一道高考題的7種解法

李昌成 李玉翠

(1.新疆烏魯木齊市第八中學(xué) 830002；2.新疆烏魯木齊市第64中學(xué) 830063)

近日在教學(xué)中遇到了一道老高考題，看起來很普通，細(xì)思極好，入口寬，解法多，是一個難得的高三復(fù)習(xí)素材.現(xiàn)分享于此，以饗讀者.

一、題目呈現(xiàn)

(2014年浙江省高考文科數(shù)學(xué)卷第16題) 若實數(shù)a，b，c滿足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，則a的最大值為____.

二、總體分析

本題在代數(shù)背景下求最值，題設(shè)中有一次關(guān)系式，也有二次關(guān)系式，因此可以從方程、函數(shù)、一元二次不等式、均值不等式、解析幾何、三角代換等多角度思考此題.雖然這是一道高考題，但也可以用初中知識解答它.由此可見，本題起點低，構(gòu)思巧，教學(xué)價值高.

三、解法探究

視角1 從已知的二次方程入手.

構(gòu)造以a為參數(shù)，關(guān)于b或c的二次方程，利用一元二次方程有解的充要條件作答.

解法1 由a+b+c=0得b=-(a+c)①,

將①代入a2+b2+c2=1得a2+[-(a+c)]2+c2=1，

整理得2c2+2ac+(2a2-1)=0.

點評這種解法的關(guān)鍵在于消元，確定主元和參數(shù).用一元二次方程有解的充要條件構(gòu)造不等式.

視角2 從一元二次不等式入手.

通過消元，直接構(gòu)造關(guān)于a的二次不等式，解不等式得a的最大值.

解法2 由a+b+c=0得b+c=-a，

由a2+b2+c2=1得b2+c2=1-a2.

因為b2+c2≥2bc，所以2(b2+c2)≥b2+2bc+c2，

即2(b2+c2)≥(b+c)2.

所以2(1-a2)≥(-a)2.

點評本解法結(jié)合題設(shè)的一次式、二次式的特征，通過運算，巧妙地徹底消元，同時構(gòu)造了關(guān)于a的不等式.

視角3 從韋達(dá)定理入手.

將a看做參數(shù)，結(jié)合已知，通過推理運算用a表示b+c，bc，利用韋達(dá)定理構(gòu)造一元二次方程作答.

解法3 由a+b+c=0得b+c=-a②,

將②平方得b2+c2=a2-2bc③,

將③代入a2+b2+c2=1得a2+a2-2bc=1，

于是b，c是方程x2-(b+c)x+bc=0的實數(shù)解.

點評本解法在已知一次式的引導(dǎo)下，得到兩根之和；在韋達(dá)定理的引導(dǎo)下，通過運算，尋找兩根之積.構(gòu)造方程是解題目標(biāo)的需要，本質(zhì)也在消元.

視角4 從函數(shù)觀點入手.

從已知出發(fā)，構(gòu)造一個關(guān)于b或c的二次函數(shù)，借助函數(shù)零點和最值作答.

解法4 由a+b+c=0得b=-(a+c)④,

將④代入a2+b2+c2=1得2c2+2ac+2a2-1=0.

構(gòu)造函數(shù)f(x)=2x2+2ax+2a2-1⑤.

顯然c是⑤的零點.

以下同解法1.

點評二次函數(shù)的最值與零點有密切的關(guān)系，題設(shè)中有二次關(guān)系，因此構(gòu)造二次函數(shù)是情理之中的事.

視角5 從基本不等式入手.

本題中a，b，c的符號不確定，我們必須依托a2+b2≥2ab及其變形式作答.

解法5 將a+b+c=0平方得a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0⑥.

以下同解法1.

點評均值不等式是求最值的常見方法.關(guān)鍵在于怎樣創(chuàng)造條件，使均值不等式出現(xiàn)，并包含所求量a.

視角6 從圓的參數(shù)方程入手.

以下同解法1.

點評與圓聯(lián)系起來的理由是已知的二次關(guān)系具備圓的方程特征，借助圓的參數(shù)方程有效的消元，借助三角函數(shù)的有界性得到關(guān)于a的不等式.

視角7 從直線和圓的位置關(guān)系入手.

點評這種解法對學(xué)生的要求較高，跨越了代數(shù)與幾何，利用數(shù)形結(jié)合將最值定格在邊界位置處.只有深刻理解代數(shù)式的幾何意義才能實現(xiàn)這個華麗轉(zhuǎn)變.

四、解后反思

在高三復(fù)習(xí)過程中，一題多解能夠幫助學(xué)生開拓思路，總結(jié)方法，優(yōu)選解法，減少思維受挫.只要堅持深度研究題目，學(xué)生就可以從浩瀚的題海中解脫出來，避免刷題帶來的繁重負(fù)擔(dān)，取得事半功倍的效果.

這個題目的研究也顯示了數(shù)形結(jié)合的重要性.前六種解法均存在一定的運算量，同時思維也存在一些急轉(zhuǎn)彎，學(xué)生容易思維卡殼.第七種解法顯得簡潔明快，在“形”的指引下，解答直奔主題，胸有成竹.因此，我們學(xué)習(xí)中應(yīng)高度重視數(shù)形結(jié)合思想的滲透和應(yīng)用，讓它變成一種自覺思維，經(jīng)常主動思考代數(shù)問題背后的幾何背景，讓問題變得直觀一些，解題時心理踏實一些，思路通暢一些，自然提升學(xué)習(xí)效率，培養(yǎng)核心素養(yǎng).