注重變式教學(xué)，提升教學(xué)實(shí)效

毛容萍

[摘? 要] 變式教學(xué)，通過(guò)多維度展示知識(shí)發(fā)生以及形成過(guò)程，使學(xué)生深度理解知識(shí)的本質(zhì)屬性，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)知識(shí)、能力以及素養(yǎng)的多重提升. 文章結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，從三個(gè)方面探討變式教學(xué)，以提升教學(xué)實(shí)效.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);變式教學(xué);教學(xué)實(shí)效

變式教學(xué)，是當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)的主流模式. 教師通過(guò)變化數(shù)學(xué)問(wèn)題的情境，變換數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件或結(jié)論，轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)問(wèn)題的形式或內(nèi)容等方式，引導(dǎo)學(xué)生舉一反三，不斷深入研究，達(dá)到觸類(lèi)旁通的教學(xué)效果. 從表面上看，似乎功夫花在“變”字上，其實(shí)，它的落腳點(diǎn)卻踩在“不變”上，即通過(guò)不斷的“變”讓學(xué)生感悟有關(guān)數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)本質(zhì)的不變性.實(shí)踐證明，變式教學(xué)通過(guò)多維度展示數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生以及形成過(guò)程，使學(xué)生深度理解知識(shí)的本質(zhì)屬性，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)知識(shí)、能力以及素養(yǎng)的多重提升. 那么，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，最常見(jiàn)的變式教學(xué)有哪些？

概念教學(xué)中的“變式”

數(shù)學(xué)教學(xué)都是從讓學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念開(kāi)始的. 深刻領(lǐng)悟概念對(duì)學(xué)生的后繼學(xué)習(xí)十分重要. 如何對(duì)概念實(shí)施變式教學(xué)？即對(duì)某一數(shù)學(xué)概念，基于多維視角引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探討，把握概念本質(zhì)與屬性，以實(shí)現(xiàn)學(xué)生深刻理解概念. 數(shù)學(xué)中的概念與定理是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的奠基石，但學(xué)生常常因?qū)Ω拍钆c定理深度理解的缺失而犯這樣或那樣的錯(cuò)誤. 如把平面向量理解為“帶箭頭的線段”，把切線理解為與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線等等. 對(duì)概念理解上的偏差必然導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.為此，教師在教學(xué)中應(yīng)該根據(jù)概念與定理內(nèi)涵與外延，進(jìn)行恰如其分的“變式”，讓學(xué)生走出理解上的誤區(qū).

案例1：“橢圓離心率”的教學(xué)

1. 定義：橢圓的離心率e等于其半焦距和半長(zhǎng)軸之比.

2. 模型：橢圓■+■=1（a>b>0）的離心率：e=■=■（c=■）.

3. 變式模型：已知橢圓方程■+■=1（b>a>0），則橢圓離心率： e=■=■（c=■）.

以上對(duì)定義、模型和變式模型三者的對(duì)比研究，學(xué)生不僅理解了a，c與離心率e=■之間的關(guān)系，而且能牢牢把握住“離心率”的本質(zhì)，即e=■，進(jìn)而避免了標(biāo)準(zhǔn)模型的特征化的錯(cuò)誤，即把e=■公式中c，a的相對(duì)位置誤以為離心率的本質(zhì)特征，只記形式不求本質(zhì)的學(xué)習(xí)誤區(qū).

總而言之，概念教學(xué)至關(guān)重要，不論教材是如何安排數(shù)學(xué)概念的，教師作為學(xué)生學(xué)習(xí)的引路人，都要具有變化意識(shí).通過(guò)變換不同表述來(lái)強(qiáng)化學(xué)生對(duì)概念的理解，使學(xué)生對(duì)每一概念既要會(huì)用文字表述，也要會(huì)用幾何直觀表述，更要學(xué)會(huì)用自己的語(yǔ)言來(lái)描述. 只有這樣，才能讓學(xué)生達(dá)到對(duì)概念本質(zhì)特征的深刻理解學(xué)習(xí)要求.

公式教學(xué)中的“變式”

數(shù)學(xué)解題，離不開(kāi)公式，尤其是三角函數(shù)問(wèn)題，對(duì)公式學(xué)習(xí)是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不可忽視的重要環(huán)節(jié). 掌握公式的應(yīng)用必須先認(rèn)清公式的結(jié)構(gòu)特征，理順公式的前因后果與來(lái)龍去脈，弄清推證方法和適用范圍，從而實(shí)現(xiàn)靈活運(yùn)用公式解題的目的. 因此，在公式教學(xué)中，教師要注重公式的變式探究. 如，如何從兩角和的余弦公式開(kāi)始，變化出兩角差的余弦公式，變化出兩角和與差的正弦公式和正切公式，變出二倍角公式，甚至變出半角公式和萬(wàn)能公式，如此變式，能讓學(xué)生從整體上把握住三角公式的內(nèi)在聯(lián)系，從對(duì)公式的死記硬背到對(duì)公式的感性認(rèn)識(shí)，又從對(duì)公式的感性認(rèn)識(shí)到公式的理性認(rèn)識(shí)，最終實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維質(zhì)的飛躍.在教學(xué)中，教師通常可以通過(guò)改變公式的外部條件，引導(dǎo)學(xué)生探究公式的內(nèi)在意義，延伸公式的應(yīng)用領(lǐng)域，盡可能“一式多變”.

案例2：換底公式

對(duì)數(shù)的換底公式，學(xué)生理解比較困難，如果讓他們死記硬背公式，那么運(yùn)用時(shí)會(huì)出現(xiàn)障礙，但是，如果能將公式加以適當(dāng)拓展變形，就可以得到換底公式的其他表現(xiàn)形式，從而可以幫助學(xué)生掃清應(yīng)用中的障礙：

logab·logbN=logaN，logab·logba=1， logba=■.

logambn=■logab，logambm=logab（a，b>0且a，b≠1，N>0，m，n≠0）.

以上變式，讓學(xué)生體會(huì)了公式變式的轉(zhuǎn)化功效，為學(xué)生解題提供了廣闊的天地，提高了學(xué)生直覺(jué)、發(fā)散、逆向等思維，進(jìn)而形成了良好的思維品質(zhì).

例1：化簡(jiǎn)a■.

本題若按常規(guī)解法，則原式=（a■）logb（logba）=（alogab）logb（logba）=blogb（logba）=logba.若逆用換底公式來(lái)解，則原式=aloga（logba）=logba. 孰優(yōu)孰劣，不言自明.

解題教學(xué)中的“變式”

數(shù)學(xué)教學(xué)的目的，是為了讓學(xué)生通過(guò)解題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)能力.如何拓展學(xué)生的解題思路？對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的多角度審視、多方位分析、多層次探求是極好的途徑，通過(guò)這條途徑，可以培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性、靈活性和深刻性.在日常習(xí)題課上，最常見(jiàn)的變式教學(xué)就是“一題多變”，通過(guò)變式訓(xùn)練，來(lái)強(qiáng)化學(xué)生思維. 這種承上啟下的變式訓(xùn)練，不僅可以激活學(xué)生的思維，更能讓他們拾階而上，循著變式問(wèn)題的方向，促使數(shù)學(xué)思維向更高的層次發(fā)展.

案例3：兩條直線平行的充要條件

在解析幾何初步中，兩直線平行的充要條件，是教學(xué)的重點(diǎn). 教材編者分了兩種情況加以證明：（1）當(dāng)兩直線的斜率存在時(shí)，l■∥l■？圳k■=k■且b■≠b■;（2）當(dāng)兩條直線斜率均不存在，且它們的同一坐標(biāo)軸上的截距不相等時(shí)，它們平行.而直線的斜率是否存在，取決于y的系數(shù)含有參數(shù)是否為零，所以要分類(lèi)討論.

例2：已知直線l■：2x-4y+7=0和直線l■：x-2y+5=0，求證：l■∥l■.

分析：注意到題設(shè)中兩條直線的方程中y的系數(shù)已經(jīng)確定，故只要考察它們的斜率是否相等，考察它們?cè)谕蛔鴺?biāo)軸上的截距是否一樣.

證明：直線l■，l■的方程的斜截式分別是：l■：y=■x+■;l■：y=■x+■.

因?yàn)閗■=■，b■=■;k■=■，b■=■，所以k■=k■，b■≠b■，所以l■∥l■.

變式1：已知直線l■：x+my+6=0，直線l■：（m-2）x+3y+2m=0相互平行，求實(shí)數(shù)m的值.

分析：由于l■的斜率存在，故m≠0，有l(wèi)■∥l■？圳■=■≠■.

解：因?yàn)閘■的斜率存在且l■∥l■，所以l■的斜率存在，則m≠0. 又因?yàn)閘■∥l■，所以■=■≠■，即m2-2m-3=0且m2≠9，所以m=-1.

變式2：已知直線l■：x-2ay=1，l■：2x-2ay=1互相平行，求a的值.

分析：由l■∥l■？圳A1B2-A2B1=0，A1C2-A2C1≠0或B1C2-B2C1≠0，可得：因?yàn)楸咀兪街袃蓷l直線方程中的y項(xiàng)的系數(shù)均含參數(shù)a，它們的斜率有可能不存在，所以使l■∥l■，還需A1C2-A2C1≠0.

解：由已知得：A1=1，B1=-2a，C1=-1;A2=2，B2=-2a，C2=-1.

因?yàn)閘■∥l■？圳A1B2-A2B1=0，A1C2-A2C1≠0，所以a=0，當(dāng)a=0時(shí)，l■∥l■.

變式3：已知直線l■：x+（1+m）y=2-m，l■：2mx+4y=-16，只有當(dāng)m取何值時(shí)，l■與l■有以下關(guān)系？（1）有公共點(diǎn)，（2）相互平行，（3）重合在一起.

分析：依據(jù)兩直線位置關(guān)系的充要條件，建立方程或不等式.

解：由已知可得A1=1，B1=1+m，C1=m-2;A2=2m，B2=4，C2=16.

（1）由于l■與l■相交，故1×4-2m（1+m）≠0，所以m≠-2且m≠1.

（2）由于l■∥l■，

故1×4-2m（1+m）=0，4（m-2）-16（1+m）≠0，解得m=1.

（3）由于l■與l■重合，

故1×4-2m（1+m）=0，4（m-2）-16（1+m）=0，解得m=-2.

變式4：已知直線l與直線x-3y+6=0互相平行，且直線l與兩坐標(biāo)軸圍成三角形，當(dāng)這個(gè)三角形的面積為8時(shí)，則直線l的方程是__________.

分析：因l■∥l■？圳k■=k■且b■≠b■，故與直線Ax+By+C=0平行的直線可以設(shè)為Ax+By+m=0（m≠C）. 直線與坐標(biāo)軸圍成的圖形是一個(gè)直角三角形.

解：設(shè)x-3y+m=0（m≠0）為所求直線l，那么直線l在x軸上的截距是a=-m，它在y軸上的截距是b=■.由于直線l與兩條坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為8，所以8=■ab=■-m·■，解得m=±4■，所以所求直線的方程為x-3y±4■=0.

從以上分析，我們完全可以這樣認(rèn)為，變式教學(xué)不僅僅是一種教學(xué)模式，更是一種教學(xué)理念，一種可以提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)觀念. 它的實(shí)質(zhì)是精心策劃并設(shè)計(jì)核心問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有效探索，并讓學(xué)生展示思維的形成過(guò)程，最大的優(yōu)點(diǎn)是注重知識(shí)的建構(gòu)與能力的培養(yǎng)，把學(xué)生從題海中解放出來(lái)，提高學(xué)生的應(yīng)變能力，培養(yǎng)積極的創(chuàng)新精神. 因此，為了擺脫應(yīng)試教育的束縛，作為教師都應(yīng)該成為變式教學(xué)的實(shí)踐者與“弄潮兒”.