三招破解以三角形為背景的多元變量最值問題

孫 磊

(江蘇省無錫市第三高級(jí)中學(xué) 214000)

眾所周知，求解多元變量最值問題的關(guān)鍵在于減少變?cè)?，我們可以從三角、形、?shù)三個(gè)角度尋找突破口.

分析這道題含有A，B，C三個(gè)變量，解決本題的關(guān)鍵在于如何將已知條件2sin2A+sin2B=2sin2C轉(zhuǎn)化成tanC=3tanA，并且將tanB也用tanA來表示.

方法1 邊角互化

∵2sin2A+sin2B=2sin2C,

∴2a2+b2=2c2.

在△ABC中，a2=b2+c2-2bccosA，代入上式，

∴3b=4ccosA，

即3sinB=4sinCcosA。

在△ABC中，sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,代入上式，

∴3sinAcosC=sinCcosA，

∴tanC=3tanA.

原式

點(diǎn)評(píng)以三角函數(shù)的化簡作為突破口，通過邊角互化實(shí)現(xiàn)減少變?cè)^程流暢自然，但是需要有較強(qiáng)的三角運(yùn)算功底，如果三角公式不能熟練應(yīng)用，這種方法對(duì)學(xué)生來說有時(shí)候會(huì)有一定難度.

方法2斜化直

過點(diǎn)B作BD⊥AC，交AC于D.

設(shè)BD=h，AD=x，CD=y

在Rt△BDC中a2=h2+y2，在Rt△BDA中c2=h2+x2，b=x+y.

∵2sin2A+sin2B=2sin2C,

∴2a2+b2=2c2.

∴2(h2+y2)2+(x+y)2=2(h2+x2)2,

∴x2-2xy-3y2=0，即(x+y)(x-3y)=0,

∴x=3y.

∴3tanA=tanC.

以下解法同法1

點(diǎn)評(píng)用構(gòu)造直角三角形來表示三角函數(shù)是一種非常直觀的化簡方式，這種方法的解題關(guān)鍵是要在代數(shù)運(yùn)算的過程中消去中間變量h，然后找到三角形的邊或者角的內(nèi)在關(guān)系.

方法3建系設(shè)點(diǎn)

∵2sin2A+sin2B=2sin2C,

∴2a2+b2=2c2,

∴AD=3CD,即3tanA=tanC.

以下解法同法一.

點(diǎn)評(píng)通過建系設(shè)點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合思想確定動(dòng)點(diǎn)軌跡，將三角問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)求最值問題是解決這類題目的一個(gè)新視角，其難點(diǎn)在于如何建系，尋找哪個(gè)點(diǎn)的軌跡作為突破口.

例2在△ABC中，A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c，已知sinA+sinB+μsinAsinB=0，且a+b=2c，則實(shí)數(shù)μ的取值范圍是____.

方法一邊角互化

∵a+b=2c，

∴sinA+sinB=2sinC.

方法二斜化直

直過C作CD⊥AB，交AB于D，設(shè)CD=h，BD=x,AD=c-x.

又∵a+b=2c,

∵μ<0,

方法3建系設(shè)點(diǎn)

以AB中點(diǎn)為原點(diǎn)，AB為x軸，AB的中垂線為y軸如圖建系.

設(shè)C(x,y),∵a+b=2c，即CA+CB=2c,

∴C的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)，2c為長軸的橢圓.

∵sinA+sinB+μsinAsinB=0.

上面兩個(gè)例題用三種方法都能解決，但不是所有類似問題都能同時(shí)用這三種方法解出.斜化直的方法利用構(gòu)造直角三角形表示出三角函數(shù)，這個(gè)過程會(huì)產(chǎn)生一個(gè)中間變量h，只有當(dāng)已知等式是齊次式才有可能消去中間變量，否則這種方法就行不通.建系設(shè)點(diǎn)的方法歸根結(jié)底是用代數(shù)方法求最值，因此已知條件必須含有長度關(guān)系或者已知的三角關(guān)系能夠轉(zhuǎn)化成長度關(guān)系，否則這種方法就行不通.邊角互化的方法應(yīng)該是適用范圍最廣泛的一種方法，在使用這種方法解題的時(shí)候需要明確化簡方向，熟悉三角公式.總之，同學(xué)們?cè)谧鲞@類題目的時(shí)候，應(yīng)該先觀察題目的特點(diǎn)，結(jié)合自身知識(shí)儲(chǔ)備選擇合適的方法.