深度學(xué)習(xí)在初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中的實(shí)施方法探究

吳菲

【摘要】? 復(fù)習(xí)課怎么上才能達(dá)到復(fù)習(xí)的效果，一方面要引起學(xué)生的興趣，另一方面要做到知識(shí)的溫故知新。新授課、習(xí)題課與復(fù)習(xí)課在教學(xué)上互有分工，教學(xué)要求層層遞進(jìn)。作者利用一堂復(fù)習(xí)課案例來(lái)探究函數(shù)復(fù)習(xí)課背后的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)能力培養(yǎng)方法。

【關(guān)鍵詞】? 一次函數(shù) 線系方程 學(xué)生生成 素養(yǎng)訓(xùn)練

【中圖分類號(hào)】? G633.6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】? A 【文章編號(hào)】? 1992-7711（2020）25-163-02

一直以來(lái)，復(fù)習(xí)課由于所受知識(shí)學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)，老師不容易調(diào)動(dòng)學(xué)生興趣，并且課堂知識(shí)點(diǎn)多而雜，而被很多老師都認(rèn)為不好上。因此我在送課的時(shí)候老師們經(jīng)常會(huì)希望我上復(fù)習(xí)課，方便一起探究復(fù)習(xí)課更好的上課方式。

要上好復(fù)習(xí)課，首先得區(qū)分好新課、習(xí)題課、章節(jié)復(fù)習(xí)課、和中考復(fù)習(xí)課的區(qū)別。如果用數(shù)學(xué)中簡(jiǎn)單的運(yùn)算法則來(lái)形容，“新課”好比加法，在學(xué)生的大腦中進(jìn)行知識(shí)的擴(kuò)充或積累?！傲?xí)題課”好比加減混合運(yùn)算。一方面，增加學(xué)生運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決各種問(wèn)題的方法及運(yùn)用知識(shí)的角度，另一方面，又將同類習(xí)題進(jìn)行整合，去表象而求實(shí)質(zhì)?！罢鹿?jié)復(fù)習(xí)課”好比減法，將整章看似零散的知識(shí)點(diǎn)，用學(xué)習(xí)代數(shù)、幾何、解析幾何、統(tǒng)計(jì)的通用方法來(lái)進(jìn)行知識(shí)的串聯(lián)和整合，讓學(xué)生對(duì)本章的知識(shí)體系越來(lái)越清晰。拋開(kāi)題與題之間列式的不同，去尋求題與題之間解題思路、解題能力及所用數(shù)學(xué)思想上的關(guān)聯(lián)或一致性?！爸锌紡?fù)習(xí)課”就好比除法，將所有知識(shí)點(diǎn)的能力目標(biāo)進(jìn)行分類，將章節(jié)復(fù)習(xí)課的學(xué)習(xí)方法運(yùn)用到相關(guān)章節(jié)上，進(jìn)行更大的知識(shí)體系連接，復(fù)習(xí)總結(jié)出四套學(xué)習(xí)方法，分別解決代數(shù)、幾何、解析幾何、統(tǒng)計(jì)相關(guān)知識(shí)。今天就以一節(jié)章節(jié)復(fù)習(xí)課的案例，與大家分享解析幾何——函數(shù)研究方法的探究，供大家參考。

一、教學(xué)目標(biāo)

1.讓學(xué)生體會(huì)研究函數(shù)的三個(gè)角度：點(diǎn)、線、面，體驗(yàn)劃歸思想。

2.讓學(xué)生學(xué)會(huì)幾何語(yǔ)言與代數(shù)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)換，進(jìn)一步體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用。

3.讓學(xué)生在合作探究過(guò)程中感受動(dòng)態(tài)問(wèn)題中參數(shù)的幾何意義，提高學(xué)生處理參數(shù)的能力，會(huì)利用相關(guān)線系解決具體問(wèn)題，提高計(jì)算能力。

4.能將所學(xué)的一次函數(shù)研究方法遷移到其他函數(shù)模型上，突破解析式的限制，看到函數(shù)研究的通法，培養(yǎng)函數(shù)研究的持續(xù)能力。

二、教學(xué)重點(diǎn)

1.從“點(diǎn)”、“線、“面”三個(gè)角度研究函數(shù);

2.“定點(diǎn)”、“動(dòng)點(diǎn)”、“交點(diǎn)”、“線系”相關(guān)知識(shí)的運(yùn)用。

三、教學(xué)難點(diǎn)

1.含參一次函數(shù)中定點(diǎn)的求法;

2.線系方程的運(yùn)用。

四、教學(xué)過(guò)程

一、開(kāi)放式命題引入

已知一次函數(shù)y=mx+3m，添加一個(gè)條件求出函數(shù)解析式。

【素養(yǎng)訓(xùn)練】開(kāi)放命題，調(diào)動(dòng)學(xué)生已有學(xué)科知識(shí)：1.求解析式的實(shí)質(zhì)是求解析式中的參數(shù);2.需要幾個(gè)條件求取參數(shù)？條件個(gè)數(shù)與參數(shù)個(gè)數(shù)之間又怎樣的關(guān)系？3.有哪些形式能給出求參數(shù)的條件？

【學(xué)生生成1】添加條件：過(guò)某個(gè)點(diǎn)，例如函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，2）

【知識(shí)鏈接1】常見(jiàn)的給點(diǎn)方式有哪些？

1.過(guò)點(diǎn)（-1，2）

2.當(dāng)x=-1時(shí)，y=2

3.在函數(shù)圖象上給出點(diǎn)

4.用表格形式給點(diǎn)

【學(xué)生生成2】添加條件：與某直線平行（垂直）。例如與直線y=2x-5平行

【學(xué)生生成3】添加條件：已知與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積。例如與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為9.

【設(shè)計(jì)意圖】從點(diǎn)、線、面的角度給出求參數(shù)的條件。引導(dǎo)學(xué)生將函數(shù)研究方向聚焦到研究與函數(shù)有關(guān)的點(diǎn)、線、面上。在點(diǎn)、線、面三方面中，研究與函數(shù)有關(guān)的點(diǎn)尤其重要。

二、探究與函數(shù)有關(guān)的點(diǎn)

例1已知一次函數(shù)y=mx+3m，過(guò)點(diǎn)（-1，2），

（1）求出函數(shù)解析式。

（2）求該函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo);

求該函數(shù)與y=-x交點(diǎn)坐標(biāo);

（3）若點(diǎn)P為該一次函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，則P點(diǎn)坐標(biāo)可表示為_(kāi)_________.

【素養(yǎng)訓(xùn)練】在具體問(wèn)題中感知函數(shù)圖象上的已知點(diǎn)、交點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)的具體運(yùn)用及呈現(xiàn)方式。訓(xùn)練學(xué)生歸納、計(jì)算、消參的能力。

【知識(shí)鏈接】函數(shù)中常見(jiàn)的點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的運(yùn)用方法（適用于所有函數(shù)）：

1.函數(shù)圖象上的已知點(diǎn)

處理方法：將已知點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，消參。

2.交點(diǎn)

處理方法：1.求交點(diǎn)：聯(lián)立解析式，求方程組的解;

2.已知交點(diǎn)：可代入多個(gè)解析式消參。

3.圖象上的動(dòng)點(diǎn)

處理方法：直線y=kx+b上動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)可表示為P（x，kx+b）

（1）求出函數(shù)解析式;

（2）求該函數(shù)與直線y=-x的交點(diǎn)坐標(biāo);

（3）若P為該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，過(guò)P作PH垂直x軸于點(diǎn)H，

求△OPH的面積。

【設(shè)計(jì)意圖】任何函數(shù)圖象都是又具有某一特征的點(diǎn)構(gòu)成，在研究函數(shù)圖象上的相關(guān)運(yùn)用時(shí)可打破一次函數(shù)的限制，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)遷移，培養(yǎng)學(xué)生用已知探究未知的能力，授之以漁。該探究亦適用于高中函數(shù)學(xué)習(xí)，進(jìn)行初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力銜接。

三、拓展探究

（4）已知一次函數(shù)y=mx+3m，過(guò)點(diǎn)（-3，0），你有什么發(fā)現(xiàn)？

【學(xué)生生成】代入點(diǎn)（-3，0）得，-3m+3m=0等式恒成立，與參數(shù)m無(wú)關(guān)。

【知識(shí)鏈接】1.帶參函數(shù)上的定點(diǎn)：使含參解析式恒成立的點(diǎn)

2.求含參函數(shù)圖象上定點(diǎn)的方法及步驟：

（1）轉(zhuǎn)換主元：以參數(shù)為主元整理解析式

（2）尋找恒成立條件：令參數(shù)的系數(shù)為0時(shí)，所得方程若恒成立即有定點(diǎn)，若無(wú)法恒成立，則無(wú)定點(diǎn)。

注：此方法步驟適用于所有函數(shù)

【例題解析】

【變式訓(xùn)練】

【設(shè)計(jì)意圖】含參動(dòng)態(tài)問(wèn)題中的定值問(wèn)題是研究含參問(wèn)題中最有研究?jī)r(jià)值的一類問(wèn)題，往往也是解題或優(yōu)化解題方法的突破口。轉(zhuǎn)換主元的方法適用于所有在特殊的含參解析式中尋找定點(diǎn)，為后續(xù)函數(shù)中定點(diǎn)的尋求作思想和能力的鋪墊。

【結(jié)論】只含一個(gè)參數(shù)的一次函數(shù)圖象一定過(guò)某個(gè)定點(diǎn)。

四、探究與一次函數(shù)有關(guān)的線系

【學(xué)生生成】第（3）問(wèn)可利用垂直系方程求解，也可利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到。

【素養(yǎng)訓(xùn)練】鞏固訓(xùn)練函數(shù)圖象上點(diǎn)的運(yùn)用方法，鞏固消參的能力，引入線系的思想，承上啟下。

【知識(shí)鏈接】

【設(shè)計(jì)意圖】從線系的角度，再次直觀詮釋一次函數(shù)中常數(shù)k、b的幾何意義。會(huì)根據(jù)題目已知條件合理設(shè)出線系方程。

直線y=2x+d呢？

【設(shè)計(jì)意圖】平行線系的運(yùn)用

變式：點(diǎn)C為直線AB與x軸的交點(diǎn)，若直線y=kx+4與△OCD有交點(diǎn)，求k的取值范圍。直線y=nx+10呢？

【設(shè)計(jì)意圖】定點(diǎn)線系的運(yùn)用

【遷移訓(xùn)練】根據(jù)學(xué)生情況，以下內(nèi)容選擇性教學(xué)或作為課后學(xué)生探究作業(yè)。

結(jié)合求含參函數(shù)圖象所過(guò)定點(diǎn)的方法，探究過(guò)定點(diǎn)（1，2）的線系方程應(yīng)該如何表示？過(guò)定點(diǎn)（x1，y1）的線系方程呢？

【素養(yǎng)訓(xùn)練】多角度理解“定點(diǎn)”的用法，進(jìn)行知識(shí)和能力上的遷移，培養(yǎng)學(xué)生深入研討，多角度運(yùn)用、分析概念的能力。培養(yǎng)學(xué)生觸類旁通，開(kāi)放思維，大膽質(zhì)疑的能力。

五、探究與一次函數(shù)有關(guān)的面

（5）點(diǎn)E坐標(biāo)為（4，0），P是直線y=-x+6上的點(diǎn)，設(shè)△OPE的面積為S，當(dāng)S=10時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)。

【素養(yǎng)訓(xùn)練】訓(xùn)練數(shù)形結(jié)合思想，幾何條件與點(diǎn)坐標(biāo)、線解析式之間的轉(zhuǎn)換。

【知識(shí)鏈接】與函數(shù)圖象有關(guān)的面積問(wèn)題的分析策略：

1.制定求面積的方法

（2）所求三角形三邊都不與坐標(biāo)軸平行時(shí)，選擇割補(bǔ)法（用與坐標(biāo)軸平行的直線進(jìn)行割補(bǔ)，轉(zhuǎn)化為（1）的情況處理）。

2.用坐標(biāo)表示“底”和“高”。

六、一次函數(shù)點(diǎn)、線、面知識(shí)綜合運(yùn)用

（6）Q是直線y=-x+6上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，△OQE的周長(zhǎng)為C最?。?/p>

【素養(yǎng)訓(xùn)練】本題涉及到了“直線上已知點(diǎn)”、“直線上動(dòng)點(diǎn)”、“垂直線系”、“交點(diǎn)”、“中點(diǎn)”、“對(duì)稱點(diǎn)”、“軸對(duì)稱”、“最短路徑”等相關(guān)知識(shí)。