因是什么？從而使學(xué)生明白田忌獲勝的理由：一是讓對(duì)方先出馬;二是以弱勝?gòu)?qiáng)，即用最差的馬和齊王最好的馬比賽。為此，我設(shè)計(jì)了如下這組核心問(wèn)題：田忌和齊王對(duì)陣一共有幾種方式？請(qǐng)有序排列出來(lái)。為什么田忌獲勝的次數(shù)只有1次？田忌獲勝的理由是什么？其實(shí)，當(dāng)學(xué)生有序地排列出各種對(duì)陣的方式并且在黑板上呈現(xiàn)出來(lái)時(shí)（如圖6），就有了共同觀察、思考、討論的素材。學(xué)生就很容易就能得出獲勝的理由，而這理由就是本節(jié)課所滲透的策略思想。羅列對(duì)陣方式是一種排列的過(guò)程，而后續(xù)的分析討論則是歸納推理的過(guò)程。由于注重過(guò)程，既實(shí)現(xiàn)了目標(biāo)，又在黑板上留下了痕跡，還便于學(xué)生及時(shí)回顧鞏固。

四、構(gòu)建知識(shí)體系：在溝通中留痕

邏輯性強(qiáng)、連貫緊密是數(shù)學(xué)的特點(diǎn)之一。溝通知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生獲得知識(shí)、形成技能，并不斷將這些知識(shí)和技能納入原有的知識(shí)體系，是數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值追求。在教學(xué)中，我們不能單一、孤立地教給學(xué)生知識(shí)和技能，而是要將已學(xué)知識(shí)和技能進(jìn)行系統(tǒng)化、整體化，注意知識(shí)和技能間的內(nèi)在聯(lián)系，形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度利用多種方法去思考問(wèn)題、解決問(wèn)題。因此，在設(shè)計(jì)核心問(wèn)題和數(shù)學(xué)板書(shū)時(shí)，要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容適時(shí)溝通知識(shí)之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)起一個(gè)邏輯緊密的知識(shí)體系，便于學(xué)生順利感悟。

人教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》四年級(jí)上冊(cè)“平行四邊形的認(rèn)識(shí)”一課，其主要教學(xué)目標(biāo)是引導(dǎo)學(xué)生建立平行四邊形的觀念，使他們學(xué)會(huì)畫(huà)平行四邊形底邊上的高，溝通平行四邊形和長(zhǎng)方形及正方形之間的關(guān)系，在操作中感悟平行四邊形容易變形的特性以及變形過(guò)程中的變與不變。為此，我設(shè)計(jì)了如下的核心問(wèn)題：利用手中的學(xué)具探索平行四邊形有什么特點(diǎn)？平行四形和長(zhǎng)方形及正方形之間有什么關(guān)系？如何畫(huà)平行四邊形的高？把長(zhǎng)方形學(xué)具拉成平行四邊形，什么變了？第一個(gè)問(wèn)題，學(xué)生借助手中的學(xué)具，再加上課件的動(dòng)態(tài)演示，能夠比較清晰地得出平行四邊形的三大特征：對(duì)邊平行、對(duì)邊相等、對(duì)角相等。第二個(gè)問(wèn)題，我先出示一組四邊形讓學(xué)生判斷是不是平行四邊形，然后揭示平行四邊形的概念，接著引領(lǐng)學(xué)生溝通平行四邊形和長(zhǎng)方長(zhǎng)及正方形之間的關(guān)系，最后在學(xué)生充分說(shuō)理后用集合圖表示出它們之間的關(guān)系。第三個(gè)問(wèn)題，我先和學(xué)生一起畫(huà)高，接著讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)高的特點(diǎn)，最后揭示高的概念，強(qiáng)調(diào)畫(huà)高的要點(diǎn)。第四個(gè)問(wèn)題同樣要讓學(xué)生先操作，在操作基礎(chǔ)上提出問(wèn)題，引領(lǐng)學(xué)生思考。借助學(xué)具，學(xué)生基本上能夠得出變與不變的內(nèi)容。這樣一來(lái)，既讓核心問(wèn)題的引領(lǐng)作用充分發(fā)揮，同時(shí)又把相應(yīng)的提煉和溝通過(guò)程在黑板上呈現(xiàn)了出來(lái)（如圖7），讓學(xué)生真正感受到了數(shù)形結(jié)合的巨大魅力，真正厘清了知識(shí)的本質(zhì)。

人教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》四年級(jí)上冊(cè)“商不變規(guī)律的運(yùn)用”一課，教學(xué)目的之一是利用商不變規(guī)律讓計(jì)算簡(jiǎn)便。教材呈現(xiàn)了三種類(lèi)型：一是被除數(shù)和除數(shù)的末尾都有0，但沒(méi)有余數(shù);二是被除數(shù)和除數(shù)的末尾都有0，但有余數(shù);三是把除數(shù)轉(zhuǎn)化成整十、整百的數(shù)，被除數(shù)發(fā)生相應(yīng)變化。為此，我設(shè)計(jì)了如下這組核心問(wèn)題：為什么被除數(shù)和除數(shù)要?jiǎng)澋粝嗤瑐€(gè)數(shù)的0？有余數(shù)的時(shí)候怎么處置？如果用遞進(jìn)等式計(jì)算，如何簡(jiǎn)便？教學(xué)時(shí)，我先把這四個(gè)算式事先在黑板上寫(xiě)好，然后和學(xué)生一起經(jīng)歷計(jì)算的過(guò)程，在相互交流、反思、糾正中得到了正確答案。最后，將其過(guò)程在黑板上留下來(lái)（如圖8）。第一個(gè)問(wèn)題，重在讓學(xué)生理解劃掉相同個(gè)數(shù)的0的理由;第二個(gè)問(wèn)題，重在通過(guò)驗(yàn)算讓學(xué)生明白余數(shù)如何處置，自己總結(jié)出“商不變，余數(shù)要變”的結(jié)論。第三個(gè)問(wèn)題，重在運(yùn)用商不變規(guī)律，把除數(shù)變成整十、整百的數(shù)，然后被除數(shù)發(fā)生相同變化。事實(shí)表明，通過(guò)這樣的方式，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣較高，知識(shí)點(diǎn)的落實(shí)效果較好。

總之，核心問(wèn)題導(dǎo)學(xué)的實(shí)質(zhì)是用少數(shù)幾個(gè)精準(zhǔn)的問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生展開(kāi)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，而選擇性板書(shū)則將核心問(wèn)題導(dǎo)學(xué)的痕跡留在黑板上。事實(shí)證明，選擇性板書(shū)既可以讓學(xué)生的學(xué)習(xí)思路更加清晰，又可以讓學(xué)生的思維有所依托。更為重要是，可以把學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程呈現(xiàn)出來(lái)，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣明顯增強(qiáng)，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)向深度發(fā)展，從而讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)真正落地。

參考文獻(xiàn)：

[1] 張衛(wèi)星.小學(xué)數(shù)學(xué)核心問(wèn)題的內(nèi)涵、提煉與引領(lǐng)[J].遼寧教育，2019（23）.

[2] 陳華忠.如何確立數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問(wèn)題 [J].遼寧教育，2015（9）.

[3]張玉華. 例談小學(xué)數(shù)學(xué)"板書(shū)結(jié)構(gòu)化"的統(tǒng)整效應(yīng)[J].小學(xué)教學(xué)研究，2018（13）.

[4]李繼軍.讓課堂板書(shū)煥發(fā)出新的教學(xué)活力[J].教學(xué)月刊（小學(xué)版），2012（11）.

[5]林章億.小學(xué)數(shù)學(xué)板書(shū)設(shè)計(jì)的有效性策略[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2017（06）.

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）