高中數(shù)學(xué)向量四心問題的解題技巧

姜勇鋼

(江蘇省海門市第一中學(xué) 226100)

一、四心的定義和基本關(guān)系

在這里，我們所強(qiáng)調(diào)的“四心”主要是指在一個三角形當(dāng)中的重心、垂心、外心和內(nèi)心.重心是三角形三條中線的交點，我們通常用G來表示；而垂心是三角形三條高線的交點，用H表示；外心是三角形三條中垂線的交點，用O表示；內(nèi)心就是三角形的三條角平分線的交點，用I表示.以下面這個三角形為例，三角形的重心、垂線、外心、內(nèi)心在三角形中的大致位置如圖所示，在此三角形中，三角形的四心都是有不同的向量表示的，現(xiàn)給大家整理了這樣一些結(jié)論，更方便同學(xué)們在學(xué)習(xí)的時候快速記憶.具體表示如下：

圖1

我們在解決向量問題當(dāng)中提到的四心就是以上的這四種向量的關(guān)系，雖然常規(guī)來看內(nèi)容還是蠻簡單的，但是理解起來卻有很大的難度，而且這類題目在短時間內(nèi)肯定是搞不定的，所以我們在求解問題的過程中，一定要把題目特殊化，即要把題目當(dāng)中給出的三角形特殊化，想象成等腰直角三角形，切記不要變成等邊三角形，這是因為等邊三角形四心合一，即重心、垂心、外心、內(nèi)心四個心是同一個點.而等要直角三角形的四心就不是同一個心，但是這四心卻都在一條高線上，如圖1所示.正是由于很多的三角形都不滿足這個關(guān)系，而只有在等腰直角三角形中，這四個心才能進(jìn)行區(qū)分，而且這四個心都在高線CD上，這樣一來題目就能夠很快地得到解決.下面將具體以實際問題來給同學(xué)們呈現(xiàn)這種題目的分析過程和解題思路.

二、利用基本關(guān)系解決實際問題

審題的過程是非常關(guān)鍵的，同學(xué)們在解答問題的時候，應(yīng)該按照一定的技巧來進(jìn)行思考，這樣更容易得出正確的答案.先看例題一：

A.外心 B.垂心 C.內(nèi)心 D.重心

分析在同學(xué)們拿到這道題目的時候，首先應(yīng)該把這個三角形特殊成一個等腰直角三角形來對題目要求進(jìn)行判斷，接下來我們假設(shè)這個等腰直角三角形的腰長為2，則三角形的關(guān)系以及各邊的長如圖2所示.

圖2

那么接下來我們試著做一種假設(shè)，如果A選項是正確的，那么題目中出現(xiàn)的點O就應(yīng)該在D點的位置上，接下來我們試著把數(shù)值代入到題目中給出的關(guān)系當(dāng)中來進(jìn)行判斷：

這樣看來A選項是不正確的.也許有些同學(xué)不明白為什么這樣判斷，其實我們把題目內(nèi)容賦予一個特殊值，如果特殊值不滿足題目的某選項，那么就可以判斷這個選項是不正確的.同學(xué)們接著按照這種思路來看B選項是否正確：

圖3

若題目中的點O是三角形的垂心，那么點O應(yīng)該在C點的位置上，如圖3所示.繼續(xù)對題目當(dāng)中給出的關(guān)系代入特殊數(shù)值進(jìn)行驗證，可以得到

接下來我們再看例題二：

分析在這道題目的審題過程中，我們?nèi)匀徊扇∠嗤淖龇?，先把這個等腰直角三角形畫出來，然后把題目中給出的已知條件進(jìn)行推導(dǎo)和轉(zhuǎn)換，如圖4所示.

圖4

所以即可求得m=1.

雖然四心問題聽起來很可怕，看起來公式也比較繁瑣，但是如果同學(xué)們能夠扎實的掌握，在平常的考試或練習(xí)當(dāng)中一旦出現(xiàn)了這樣的一種問題，同學(xué)們就能快速地運(yùn)用公式或是各個“心”在等腰直角三角形當(dāng)中的位置快速地解出問題的答案.