轉(zhuǎn)化思想在三角函數(shù)中的奇妙應(yīng)用

周艷群

【摘要】三角函數(shù)是基本初等函數(shù)的一種，這部分內(nèi)容在高考當(dāng)中的出題量很大，占的分值很多，并且這些題難度較低，分?jǐn)?shù)比較好拿，所以這部分分?jǐn)?shù)是我們的學(xué)生必須要拿到的。因而，三角函數(shù)在高考中的地位非常重要。如果轉(zhuǎn)化思想運(yùn)用得好，那么就能非常靈活地、奇妙地解決這部分內(nèi)容的題目，為高考數(shù)學(xué)爭(zhēng)分。

【關(guān)鍵詞】轉(zhuǎn)化思想;角度的轉(zhuǎn)化;名稱的轉(zhuǎn)化;次數(shù)的轉(zhuǎn)化

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)必修4第一章和第三章的內(nèi)容，在每年的高考中屬于必考內(nèi)容，并且屬于容易題。所以三角函數(shù)是每一位高中生在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里必須掌握好的章節(jié)。基于三角函數(shù)如此重要的地位，我們教師必須以一種行之有效的教學(xué)方法傳授給學(xué)生，讓他們能夠理解并運(yùn)用。轉(zhuǎn)化思想方法就是解決這部分題目的一種行之有效的方法之一。什么是轉(zhuǎn)化思想呢？轉(zhuǎn)化也稱化歸，是數(shù)學(xué)中最常用的思想，應(yīng)用最廣泛的思想。轉(zhuǎn)化與化歸是指在解決問題時(shí)，采用某種手段將復(fù)雜問題化歸為簡(jiǎn)單問題，將較難問題化為較易問題，將未解決問題化歸為已解決問題，將陌生問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題，將未知化為已知，將比較抽象的問題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題來解決，等等。三角函數(shù)這一章在解題的時(shí)候，基本上第一步就是進(jìn)行三角恒等變換，比如，要求三角函數(shù)的值域，就得把函數(shù)化簡(jiǎn)到只有一個(gè)函數(shù)名稱，一個(gè)角度的形式。再如要求三角函數(shù)的周期，就得把函數(shù)化簡(jiǎn)到只有一個(gè)函數(shù)名稱，一個(gè)角度，次數(shù)為1次的形式。諸如這些變形就得應(yīng)用到轉(zhuǎn)化和化歸思想。下面筆者以教材中的題目和高考題來看看轉(zhuǎn)化思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用。

一、角度的轉(zhuǎn)化

三角函數(shù)的求值，化簡(jiǎn)和證明題中常常會(huì)遇到一個(gè)式子里面有幾個(gè)角度，或者已知條件里面的角度和要求的三角函數(shù)值的角度不同的問題。面對(duì)這個(gè)問題，怎么解決呢？首先觀察各角之間的和、差、倍、半關(guān)系、減少角的個(gè)數(shù)、化異角為同角。接下來經(jīng)常會(huì)有兩種方法，一是利用方程組進(jìn)行求解，二是將角度進(jìn)行轉(zhuǎn)化，用兩角和差公式或二倍角公式進(jìn)行求解。下面我們就以兩個(gè)題為例，看看角度轉(zhuǎn)化在解題中的應(yīng)用。

此題涉及到的知識(shí)點(diǎn)是三角函數(shù)的圖象變換，這類問題一般先將兩個(gè)不同名稱的三角函數(shù)化為同名的三角函數(shù)，再根據(jù)三角函數(shù)的圖像的平移，伸縮變換進(jìn)行求解。

三、次數(shù)的轉(zhuǎn)化

次數(shù)的變化的題目最常見于三角函數(shù)圖像與性質(zhì)的題目。尤其是要求函數(shù)的最小正周期，大多數(shù)情況下都要把函數(shù)的次數(shù)化簡(jiǎn)到一次的。常用方式是升次和將次，主要公式為二倍角的余弦公式以及其逆用。如，從左邊到右邊是升次。再變形為，這樣一來從左邊變到右邊就是將次。

前面我們從三種題型中闡述了轉(zhuǎn)化思想的是如何應(yīng)用的，以及轉(zhuǎn)化思想的奇妙之處，所以轉(zhuǎn)化思想在三角函數(shù)這一章當(dāng)中應(yīng)用的作用非常強(qiáng)大。所以三角函數(shù)這一個(gè)知識(shí)點(diǎn)如果能把轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行靈活運(yùn)用，那么高考當(dāng)中這部分的題目就迎刃而解了。