和差術(shù)在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中的應(yīng)用

【摘?要】高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)不僅要強(qiáng)調(diào)題型的歸納，方法的總結(jié)，數(shù)學(xué)思想的提煉，還要追問題目背后的數(shù)學(xué)內(nèi)涵。文章首先從歷史上最早的二元問題——古巴比倫泥板上的數(shù)學(xué)問題入手，學(xué)習(xí)和差術(shù)的概念，并利用這一特殊的化歸方法解決二元方程組的問題;其次，利用所學(xué)和差術(shù)的向量模型——極化恒等式解決較難的向量數(shù)量積問題;再次，將向量、方程、不等式、函數(shù)等相關(guān)問題抽象成與和差術(shù)相關(guān)的二元問題;最后，挖掘和差術(shù)的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，即利用對(duì)稱性的化歸方法，解決具有對(duì)稱性的二元數(shù)學(xué)問題。這種從“術(shù)”到“道”再到“源”的思考方式，體現(xiàn)了高階的數(shù)學(xué)抽象能力。

【關(guān)鍵詞】和差術(shù);極化恒等式;對(duì)稱性;HPM

【作者簡(jiǎn)介】高振嚴(yán)，上海市寶山區(qū)問題化學(xué)習(xí)研究所高思工作坊坊主，上海市寶山區(qū)“教學(xué)能手”。

【基金項(xiàng)目】上海高?！傲⒌聵淙恕比宋纳鐣?huì)科學(xué)重點(diǎn)研究基地之?dāng)?shù)學(xué)教育教學(xué)研究基地項(xiàng)目“數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中如何落實(shí)立德樹人研究”（A8）

一、引言

高三復(fù)習(xí)課既需要溫故，也要知新?！肮省笔侵父咭弧⒏叨呀?jīng)學(xué)習(xí)過的知識(shí)，而“新”則是指對(duì)原有知識(shí)新的認(rèn)識(shí)?！皽毓省笔侵貜?fù)性、機(jī)械性的，而“知新”是有深度、有創(chuàng)造性的。那么如何才能做到知新呢？筆者從HPM視角進(jìn)行分析。

在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，有大量的二元問題（二元方程、二元不等式、二元函數(shù)等）需要解決。這些問題的解決需要學(xué)生有較強(qiáng)的數(shù)形結(jié)合能力、化歸轉(zhuǎn)化能力，屬于較難的題目類型。本文以歷史上的和差術(shù)為主線，引領(lǐng)學(xué)生在問題解決過程中經(jīng)歷由方法到思想再到數(shù)學(xué)內(nèi)涵的思考方式，即“術(shù)、道、源”三重境界，有利于解決數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生只重視數(shù)學(xué)方法，輕視數(shù)學(xué)思想，忽視數(shù)學(xué)內(nèi)涵的問題。

古巴比倫數(shù)學(xué)泥板上很多問題都是這樣解答的，這說明古巴比倫人已經(jīng)熟練掌握了這種解方程的技巧。已知兩個(gè)數(shù)的和或差，從而將這兩個(gè)數(shù)表示為半和或半差與一個(gè)未知數(shù)的和與差的方法稱為和差術(shù)。

三、教學(xué)過程

歷史上的和差術(shù)和今天的數(shù)學(xué)有什么淵源，給高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課帶來哪些啟發(fā)？筆者通過呈現(xiàn)這節(jié)課的教學(xué)片段，以便給大家一些借鑒。

（一）初識(shí)和差術(shù)——向量的數(shù)量積與和差術(shù)

師：昨天作業(yè)中的第5題（如圖2）比較難，大部分同學(xué)解答過程比較煩瑣，但是有一名同學(xué)的方法比較簡(jiǎn)潔，我們請(qǐng)他來給大家講一講。

師：這名同學(xué)的解法非常簡(jiǎn)練，但大家卻不容易想到。如果學(xué)習(xí)了和差術(shù)，這樣的問題將能輕松地解決。

【設(shè)計(jì)意圖】課前作業(yè)中涉及向量數(shù)量積的問題大部分學(xué)生解答煩瑣，雖然有個(gè)別學(xué)生能簡(jiǎn)練地解出該題，但僅限于就題解題。如何能做到舉一反三、總結(jié)方法，解決這一類向量的數(shù)量積問題，學(xué)生并未進(jìn)行過深入思考。筆者以此為切入點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生探究和差術(shù)的積極性。

（二）和差術(shù)——具有對(duì)稱性的消元法

師：這是一個(gè)很古老的數(shù)學(xué)問題，記載于3900多年前的古巴比倫數(shù)學(xué)泥板VAT 8389上。這個(gè)問題大家是用什么方法解決的呢？

生：加減消元法。

師：還能怎么解？

生：行列式。

師：解決這個(gè)問題的方法很多，但當(dāng)時(shí)并沒有加減消元法和行列式，那么古巴比倫的祭司是如何解決這個(gè)問題的呢？我們來學(xué)習(xí)一下。

師：古巴比倫祭司的解法雖然與現(xiàn)代的解法不同，但兩者的解題思想是否一致？

生：一致，都是化雙變量為單變量，屬于化歸思想。

師：祭司為什么設(shè)x=900+t，y=900-t？設(shè)x=1000+t，y=800-t不可以嗎？

生：祭司的方法具有對(duì)稱性。

師：非常好，大家能夠發(fā)現(xiàn)祭司的方法具有代數(shù)對(duì)稱性。那么，幾何上的對(duì)稱性有沒有？

（教師在黑板上畫出數(shù)軸，并在數(shù)軸上標(biāo)出x和y。）

師：900這個(gè)數(shù)標(biāo)在哪里？

生：因?yàn)?00=x+y2，所以900是x和y的中點(diǎn)，x和y關(guān)于中點(diǎn)900對(duì)稱。

師：那么t有什么意義？

生：設(shè)t=x-900=x-x+y2=x-y2，表示x和y到中點(diǎn)的距離。

這種已知兩個(gè)數(shù)的和或差，從而將這兩個(gè)數(shù)表示為半和或半差與一個(gè)未知數(shù)的和與差的方法稱為和差術(shù)，這種方法在古代用得很多。

【設(shè)計(jì)意圖】筆者并沒有直接講授和差術(shù)的概念，而是先提出課前練習(xí)中的問題，讓學(xué)生比較傳統(tǒng)消元法與和差術(shù)的異同。通過探究，學(xué)生發(fā)現(xiàn)和差術(shù)不同于消元法的地方是其具有對(duì)稱性;而它們的相同點(diǎn)是體現(xiàn)了化歸思想，將二元問題化歸為一元問題解決。本教學(xué)環(huán)節(jié)不僅討論了和差術(shù)的代數(shù)對(duì)稱特征，還引導(dǎo)學(xué)生探究了其幾何上的對(duì)稱性，在理解了和差術(shù)所蘊(yùn)含的對(duì)稱性之后，和差術(shù)的概念自然生成。

（三）對(duì)稱消元的優(yōu)點(diǎn)——簡(jiǎn)化運(yùn)算

【設(shè)計(jì)意圖】教師引導(dǎo)學(xué)生初步應(yīng)用和差術(shù)，探究和差術(shù)所具有的對(duì)稱性在解一元二次方程時(shí)的優(yōu)越性，為接下來的和差術(shù)在向量中的應(yīng)用做鋪墊。

生：兩向量半和的平方減去半差的平方。

師：可以在圖上標(biāo)出兩向量的半和與半差嗎？

生：半和長(zhǎng)為三角形的中線，半差長(zhǎng)為三角形底邊的一半。

師：我們?cè)倩氐奖菊n初始的問題：由和差術(shù)可知，要求BE·CE，只需求BD與DF即可。已知BA·CA=4，BF·CF=-1，由和差術(shù)可得BA·CA=9DF2-BD2=4，BF·CF=DF2-BD2=-1。學(xué)習(xí)了和差術(shù)之后，同學(xué)們就很容易聯(lián)想到利用三角形的中線與三角形底邊半長(zhǎng)解決向量的數(shù)量積問題。

師：通過以上解題，同學(xué)們思考一下，什么情況下可以用極化恒等式解向量的數(shù)量積問題？

生：如果三角形的中線與底邊半長(zhǎng)確定，可以求數(shù)量積的值。

師：如果三角形的中線與底邊半長(zhǎng)一個(gè)量確定，一個(gè)量不確定呢？

生：可以求數(shù)量積的取值范圍。

師：為什么用和差術(shù)解決數(shù)量積問題會(huì)比較簡(jiǎn)便？

生：因?yàn)榭梢詫⒋鷶?shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題。

師：是的，化歸為幾何問題后，問題呈現(xiàn)更直觀。我們高一學(xué)習(xí)的對(duì)數(shù)有什么用？

生：對(duì)數(shù)將乘除運(yùn)算降階為加減運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)運(yùn)算降階，從而減少運(yùn)算量。

師：和差術(shù)在向量的運(yùn)算上起到了什么作用？

生：與對(duì)數(shù)類似，同樣實(shí)現(xiàn)了從數(shù)量積到加減運(yùn)算的運(yùn)算降階，從而降低運(yùn)算難度。

【設(shè)計(jì)意圖】本教學(xué)環(huán)節(jié)教師與學(xué)生共同探討和差術(shù)的向量模型（極化恒等式），解決向量的數(shù)量積問題。教師引導(dǎo)學(xué)生思考滿足什么條件的數(shù)量積問題適合使用極化恒等式解決，進(jìn)一步探討為什么使用極化恒等式解決這一類問題比較簡(jiǎn)便。通過類比對(duì)數(shù)的運(yùn)算，學(xué)生發(fā)現(xiàn)極化恒等式能將向量的數(shù)量積運(yùn)算降階為向量的和差運(yùn)算，從而使運(yùn)算變得更簡(jiǎn)便。

（五）和差術(shù)化歸的秘密——完全對(duì)稱

師：和差術(shù)的方法雖然在解方程的過程中已經(jīng)不太使用，但是它的影響實(shí)際上已經(jīng)深入數(shù)學(xué)的各個(gè)分支，大家能否從下列問題中提煉出與和差術(shù)相關(guān)的代數(shù)恒等式？

生：四種代數(shù)式，即a+b，a-b，ab，a2+b2。

師：根據(jù)以上恒等式得出什么結(jié)論？

生：已知其中兩個(gè)可以求其余兩個(gè)。

師：這四個(gè)代數(shù)式還具有怎樣的共同特征？

生：交換a和b的位置，四個(gè)代數(shù)式不變。

師：我們把代數(shù)式具有的這種性質(zhì)叫做完全對(duì)稱性。正是因?yàn)榫哂辛送耆珜?duì)稱性，這四個(gè)代數(shù)式之間才可以兩兩相互表示。

（教師播放PPT向?qū)W生介紹對(duì)稱在數(shù)學(xué)中的重要性，并指出正是基于對(duì)稱性，數(shù)學(xué)家伽羅瓦創(chuàng)立了群論，他談道：“跳出計(jì)算，群化運(yùn)算，按照它們的復(fù)雜度而不是表象來分類;我相信這是數(shù)學(xué)未來的任務(wù)，這也正是我的工作所揭示出來的道路?！保?/p>

師：數(shù)學(xué)家伽羅瓦的話對(duì)于高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)有什么啟示呢？

教師引導(dǎo)學(xué)生在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中不僅要?dú)w納題型，總結(jié)方法，更要提煉思想，實(shí)現(xiàn)從“術(shù)”到“道”的升華;不僅要提煉思想，更要深入探究題目的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，實(shí)現(xiàn)從“道”到“源”的提升。學(xué)生只有把握住了問題的數(shù)學(xué)本源，才能達(dá)到舉一反三、以不變應(yīng)萬變的效果。

【設(shè)計(jì)意圖】通過將三角函數(shù)、一般函數(shù)、一元二次方程中的不同問題抽象出共同的問題：找出a+b，a-b，ab，a2+b2之間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)與數(shù)學(xué)抽象能力。同時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步抽象a+b，a-b，ab，a2+b2的共同點(diǎn)：完全對(duì)稱，介紹對(duì)稱在群論產(chǎn)生過程中的作用，讓學(xué)生意識(shí)到對(duì)稱的重要性。通過伽羅瓦對(duì)群論的描述，學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)抽象的重要性，從而培養(yǎng)追問數(shù)學(xué)本源的習(xí)慣，轉(zhuǎn)變了只重視技巧而忽視數(shù)學(xué)本質(zhì)的思考方式，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

四、學(xué)生反饋

課后，筆者收集了41名學(xué)生對(duì)本節(jié)課的反饋信息。

五、結(jié)語

從HPM視角思考高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課是一個(gè)全新的角度。與其他視角不同的是，HPM視角更具歷史的深度與厚度，更凝練，更具內(nèi)涵。筆者認(rèn)為，HPM視角下的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課體現(xiàn)了三個(gè)“一”。一種方法。通過數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)掌握了和差術(shù)這一方法，并運(yùn)用和差術(shù)的向量模型輕松解決數(shù)量積難題，歸納總結(jié)了使用這種方法所要滿足的條件。一種思想。和差術(shù)解二元一次方程組所蘊(yùn)含的化歸消元思想與現(xiàn)代的消元法有異曲同工之妙;四種代數(shù)式a+b，a-b，ab，a2+b2之間的相互轉(zhuǎn)化體現(xiàn)了和差術(shù)化歸思想運(yùn)用之妙。高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)強(qiáng)調(diào)化歸思想的應(yīng)用，數(shù)學(xué)難題的解決往往得益于化歸思想的靈活運(yùn)用。

一種本源。在HPM視角下，筆者將高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中的二元問題追溯到3900多年前的古巴比倫泥板上的數(shù)學(xué)問題，為解決二元問題的方法找到了源頭。和差術(shù)所蘊(yùn)含的對(duì)稱性可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，保證了對(duì)稱二元代數(shù)式之間的相互化歸，是和差術(shù)不同于其他方法的內(nèi)涵所在。這啟發(fā)學(xué)生對(duì)有共同特征的一類問題要學(xué)會(huì)追根溯源，源頭找到了，內(nèi)涵清楚了，問題往往也就解決了。

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)不僅要強(qiáng)調(diào)題型的歸納，方法的總結(jié)，數(shù)學(xué)思想的提煉，還要追問題目背后的數(shù)學(xué)內(nèi)涵。這種從“術(shù)”到“道”再到“源”的思考方式，體現(xiàn)了高階的數(shù)學(xué)抽象能力?！叭f法歸一”的數(shù)學(xué)抽象能力，是高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中能夠舉一反三的前提。正所謂“好看的皮囊千篇一律，有趣的靈魂萬里挑一”，我們通過追尋問題的數(shù)學(xué)本源，從萬千的題目中挑出有趣的數(shù)學(xué)靈魂，從而培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)美的欣賞能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

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（責(zé)任編輯：陸順演）