基于狀態(tài)約束的異步電動(dòng)機(jī)命令濾波反步控制

呂振祥，于金鵬，于海生

(青島大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，青島 266071)

0 引 言

異步電動(dòng)機(jī)因其可靠的運(yùn)行性能、易操作的結(jié)構(gòu)特性以及較低的成本, 在各個(gè)工業(yè)領(lǐng)域都得到了廣泛應(yīng)用。在異步電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中，傳統(tǒng)的矢量控制[1]和直接轉(zhuǎn)矩控制[2]方法能夠滿足基本的控制需求，但由于異步電動(dòng)機(jī)是一個(gè)高度非線性、多變量、強(qiáng)耦合的復(fù)雜控制對(duì)象，傳統(tǒng)控制方法難以獲得良好的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。

近年來(lái)，大量的非線性系統(tǒng)相關(guān)的控制理論和方法被應(yīng)用于異步電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)控制問(wèn)題研究中,例如無(wú)源性方法[3]、自適應(yīng)控制[4-5]、模糊控制[6-8]和反步控制[9]等。其中，模糊自適應(yīng)控制方法可用來(lái)逼近系統(tǒng)中的非線性函數(shù)；而反步法在設(shè)計(jì)控制器時(shí)具有更加系統(tǒng)化和結(jié)構(gòu)化的特點(diǎn)，正引起越來(lái)越多的關(guān)注。然而，傳統(tǒng)反步設(shè)計(jì)過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)“計(jì)算膨脹”的問(wèn)題，對(duì)此，文獻(xiàn)[10]提出了命令濾波控制方法。該方法在反步設(shè)計(jì)的每一步中引入命令濾波器，避免了“計(jì)算膨脹”的問(wèn)題，并通過(guò)引入誤差補(bǔ)償機(jī)制，降低命令濾波誤差帶來(lái)的影響。然而，上述的控制方法忽略了狀態(tài)約束問(wèn)題。

在許多實(shí)際工程應(yīng)用中，系統(tǒng)的輸出和狀態(tài)量都需要被限制在合理的范圍內(nèi)，超出約束范圍可能使系統(tǒng)性能退化，出現(xiàn)故障，甚至威脅人身安全。在機(jī)床、起重機(jī)、卷?yè)P(yáng)機(jī)等生產(chǎn)設(shè)備中，異步電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)子位置和轉(zhuǎn)子角速度超過(guò)給定的范圍會(huì)降低生產(chǎn)效率，威脅人身安全。過(guò)大的轉(zhuǎn)子磁通會(huì)導(dǎo)致轉(zhuǎn)子磁心的飽和，產(chǎn)生嚴(yán)重的熱損耗。過(guò)大的勵(lì)磁電流會(huì)造成電網(wǎng)的電壓波動(dòng)，并會(huì)影響同一電網(wǎng)其他設(shè)備的操作；同時(shí)，電機(jī)繞組嚴(yán)重發(fā)熱，會(huì)加速絕緣老化，縮短電機(jī)使用壽命。因此，在異步電動(dòng)機(jī)的控制問(wèn)題中考慮狀態(tài)約束問(wèn)題是十分必要的。文獻(xiàn)[16]研究了異步電動(dòng)機(jī)命令濾波反步控制策略，但并沒(méi)有考慮電機(jī)的狀態(tài)和輸出受限問(wèn)題。為了解決這一問(wèn)題，本文基于一種新的障礙Lyapunov函數(shù)[11-14]構(gòu)造了約束控制器。當(dāng)系統(tǒng)誤差趨向于臨界受限條件時(shí)，Lyapunov函數(shù)值將趨向于無(wú)窮大，進(jìn)而保證狀態(tài)量始終保持在約束區(qū)間內(nèi)。

同時(shí)，鐵心損耗[15]在異步電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中也起著重要作用。長(zhǎng)時(shí)間工作在輕載或高速狀態(tài)下，異步電動(dòng)機(jī)將產(chǎn)生大量的鐵心損耗，這將對(duì)控制性能產(chǎn)生不利的影響。因此，考慮異步電動(dòng)機(jī)鐵損問(wèn)題設(shè)計(jì)的控制器將獲得更好的控制效果。

綜上所述，本文研究基于狀態(tài)約束的考慮鐵損的異步電動(dòng)機(jī)模糊自適應(yīng)命令濾波控制策略。本文主要貢獻(xiàn)有：

1)與文獻(xiàn)[16]相比，采用障礙Lyapunov函數(shù)約束狀態(tài)變量幅值，保證了異步電動(dòng)機(jī)的狀態(tài)始終在給定的區(qū)間內(nèi)；

2)采用帶有濾波補(bǔ)償?shù)拿顬V波技術(shù)解決了“計(jì)算膨脹”問(wèn)題，并引入誤差補(bǔ)償機(jī)制，降低濾波誤差帶來(lái)的影響；

3)考慮異步電動(dòng)機(jī)的鐵損問(wèn)題，提高控制精度；

4)僅采用一個(gè)自適應(yīng)律，減輕系統(tǒng)在線計(jì)算負(fù)擔(dān)，易于工程實(shí)現(xiàn)。

所提出的控制器可以保證跟蹤誤差漸近收斂到原點(diǎn)非常小的鄰域內(nèi)，并且將轉(zhuǎn)子角速度、定子電流等狀態(tài)量限制在了給定的約束區(qū)間內(nèi)。仿真結(jié)果表明，該方法可以實(shí)現(xiàn)對(duì)異步電動(dòng)機(jī)的有效控制。

1 異步電動(dòng)機(jī)數(shù)學(xué)模型及初步變換

在同步旋轉(zhuǎn)d,q坐標(biāo)系下，按轉(zhuǎn)子磁鏈定向ψq=0，建立考慮鐵損的異步電動(dòng)機(jī)動(dòng)態(tài)模型[16]：

則考慮鐵損的異步電動(dòng)機(jī)動(dòng)態(tài)模型可表示：

(1)

在異步電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中，所有狀態(tài)變量都應(yīng)被限制在緊集Ωx內(nèi)，其中Ωx:={|xi|≤kci,i=1,2,3,4,5,6,7}，kci為正常數(shù)?？刂颇繕?biāo)是設(shè)計(jì)控制律uds和uqs，使x1,x5分別跟蹤期望軌跡x1d和x5d；同時(shí)，使異步電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的狀態(tài)始終在給定的緊集Ωx內(nèi)。

引理1[10]:命令濾波定義如下：

(2)

2 基于狀態(tài)約束的異步電動(dòng)機(jī)模糊自適應(yīng)命令濾波控制器設(shè)計(jì)

由反步法原理定義如下誤差變量：

(3)

式中：x1d和x5d為給定期望信號(hào)，采用障礙Lyapunov函數(shù)設(shè)計(jì)的虛擬控制律αi(i=1,2,3,4,5)為濾波器的輸入信號(hào)，xi,c(i=1,2,3,4,5)為對(duì)應(yīng)濾波器的輸出信號(hào)。定義濾波誤差補(bǔ)償信號(hào)ξi=zi-vi,i=1,2,…,7。定義緊集Ωv:={|vi|

(4)

(5)

(6)

式中：k1為大于零的常數(shù)。將式(5)和式(6)代入式(4)，可得：

-k1Kv1v1+Kv1v2

(7)

Step2:選取障礙Lyapunov函數(shù):

(8)

對(duì)V2求導(dǎo)可得:

(9)

注意到實(shí)際負(fù)載轉(zhuǎn)矩TL為有限值，假設(shè)其上限為d>0，則有0≤|TL|≤d。利用楊氏不等式，有：

式中：ε1為任意小的正數(shù)。式(9)可表示：

(10)

(11)

構(gòu)造虛擬控制律α2和補(bǔ)償信號(hào)ξ2,即:

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

選取如下虛擬控制律α3和誤差補(bǔ)償信號(hào)ξ3：

(17)

(18)

(20)

選取真實(shí)控制律uqs和補(bǔ)償信號(hào)ξ4：

(21)

(22)

Step5：選取障礙Lyapunov函數(shù)：

(23)

對(duì)其求導(dǎo)后可得：

(24)

構(gòu)造如下虛擬控制律和補(bǔ)償信號(hào)：

(25)

(26)

將式(25)和式(26)代入式(24)，可得：

(27)

Step6：選取障礙Lyapunov函數(shù)：

(28)

對(duì)其求導(dǎo)后可得：

(29)

(30)

選取虛擬控制律α5和補(bǔ)償信號(hào)ξ6，即：

(31)

將式(30)和式(31)代入式(29)，可得：

(32)

Step 7:為設(shè)計(jì)真實(shí)控制律Uds，選取第七個(gè)子系統(tǒng)的障礙Lyapunov函數(shù):

(33)

對(duì)其求導(dǎo)后可得：

(34)

(35)

選取如下真實(shí)控制律uds和濾波誤差補(bǔ)償信號(hào)ξ7：

(37)

Step8:選取整個(gè)系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù):

(38)

則:

(39)

選取如下自適應(yīng)律：

(40)

式中：r1,m1和li(i=2,3,4,6,7)均為正數(shù)。

3 穩(wěn)定性證明

將式(40)代入式(39)，可得:

(41)

由楊氏不等式可知：

(42)

(43)

在不等式(43)兩邊同時(shí)乘以eat，并在(0,t]內(nèi)積分可得：

(?t≥0)

(44)

4 仿真結(jié)果分析

為了驗(yàn)證本文控制方案的有效性，利用MATLAB仿真分析?？紤]鐵損的異步電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)如表1所示。

表1 異步電動(dòng)機(jī)參數(shù)

選取模糊集[-5,5]。異步電動(dòng)機(jī)仿真初始狀態(tài)為[0,0,0,0,1,0,0]。給定期望的跟蹤信號(hào)x1d=sint,x5d=1。設(shè)負(fù)載轉(zhuǎn)矩：

(a)異步電動(dòng)機(jī)的狀態(tài)約束范圍|x1|≤1.5,|x2|≤35,|x3|≤35,|x4|≤35,|x5|≤1.5,|x6|≤35,|x7|≤35。Ωv參數(shù)選取kb1=0.6,kb2=30,kb3=30,kb4=30,kb5=1.5,kb6=30，kb7=30?？紤]系統(tǒng)的控制性能，基于狀態(tài)約束的模糊自適應(yīng)命令濾波控制器設(shè)計(jì)參數(shù)如下：k1=8,k2=8,k3=20,k4=1 100,k5=150,k6=200,k7=200,r1=0.05,m1=0.02,l2=l3=l4=l6=l7=0.25。命令濾波器參數(shù)選取ζ=0.5,ωn=500。

(b)采用未考慮狀態(tài)約束的模糊自適應(yīng)命令濾波控制器[16]與本文的方法進(jìn)行仿真對(duì)比。兩種方法選取相同的控制器參數(shù)和電機(jī)參數(shù)。

仿真結(jié)果如圖1～圖13所示，其中圖1(a)～圖13(a)是本文的基于狀態(tài)約束的模糊自適應(yīng)命令濾波控制方案的仿真結(jié)果；圖1(b)～圖13(b)為不考慮狀態(tài)約束控制器方案的仿真結(jié)果。圖1為x1與x1d的波形對(duì)比，圖2為x5與x5d的波形對(duì)比，圖3和圖4展示了系統(tǒng)的狀態(tài)空間，圖5和圖6為補(bǔ)償后誤差vi的絕對(duì)值曲線，圖7和圖8分別給出了uqs和uds的波形，圖9～圖13給出了轉(zhuǎn)子角速度、d,q軸勵(lì)磁電流及d,q軸電流的波形。

(a)本文方法

(a)本文方法

(a)本文方法

(a)本文方法

(a)本文方法

(a)本文方法

(a)本文方法

(a)本文方法

(a)本文方法

(a)本文方法

(a)本文方法

(a)本文方法

(a)本文方法

由圖1和圖2可知，存在負(fù)載擾動(dòng)的情況下，兩種控制方案都可獲得滿意的跟蹤結(jié)果。然而圖1(a)～圖4(a)中系統(tǒng)的狀態(tài)變量都被限制在約束緊集Ωx內(nèi)，而圖1(b)～圖4(b)中狀態(tài)x3的幅值在-20到80的區(qū)間范圍內(nèi)變化，狀態(tài)x6也超出了給定的范圍。從圖5和圖6可以看出，采用狀態(tài)約束的補(bǔ)償后的誤差vi被約束在了緊集Ωv內(nèi)，而未采用狀態(tài)約束的vi超過(guò)了給定的區(qū)間。從圖7和圖8可以看出，采用狀態(tài)約束的控制律的幅值和波動(dòng)范圍更小。從圖9～圖13可以看出，本文的控制方案的轉(zhuǎn)速和電流都被限制在了給定的區(qū)間內(nèi)，并且在起動(dòng)階段具有更小的電流。仿真結(jié)果表明，本文的基于狀態(tài)約束的控制器更適合實(shí)際工程。

5 結(jié) 語(yǔ)

本文研究了基于狀態(tài)約束的模糊自適應(yīng)命令濾波控制方法，實(shí)現(xiàn)了對(duì)考慮鐵損的異步電動(dòng)機(jī)的位置跟蹤控制。相較于傳統(tǒng)的模糊自適應(yīng)控制器，本文的基于障礙Lyapunov函數(shù)的控制器對(duì)異步電動(dòng)機(jī)的狀態(tài)量進(jìn)行了約束，避免了異步電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子角速度、定子電流等狀態(tài)量過(guò)大造成的危害，具有一定的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。