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    利用隔項(xiàng)思想突破數(shù)列通項(xiàng)公式難題

    2020-10-11 07:44:20高振寧
    數(shù)理化解題研究 2020年25期
    關(guān)鍵詞:奇數(shù)偶數(shù)通項(xiàng)

    高振寧

    (山東省新泰市第一中學(xué) 271200)

    數(shù)列問題是高考解答題必考題型,隨著高考命題改革的進(jìn)行,此類考查形式變化較大、有一定的解答技巧.此類問題的本質(zhì)是數(shù)列的通項(xiàng)公式與數(shù)列求和問題,而解決的關(guān)鍵是求解數(shù)列的通項(xiàng)公式.為此筆者就利用隔項(xiàng)思想求解數(shù)列通項(xiàng)公式的方法介紹一下自己的淺見,試圖建立解決此類問題的通法,供大家參考.

    例1已知數(shù)列{an}滿足a1=1,anan+1=3n,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

    若不利用隔項(xiàng)思想:log3an+1+log3an=n,則令bn=log3an,則得

    例2已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+an+1=3n,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

    通過上述的兩個例題,可以發(fā)現(xiàn)此類問題大都是以鄰項(xiàng)和或鄰項(xiàng)積的形式出現(xiàn),解決問題的方法可以采取兩種方式,第一種采取隔項(xiàng)思想解決,它的本質(zhì)是在子列中構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列,上述例1的子列項(xiàng)的比值為常數(shù),是等比數(shù)列,例2的子列項(xiàng)的差值為常數(shù),是等差數(shù)列,且兩個通項(xiàng)公式相對簡單,便于應(yīng)用解決數(shù)列的相關(guān)問題;第二種方法,直接構(gòu)造等比數(shù)列,也可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,但是通項(xiàng)公式一般含(-1)n項(xiàng),公式本身很復(fù)雜,很抽象,應(yīng)用價值不大,即使要應(yīng)用也需要利用分類討論去掉(-1)n項(xiàng),最終得到利用隔項(xiàng)思想得到的通項(xiàng)公式,這體現(xiàn)了隔項(xiàng)思想的巨大應(yīng)用應(yīng)用價值.隔項(xiàng)思想處理此類問題的本質(zhì)是尋找子列當(dāng)中的等差或等比數(shù)列,而直接求解是整個數(shù)列構(gòu)造公比為-1的等比數(shù)列,它們都是構(gòu)造數(shù)列,只是處理的的角度不同.

    利用隔項(xiàng)思想處理問題的規(guī)律總結(jié):

    (1)題目中出現(xiàn)連續(xù)兩項(xiàng)或幾項(xiàng)的和與積,

    (2)若是若干項(xiàng)的和,則連續(xù)兩項(xiàng)作差;若是兩項(xiàng)的差,則連續(xù)兩項(xiàng)求和,若是若干項(xiàng)之積,則連續(xù)兩項(xiàng)求商.

    (3)解決問題的靈魂是構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列.

    (4)求出的通項(xiàng)公式一般是分段形式,且與奇偶數(shù)有關(guān).

    (5)求出通項(xiàng)公式后,若求和一般也需對序號進(jìn)行隔項(xiàng)求解,可以利用抽象問題具體化的思想來防止出錯.

    從下面兩個例題來感受如何高效利用隔項(xiàng)思想.

    例3(2012全國卷)數(shù)列{an}滿足an+1+(-1)nan=2n-1,則數(shù)列{an}的前60項(xiàng)和為( ).

    A.3690 B.3660 C.1845 D.1830

    解當(dāng)n為奇數(shù)時,an+1-an=2n-1,代入n+1得an+2+an+1=2n+1,兩式相減得an+2+an=2,可知n為奇數(shù)時{an+2+an}為常數(shù)列,n為偶數(shù)時,an+1+an=2n-1,代入n+1得an+2-an+1=2n+1.

    兩式相加得an+2+an=4n,可知n為偶數(shù)時{an+2+an}為等差數(shù)列,則S60=(a1+a3)+(a2+a4)+(a5+a7)+(a6+a8)+…+(a57+a59)+(a58+a60)

    =(a1+a3)+(a5+a7)+…+(a57+a59)+(a2+a4)+(a6+a8)+…+(a58+a60)

    =2×15+(8+24+…+232)=1830,故答案是D.

    實(shí)際上高考試題對連續(xù)兩項(xiàng)的性質(zhì)加入(-1)n后,使題目難度增大,但是根據(jù)上述規(guī)律2,n為奇數(shù)時求差,n為偶數(shù)時求和,最終得到了子列是等差數(shù)列,但是在求解出通項(xiàng)公式后,應(yīng)用容易出錯,n為偶數(shù)時,an+2+an=4n,若求S偶=(a2+a4)+(a6+a8)+(a10+a12)+…

    則n的取值分別為2,6,10…,而不是2,4,6,…,這是解決此類問題的易錯點(diǎn),可以利用列舉法來歸納規(guī)律.

    例4設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,an+1+an=2n+1,a2<2,則使Sn=2019的n的最大值為____.

    解由題意an+1+an=2n+1,得an+2+an+1=2n+3,兩式相減得an+2-an=2,故{a2n-1}是a1為首項(xiàng)2為公差的等差數(shù)列,{a2n}是a2為首項(xiàng)2為公差的等差數(shù)列,則

    當(dāng)n為偶數(shù)時,

    Sn=(a1+a3+a5+…+an-1)+(a2+a4+a6+…+an)

    =[a1+(a1+2)+(a1+4)+…+(a1+n-2)]+

    [a2+(a2+2)+(a2+4)+…+(a2+n-2)]

    當(dāng)n為奇數(shù)時,

    又因n∈N*,可知n≤63,故n的最大值是63.

    此題是隔項(xiàng)思想求通項(xiàng)公式與基本不等式的知識的綜合,在不知前兩項(xiàng)的前提下,可以求出數(shù)列的通項(xiàng)公式與a1,a2有關(guān),借助于分類討論思想,利用分組求和方式求出數(shù)列的Sn,發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律:

    (1)當(dāng)n為偶數(shù)時Sn與a1,a2都無關(guān),僅與n有關(guān),

    (2)當(dāng)n為奇數(shù)時Sn既可以寫成與a1有關(guān)的解析式,也可以寫成與a2有關(guān)的解析式.

    (3)在利用求解不等式解決問題時注意變量的取值范圍.

    (1)若數(shù)列{an}滿足anan+1…an+k=Mαn+β(k≥1,k∈N*,M≠0)成立,則數(shù)列{an}可以拆分成k+1個子數(shù)列,且每個子數(shù)列都為等比數(shù)列;

    (2)若數(shù)列{an}滿足an+an+1+…+an+k=αn+β(k≥1,k∈N*)成立,則數(shù)列{an}可以拆分成k+1個子數(shù)列,且每個子數(shù)列都為等差數(shù)列.

    利用隔項(xiàng)思想解決鄰項(xiàng)數(shù)列問題,值得我們進(jìn)一步作深入的研究.

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