用數(shù)學(xué)體驗奠定高中生數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ)

范紅梅

[摘? 要] 數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的諸多要素，肯定不可能畢其功于一役，選擇其中的一個要素進行細致的研究，并能夠?qū)ふ业酵黄频耐緩?，也能夠讓核心素養(yǎng)更加順利地落地. 數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的第一要素，也是數(shù)學(xué)學(xué)科的基本特征. 學(xué)生在了解數(shù)學(xué)抽象的時候，一個重要的前提就是必須在一定的情境當中，而情境實際上是為學(xué)生提供思維素材的，思維素材要想進入學(xué)生的大腦，教師就必須拓展新的更加有效的途徑. 實踐表明，數(shù)學(xué)體驗應(yīng)當是一條比較好的途徑. 高中數(shù)學(xué)要重視數(shù)學(xué)體驗，要明確數(shù)學(xué)體驗的數(shù)學(xué)抽象目標指向，這樣兩者銜接，可以保證教學(xué)的高效，也可以保證數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)切實落地.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)體驗;數(shù)學(xué)抽象

自從數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)這一概念在核心素養(yǎng)概念的演繹之下被提出之后，如何培育學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，就成為高中數(shù)學(xué)教師認真思考的問題之一. 考慮這個問題并解決這個問題，一個重要的原則就是要了解學(xué)生的基礎(chǔ)，了解學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的感受. 事實上，長期以來高中數(shù)學(xué)的教與學(xué)都面臨著較大的挑戰(zhàn)，常聽年輕的數(shù)學(xué)教師無奈地說：“高中數(shù)學(xué)太抽象了，沒法讓學(xué)生理解透. 難教！”又常聽高中學(xué)生苦惱地說：“數(shù)學(xué)離生活太遠了，理解不了. 難學(xué)！”難教與難學(xué)形成了高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一道難關(guān)，這個難關(guān)不破除，核心素養(yǎng)的培育就是一句空話. 而且需要強調(diào)的是，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的諸多要素，肯定不可能畢其功于一役，選擇其中的一個要素進行細致的研究，并能夠?qū)ふ业酵黄频耐緩?，也能夠讓核心素養(yǎng)更加順利地落地.

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的第一要素，也是數(shù)學(xué)學(xué)科的基本特征，長期囿于應(yīng)試的高中數(shù)學(xué)教學(xué)，往往在知識的學(xué)習(xí)與應(yīng)用（解題）中淡化了數(shù)學(xué)抽象的印跡，這顯然并不符合核心素養(yǎng)培育的需要. 彰顯數(shù)學(xué)抽象在高中數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)中的價值，應(yīng)當成為數(shù)學(xué)教師的重要任務(wù). 筆者在教學(xué)反思中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在了解數(shù)學(xué)抽象的時候，一個重要的前提就是必須在一定的情境當中，而情境實際上是為學(xué)生提供思維素材的，思維素材要想進入學(xué)生的大腦，教師就必須拓展新的更加有效的途徑. 實踐表明，數(shù)學(xué)體驗應(yīng)當是一條比較好的途徑. 本文就重點談?wù)剶?shù)學(xué)實驗在學(xué)生數(shù)學(xué)抽象過程中能夠發(fā)揮的基礎(chǔ)性作用.

高中生的數(shù)學(xué)抽象需要基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)抽象一定是需要基礎(chǔ)的，沒有了這個基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)抽象就不可能真正發(fā)生. 這個基礎(chǔ)包括兩個方面的內(nèi)容：一是數(shù)學(xué)抽象必須具有抽象的對象，否則數(shù)學(xué)抽象就是無源之水、無本之木;二是數(shù)學(xué)抽象必須具有抽象的思維動機，只有有了數(shù)學(xué)抽象的動機，學(xué)生才有可能主動地用數(shù)學(xué)思維去抽象數(shù)學(xué)對象. 相比較而言，傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師往往重視前者而忽視后者，往往只側(cè)重于給學(xué)生創(chuàng)設(shè)情境而提供素材，卻忽視了學(xué)生在面對這些素材的時候，如何激發(fā)學(xué)生主動地對這些素材進行抽象. 很顯然，后者更加重要！

舉一個簡單的例子，學(xué)習(xí)“柱、椎、臺、球的結(jié)構(gòu)特征”，就需要學(xué)生大腦中有清晰的關(guān)于柱、椎、臺、球的表象，這個表象怎么來呢？當然是學(xué)生自己去建立，建立的過程就是一個數(shù)學(xué)抽象的過程. 在生活中，找出與柱、椎、臺、球相關(guān)的具體物體并不困難，甚至讓學(xué)生從數(shù)學(xué)角度對這些物體進行描述也不困難，而這就已經(jīng)是一定程度上的數(shù)學(xué)抽象了. 但在筆者看來，這種數(shù)學(xué)抽象還屬于思維水準較低的，還是學(xué)生的一種直覺性的反映，如果高中數(shù)學(xué)教學(xué)滿足于這樣的抽象，那是無法培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的. 之所以這么認為，是因為學(xué)生在這樣的抽象過程中缺乏抽象的動機，思維水平不處于高階. 有效的教學(xué)設(shè)計可以是，讓學(xué)生比較柱、椎、臺、球——通過比較來發(fā)現(xiàn)不同“體”的不同，來發(fā)現(xiàn)“體”的“特征”的不同，這樣學(xué)生在比較的時候有動機，在比較的過程中會運用數(shù)學(xué)思維，于是高水準的數(shù)學(xué)抽象就發(fā)生了. 很顯然，這是一個數(shù)學(xué)體驗的過程. 從這個角度來看，高中數(shù)學(xué)尤其是其中的數(shù)學(xué)抽象有著較強的理論性，在學(xué)習(xí)上要求有較高的思維能力才能獲得有效掌握，為此高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有必要引入體驗式教學(xué)模式，以提高教學(xué)效果.

數(shù)學(xué)體驗奠定數(shù)學(xué)抽象基礎(chǔ)

從上面的初步分析可以發(fā)現(xiàn)，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生進行數(shù)學(xué)體驗，是可以為數(shù)學(xué)抽象奠定堅實的基礎(chǔ)的. 這本身也符合數(shù)學(xué)抽象的本義，作為數(shù)學(xué)教師都知道，教學(xué)抽象體現(xiàn)了人類的活動. 從數(shù)學(xué)抽象的背景、產(chǎn)生、內(nèi)容、方法和形式等方面探討數(shù)學(xué)抽象活動的過程與結(jié)果、形式與實質(zhì)之間的思辨關(guān)系是深化數(shù)學(xué)教育理論研究的需要. 為了滿足這種需要，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當盡可能地讓學(xué)生進行數(shù)學(xué)體驗，并引導(dǎo)學(xué)生進入數(shù)學(xué)抽象的情境，進而引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)學(xué)思維對研究對象進行抽象.

例如，在建立“點、直線、平面之間的位置關(guān)系”的時候，筆者引導(dǎo)學(xué)生去完成這樣的一個體驗：一是尋找能夠表示點、直線和面的實際物體. 這是學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)概念尋找數(shù)學(xué)原型，本身是數(shù)學(xué)抽象的相反過程，但這個難度不大，學(xué)生容易想到，譬如用粉筆頭表示點，用筆或直尺表示線，用紙或書表示平面;二是讓學(xué)生通過三者在空間中的關(guān)系，去判斷點與線的位置、點與面的位置、線與面的位置存在哪些關(guān)系. 這是一個基于形象事物思考的數(shù)學(xué)抽象過程，學(xué)生首先要通過實物處理，判斷點與線的位置、點與面的位置、線與面的位置，這是一個比較復(fù)雜的過程，學(xué)生需要在空間中想象、模擬到兩兩之間可能的位置關(guān)系，如點與直線的直線外或直線上，線與面的平行、重合、相交，等等，其中前者可以為后者奠定思維基礎(chǔ). 因為實物是有體積和大小的，“點在線上”這一認識此前學(xué)生就已經(jīng)具有，在此處體驗的過程中，“點的體積與大小”就要被忽視，而忽視的過程就是抽象的過程，其后尋找線與面的位置關(guān)系的過程，更加是數(shù)學(xué)抽象的過程，因此學(xué)生此處更多的是數(shù)學(xué)抽象過程支配著空間位置關(guān)系的構(gòu)建. 有的學(xué)生并不能把三種位置關(guān)系都想全面，尤其是直線與平面平行的表象很難構(gòu)建出來，這個時候他們就會自發(fā)地“比劃”，這就是體驗，同時又是抽象——大腦中進行抽象，手上進行體驗（當然這里還與空間想象有一定的關(guān)系，具體不展開闡述）.

總之，在這樣的過程中，學(xué)生的體驗是充分的，思考也是充分的，思考的對象逐步由形象的實物，過渡到抽象的點、線、面，從形象物體到抽象的數(shù)學(xué)概念的演變，再到空間關(guān)系的構(gòu)建，一個建立在數(shù)學(xué)體驗基礎(chǔ)上的數(shù)學(xué)抽象過程也就充分地呈現(xiàn)在面前. 特別需要指出的是，學(xué)生一旦完成了這個數(shù)學(xué)體驗，他們還會用數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果研究生活中的新情境中的事物. 如將教室中墻角當作一個點，將兩個墻面的交界處當作線，將墻當作面，這樣就能夠更好地鞏固點、線、面位置關(guān)系的認識. 可以肯定地講，有了數(shù)學(xué)體驗做基礎(chǔ)，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象過程就是實實在在有收獲的，能夠真正培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

數(shù)學(xué)抽象視角下的數(shù)學(xué)體驗

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)體驗其實一直是數(shù)學(xué)教師所追求的學(xué)習(xí)過程，這是因為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)原本就是一個數(shù)學(xué)再創(chuàng)造的過程，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程猶如數(shù)學(xué)自身發(fā)展的過程. 從這個角度而言，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程也是伴隨著抽象的過程. 因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生感受抽象活動的必要性，體驗抽象活動的過程性，講究抽象活動的方法性，在抽象活動中培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象思想. 這闡述了數(shù)學(xué)體驗與數(shù)學(xué)抽象之間的關(guān)系，同時也給了高中數(shù)學(xué)教師一個啟發(fā)，那就是在數(shù)學(xué)抽象的視角之下思考數(shù)學(xué)體驗，并設(shè)計數(shù)學(xué)體驗的過程，就可以讓數(shù)學(xué)抽象更符合學(xué)生的發(fā)展需要，更符合學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地的需要. 對此，筆者總結(jié)了兩點認識：一是基于數(shù)學(xué)抽象設(shè)計數(shù)學(xué)體驗，不至于讓數(shù)學(xué)體驗偏離教學(xué)的目標，很多時候數(shù)學(xué)體驗被當成了數(shù)學(xué)教學(xué)的目標，這顯然是不對的. 因為其只是促進數(shù)學(xué)知識生成的途徑，本身不能夠因為體驗過程熱鬧而喧賓奪主. 二是數(shù)學(xué)體驗明確了數(shù)學(xué)抽象的目標之后，學(xué)生的思維更加容易在體驗過程中基于數(shù)學(xué)抽象的需要而運行. 數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)思維密切相關(guān)，數(shù)學(xué)思維的高效與否，決定了數(shù)學(xué)抽象的過程的質(zhì)量，在數(shù)學(xué)體驗中數(shù)學(xué)思維可以自然發(fā)生，而數(shù)學(xué)抽象的目標則明確了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方向所指，學(xué)生的思維就不容易偏轉(zhuǎn)甚至是偏離，那數(shù)學(xué)教學(xué)的過程就可以保證高效.

總的來說，高中數(shù)學(xué)要重視數(shù)學(xué)體驗，要明確數(shù)學(xué)體驗的數(shù)學(xué)抽象目標指向，這樣兩者銜接，可以保證教學(xué)的高效，也可以保證數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)切實落地. 這也提醒數(shù)學(xué)教師，研究數(shù)學(xué)知識發(fā)生的邏輯關(guān)系，這樣就能夠更好地將先進的教學(xué)理念轉(zhuǎn)化為實踐.