思維碰撞見精彩 概念類比巧生成

【摘?要】三角形的中位線是三角形中繼三角形的角平分線、中線、高線之后的第四種重要線段，是中點(diǎn)問題在三角形中的延伸。三角形中位線定理是初中數(shù)學(xué)的重要性質(zhì)定理，是平行線、全等三角形以及平行四邊形等內(nèi)容的深化和應(yīng)用。它為證明線段之間的數(shù)量和位置關(guān)系提供了新的方法和依據(jù)，架起了幾何圖形中數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系的橋梁，為學(xué)生研究圖形位置、數(shù)量關(guān)系打開了一扇窗戶，也為學(xué)生今后的學(xué)習(xí)奠定了知識(shí)基礎(chǔ)。

【關(guān)鍵詞】中位線;概念生成;數(shù)量關(guān)系;位置關(guān)系;教學(xué)反思

【作者簡(jiǎn)介】曹艷，一級(jí)教師，新青年數(shù)學(xué)教師工作室陜西分站主持人，主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究。

【基金項(xiàng)目】陜西師范大學(xué)教師教育研究專項(xiàng)資助成果“基于核心素養(yǎng)視域下的初中數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)研究”（JCJY019）

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，而三角形的中位線則是圖形中數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系結(jié)合的完美體現(xiàn)。三角形中位線的認(rèn)識(shí)和證明對(duì)學(xué)生知識(shí)和思想方法的積累都有著重要作用，是學(xué)生重要的知識(shí)樞紐站。在教育部組織的“一師一優(yōu)課、一課一名師”等活動(dòng)中很多教師都選擇了這節(jié)課，錄制了不少精彩的教學(xué)視頻。一些課例還將數(shù)學(xué)史料合理融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，彰顯了知識(shí)之諧、方法之美、探究之樂、能力之助、文化之魅、德育之效[1]36-40。

一、教材研讀

“三角形的中位線”是北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第六章第3節(jié)的內(nèi)容。由于三角形中位線定理的證明需要用到平行四邊形的相關(guān)性質(zhì)和判定，因此教材將此內(nèi)容編排在平行四邊形之后。又由于科學(xué)家們?cè)谧C明三角形中位線定理的方法上百花齊放，既有傳承又有創(chuàng)新，因此本節(jié)課具有重要的歷史價(jià)值和教育價(jià)值。

三角形中位線與三角形中線都是和三角形邊的中點(diǎn)有關(guān)的線段，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中比較容易混淆這兩個(gè)概念，在復(fù)雜圖形中部分學(xué)生更是難以準(zhǔn)確、迅速識(shí)別。同時(shí)，在平行四邊形的性質(zhì)和判定定理的探究過程中，學(xué)生已經(jīng)深刻體會(huì)四邊形問題通常會(huì)轉(zhuǎn)化為三角形問題進(jìn)行研究。而三角形中位線定理是將三角形問題轉(zhuǎn)化為平行四邊形問題或用其他方法進(jìn)行研究，因?yàn)閷W(xué)生以前未曾接觸，所以獨(dú)立證明三角形中位線定理會(huì)比較困難。如何添加輔助線，構(gòu)建未知與已知的橋梁是學(xué)生認(rèn)知的難點(diǎn)。本文打破常規(guī)，從中線自然過渡到中位線，從特殊三角形的中位線遷移到一般三角形的中位線，從實(shí)際測(cè)量轉(zhuǎn)換到幾何論證，層層遞進(jìn)，不斷深入，以學(xué)生為課堂主體，開展合作探究，概念自然生成，定理自然引入。在學(xué)生的探究活動(dòng)中，教師鼓勵(lì)學(xué)生勇于思考和創(chuàng)新，滲透數(shù)學(xué)學(xué)科的育人作用[2]11-15。

二、教學(xué)過程

（一）復(fù)習(xí)引入，辨析概念

在教學(xué)伊始，教師先和學(xué)生復(fù)習(xí)三角形中線的定義和特性，然后類比三角形中線的概念，從而引出課題：如圖1，D、E分別是△ABC兩邊AB、AC的中點(diǎn)，線段DE是△ABC的什么線呢？

由學(xué)生嘗試給出三角形中位線的定義，教師強(qiáng)調(diào)“兩邊中點(diǎn)”“線段”，并說明兩層含義，即連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段是三角形的中位線;三角形中位線的兩個(gè)端點(diǎn)是三角形兩邊的中點(diǎn)。之后教師繼續(xù)向?qū)W生追問：一個(gè)三角形有幾條中位線？三角形中位線和中線有什么區(qū)別與聯(lián)系？

【設(shè)計(jì)意圖】教師讓學(xué)生在圖形中進(jìn)一步辨析概念，深化中位線的定義特征，為接下來三角形中位線定理的發(fā)現(xiàn)和證明做鋪墊，滲透類比的數(shù)學(xué)思想。

（二）發(fā)現(xiàn)猜想，動(dòng)手驗(yàn)證

首先，教師引導(dǎo)學(xué)生從特殊三角形的中位線進(jìn)行研究，并提問：等邊三角形的中位線和第三邊有什么關(guān)系？學(xué)生通過簡(jiǎn)單的推理和證明發(fā)現(xiàn)，等邊三角形的中位線將其分成一個(gè)小等邊三角形和一個(gè)等腰梯形，根據(jù)中位線的定義容易得到等邊三角形的中位線平行且等于第三邊的一半（強(qiáng)調(diào)位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系）。

接著，學(xué)生進(jìn)一步研究任意三角形的中位線是否也滿足剛才得到的兩種關(guān)系。教師在幾何畫板中演示（如圖2），拖動(dòng)三角形的頂點(diǎn)A，發(fā)現(xiàn)線段BC和DE的長(zhǎng)度不變且是二倍的關(guān)系，∠ABC和∠ADE的角度有變化但始終相等;拖動(dòng)三角形的頂點(diǎn)B或C，發(fā)現(xiàn)線段DE和BC的長(zhǎng)度在變但保持二倍的關(guān)系，∠ABC和∠ADE的角度也在變化但始終相等。（需要注意的是，當(dāng)BC長(zhǎng)度的最后一位有效數(shù)字是奇數(shù)時(shí)，可能會(huì)因幾何畫板的精確度問題導(dǎo)致二倍關(guān)系不明顯。）

【設(shè)計(jì)意圖】從觀察到推理、從感性到理性是我們認(rèn)識(shí)事物的基本途徑。該教學(xué)環(huán)節(jié)先從特殊三角形入手，再利用幾何畫板驗(yàn)證一般三角形的情況，由感官認(rèn)識(shí)作為學(xué)習(xí)的出發(fā)點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和理性思考。

（三）小組探究，證明猜想

根據(jù)以上的動(dòng)態(tài)演示，我們很自然地得出以下猜想。

接著，教師引導(dǎo)學(xué)生思考如何證明上述猜想（如圖3）。

（1）證明兩條線段平行，就是證明兩條線段所在的直線平行。證明兩條直線平行的方法有同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)、平行線的傳遞性、平行四邊形的對(duì)邊平行等。

（2）證明兩條線段的二倍關(guān)系，可以取較長(zhǎng)線段的中點(diǎn)，將問題轉(zhuǎn)化為證明較短線段與較長(zhǎng)線段的一半相等;也可以將較短線段延長(zhǎng)到原來的二倍后，將證明轉(zhuǎn)化為證明較長(zhǎng)線段與較短線段的二倍相等。證明兩條線段相等通常采用三角形全等以及平行四邊形的性質(zhì)來證。

根據(jù)教師的分析，學(xué)生先自己獨(dú)立思考如何證明，然后小組合作探究，并以小組為單位進(jìn)行展示。證明方法分為以下3種。

方法1：利用倍長(zhǎng)中位線進(jìn)行證明

如圖4，延長(zhǎng)DE至點(diǎn)F，使得EF=DE （作AB的平行線交DE延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，旋轉(zhuǎn)△ADE也能達(dá)到這樣的效果）。

由△ADE≌△CFE，得AD=CF=BD，通過證明四邊形BCFD是平行四邊形，得DE∥BC，DE=12BC。

方法2：利用三角形中線的性質(zhì)進(jìn)行證明

如圖5，連接BE、CD，分別過點(diǎn)D、E、A作DM⊥BC于點(diǎn)M，EN⊥BC于點(diǎn)N，AG⊥DE于點(diǎn)G。

由中線性質(zhì)可知S△BCD=S△BCE=12S△ABC，故DM=EN，則四邊形MNED是矩形，故DE∥BC。再由三角形全等證明DG=BM，EG=CN，得DE=12BC。

說明：該方法也可以在證明位置關(guān)系之后直接取BC中點(diǎn)F并連接線段EF，根據(jù)中位線和第三邊的位置關(guān)系證明四邊形BFED是平行四邊形（如圖6）。通過這個(gè)證法發(fā)現(xiàn)，三角形的一條中位線與第三邊的中線是互相平分的。

方法3：利用坐標(biāo)系進(jìn)行證明

如圖7，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)、BC為x軸建立平面直角坐標(biāo)系。

說明：如果沒有中點(diǎn)公式的知識(shí)積累，也可以利用三角形全等得到點(diǎn)D和點(diǎn)E的坐標(biāo)[3]，這個(gè)方法滲透了幾何問題代數(shù)化的數(shù)學(xué)思想。小組合作探究，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和探究熱情。

【設(shè)計(jì)意圖】缺乏思維含量的數(shù)學(xué)教學(xué)，容易迷失本質(zhì)[4]。因此，對(duì)三角形中位線的探究從特殊情況入手，更容易激發(fā)學(xué)生從多角度分析問題，滲透分類思想、歸納思想，實(shí)現(xiàn)從動(dòng)手測(cè)量到科學(xué)論證的熱情。（“三角形內(nèi)角和定理”的教學(xué)也是按照先動(dòng)手測(cè)量再科學(xué)論證的研究步驟進(jìn)行的。）

（四）歸納新知，規(guī)范書寫

教師引導(dǎo)學(xué)生使用三種語言敘述三角形中位線定理。

（1）文字語言：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半。

（2）圖形語言，如圖8。

（3）符號(hào)語言：∵DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，DE=12BC。

【設(shè)計(jì)意圖】會(huì)用圖形語言和符號(hào)語言表示、證明幾何元素的位置和數(shù)量關(guān)系是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常重要的能力，也是學(xué)生能夠科學(xué)、規(guī)范書寫的前提。該教學(xué)環(huán)節(jié)要求學(xué)生用三種語言表示三角形中位線對(duì)應(yīng)的位置、數(shù)量關(guān)系，意在深化學(xué)生對(duì)結(jié)論的理解，培養(yǎng)學(xué)生的表達(dá)能力，讓學(xué)生多角度、多形式感受性質(zhì)定理。

（五）理解定理，深入思考

根據(jù)前面的分析，我們得到了三角形中位線的性質(zhì)，那么，三角形中位線的出現(xiàn)給三角形帶來哪些變化呢？教師通過以下問題，引導(dǎo)學(xué)生積極思考。

（1）圖9有幾個(gè)平行四邊形？

（2）△ABC的中位線與它分成的四個(gè)三角形有什么關(guān)系？它們與原三角形又有什么關(guān)系？

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過分析、思考發(fā)現(xiàn)，因?yàn)槿切沃形痪€的添加，而出現(xiàn)了3個(gè)平行四邊形，同時(shí)將原三角形劃分成了4個(gè)全等的三角形，其邊長(zhǎng)、高線、周長(zhǎng)、面積和原三角形都有著密切的關(guān)系。這些特有的性質(zhì)讓學(xué)生體會(huì)到學(xué)習(xí)不能只停留在知識(shí)的表面，必須要有深度思考的習(xí)慣，這樣才能有更多的收獲和更寬廣的視野。

（六）了解歷史，培養(yǎng)數(shù)學(xué)文化

在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，劉徽通過割補(bǔ)的方法推導(dǎo)三角形面積公式（如圖10），從三角形面積公式的推導(dǎo)過程中發(fā)現(xiàn)也能得到三角形中位線定理。由此可見，中國(guó)古代數(shù)學(xué)家已經(jīng)知道三角形的中位線與底邊的位置關(guān)系、大小關(guān)系[2]11-15。

此外，在西方國(guó)家也出現(xiàn)了很多關(guān)于三角形中位線定理的證明方法。如18 世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家勒讓德在《幾何基礎(chǔ)》中給出了反證法，蘇格蘭數(shù)學(xué)家萊斯利在《幾何和平面三角學(xué)基礎(chǔ)》中給出了歐氏面積法，菲利普斯在《幾何基礎(chǔ)》和紐科姆在《幾何基礎(chǔ)》中給出了同一法，麥金在《平面和立體幾何基礎(chǔ)》給出了平行四邊形法[1]36-40。

【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)史的融入讓學(xué)生了解了三角形中位線定理證明的歷史淵源，感受到數(shù)學(xué)的生命力，感嘆數(shù)學(xué)家勇于鉆研的科學(xué)精神，增強(qiáng)了民族自豪感，提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)。

（七）靈活運(yùn)用，指導(dǎo)生活

例題?如圖11，在平面內(nèi)任意畫一個(gè)四邊形ABCD，以四邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)組成一個(gè)新四邊形EFGH，這個(gè)新四邊形有什么特征？請(qǐng)證明你的結(jié)論。

教師在解題過程中指出，通過連接原四邊形對(duì)角線，把四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題，并利用三角形中位線定理來解決此題，所獲得的新四邊形叫做原四邊形的中點(diǎn)四邊形，它是平行四邊形。

變式題?如圖12，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、CD、AC、BD的中點(diǎn)，四邊形EGFH是平行四邊形嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論。

【設(shè)計(jì)意圖】教師在例題的基礎(chǔ)上稍作變形得出變式題，幫助學(xué)生熟練應(yīng)用三角形中位線定理。

在變式訓(xùn)練后，為幫助學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識(shí)，教師給出以下兩道練習(xí)題。

練習(xí)1?如圖13，已知△ABC的周長(zhǎng)為1，連接△ABC 三邊的中點(diǎn)構(gòu)成第二個(gè)三角形，再連接第二個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)構(gòu)成第三個(gè)三角形，依此類推，第2020個(gè)三角形的周長(zhǎng)為_________________。

練習(xí)2?如圖14，A、B兩點(diǎn)被池塘隔開，在沒有任何測(cè)量工具的情況下，小明通過下面的方法估測(cè)出了A、B間的距離：在A、B外選一點(diǎn)C，連接AC和BC，并分別找出AC和BC的中點(diǎn)D、E，如果測(cè)得DE=20 m，那么A、B兩點(diǎn)的距離是多少？為什么？如果DE依然不能測(cè)量怎么辦？

【設(shè)計(jì)意圖】例題一般要由淺入深，有拓展性和延伸性。在該教學(xué)環(huán)節(jié)，教師從課本例題出發(fā)，適當(dāng)挖掘擴(kuò)充，將例題中三角形邊的中點(diǎn)連線圍成的四邊形問題變形至邊的中點(diǎn)與對(duì)角線中點(diǎn)連線圍成的四邊形問題，使得學(xué)生思維更具靈活性。同時(shí)，學(xué)生在掌握基本知識(shí)的情況下，學(xué)會(huì)在復(fù)雜圖形中尋找規(guī)律，在實(shí)際情境中辨析三角形的中位線，應(yīng)用三角形中位線定理。這部分內(nèi)容從基礎(chǔ)到變形，從理論到實(shí)際，提升了學(xué)生的思維能力，鍛煉了學(xué)生的應(yīng)用能力。

（八）梳理過程，總結(jié)反思

師生共同梳理本節(jié)課的學(xué)習(xí)流程（如圖15），總結(jié)新知，回顧數(shù)學(xué)思想方法，并思考以下問題。

（1）三角形的中線和中位線有何異同？

（2）三角形中位線定理的證明給你帶來哪些啟示？

（3）你認(rèn)為學(xué)習(xí)研究幾何知識(shí)的基本流程是什么？

【設(shè)計(jì)意圖】及時(shí)總結(jié)和反思是學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié)。在課堂小結(jié)環(huán)節(jié)，教師沒有拘泥于課堂知識(shí)和方法，而是從教學(xué)環(huán)節(jié)入手，讓學(xué)生在總結(jié)所學(xué)知識(shí)的同時(shí)感受探究過程，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)和思考。

（九）布置作業(yè)，鞏固提升

（1）如圖16，在四邊形ABCD中，∠A=90°，AB=33，AD=3，點(diǎn)M、N分別是線段BC、AB上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)，但點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)E、F分別是DM、MN的中點(diǎn)，求EF長(zhǎng)度的最大值。

（2）有四個(gè)兄弟為了分割父親留下的一塊三角形形狀的土地而爭(zhēng)論不休，誰都不肯吃虧，通過今天的學(xué)習(xí)，你能幫助他們解決矛盾嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】第（1）題是幾何圖形中的求解問題，讓學(xué)生直接感受數(shù)學(xué)知識(shí)在數(shù)學(xué)學(xué)科中的運(yùn)用;第（2）題是現(xiàn)實(shí)中的開放性問題，實(shí)際上，除了三條中位線的分割方式，中線也能解決，引導(dǎo)學(xué)生從多角度思考問題。

三、教學(xué)反思

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)將三角形中位線的中點(diǎn)特征發(fā)揮得淋漓盡致，其性質(zhì)定理蘊(yùn)含了對(duì)稱美、變中有不變的思想。筆者從課程設(shè)計(jì)和特色等方面做以下反思。

1.科學(xué)設(shè)計(jì)培養(yǎng)核心素養(yǎng)

本節(jié)課以三角形的中線引入，通過動(dòng)手操作、猜想規(guī)律、探究證明、實(shí)際應(yīng)用的教學(xué)過程，展示從特殊到一般的研究順序。師生共同經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)現(xiàn)、形成的過程，通過小組自主探究，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究熱情。學(xué)生對(duì)三角形中位線的認(rèn)識(shí)由淺入深，感受了數(shù)學(xué)中位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系之間的微妙聯(lián)系，進(jìn)一步培養(yǎng)了學(xué)生的觀察分析能力和探究合作能力，提高了學(xué)生的核心素養(yǎng)。此外，在探究幾何圖形性質(zhì)的課程，例如圓心角和圓周角的關(guān)系等均可以采用這樣的設(shè)計(jì)思路。

2.?特色證明凸顯思維之美

不同的課題和不同的學(xué)生，需要不同的教法[5]。用學(xué)生的眼光來研讀教材，用學(xué)生的思維去探究知識(shí)，數(shù)學(xué)的課程才能煥發(fā)出迷人的魅力。“以學(xué)定教”讓我們實(shí)現(xiàn)了“思維發(fā)展永遠(yuǎn)不能被教給，應(yīng)是在學(xué)生自己建構(gòu)理解知識(shí)過程中習(xí)得”[6]。本節(jié)課，學(xué)生在小組合作探究中互相交流、互相幫助，突破三角形中位線定理證明中添加輔助線的難點(diǎn)，多樣的思維呈現(xiàn)得精彩紛呈。這些特色證明的展示，顯示出學(xué)生之間合作探究之后思維碰撞的火花。本課教學(xué)中融入的數(shù)學(xué)文化，使得學(xué)生不是單純地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，而是有深度、有厚度地走進(jìn)數(shù)學(xué)和歷史，了解科學(xué)家的貢獻(xiàn)和數(shù)學(xué)的發(fā)展，讓學(xué)生經(jīng)歷科學(xué)探索的基本步驟，逐漸具備探究性學(xué)習(xí)所需要的能力。

值得注意的是，本課設(shè)計(jì)的內(nèi)容較豐富，筆者所帶班級(jí)學(xué)生基礎(chǔ)較好，教學(xué)內(nèi)容基本按照預(yù)設(shè)完成。如果學(xué)生接受能力有限，在完成時(shí)間上可能會(huì)略顯緊張，教師需要根據(jù)實(shí)際將教學(xué)內(nèi)容適當(dāng)壓縮。

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)從知識(shí)主線上，由三角形中線類比出三角形中位線的概念，概念生成較自然;能力主線上，學(xué)生通過從特殊到一般、從動(dòng)手測(cè)量到科學(xué)論證的探究過程，逐步得到三角形中位線的性質(zhì)定理，探究能力得以提升;文化主線上，自然滲透了數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化，增強(qiáng)了學(xué)生的民族自豪感。整個(gè)課堂三線結(jié)合，相輔相成，共同完成了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，這樣的設(shè)計(jì)思路具有一定的推廣性。

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（責(zé)任編輯：陸順演）