從一次函數(shù)中的面積問題研究數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的培養(yǎng)策略

羅文歡

【摘要】一次函數(shù)中的面積問題是近年中考的熱點題型，從依托教材中的例題、習(xí)題，滲透數(shù)學(xué)模型的思想;運用構(gòu)造法進行教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng);幫助學(xué)生學(xué)會建模;三方面來研究數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的培養(yǎng)策略。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)建模;培養(yǎng)策略

一次函數(shù)中的面積問題是近年中考的熱點題型，往往會與二次函數(shù)一起出現(xiàn)在壓軸題的位置上，其解題方法靈活多變，學(xué)生往往是有點想法，但卻難以突破，可望而不可達。而這類問題，看起來不是同一數(shù)學(xué)問題，但在分析解題思路上卻是相同的，看似殊途，實則同歸。正是因為這些共同點的存在，筆者才從一次函數(shù)中的面積問題入手，來研究數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的培養(yǎng)策略。

一、依托教材中的例題、習(xí)題，滲透數(shù)學(xué)模型的思想

教材中的例題、習(xí)題是經(jīng)過眾多數(shù)學(xué)家、教育家的精心設(shè)計及反復(fù)篩選后才進入教材被使用的，具有典型性與功能性等基本特征，這些題中往往蘊含著豐富的數(shù)學(xué)模型思想，作為老師，應(yīng)不失時機、有意識、有目的地滲透數(shù)學(xué)模型思想，讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)模型思想的“浸潤”，促成數(shù)學(xué)方法的“自覺”觀念的自然“生成”。

評注：利用圖像是“數(shù)形結(jié)合”思想在解題中的運用，是提高學(xué)生解決問題的有效途徑。這一問題有相當(dāng)一部分學(xué)生可能感到?jīng)]有方向，無從下手，但教師引導(dǎo)學(xué)生回歸第一小問中的圖像;圖像直觀反映出的S軸上24是空心的，也就是說△OPA面積不可能等于24，更加不能大于24，從而在取值范圍入手，這樣就將問題簡化。

看似很復(fù)雜的一道題目，通過分析函數(shù)圖像，然后再轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算，變成一道非常淺顯易懂，而且運算過程很簡潔的一道題目，真正實現(xiàn)簡化問題過程的目的。

二、運用構(gòu)造法進行教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)

構(gòu)造法是一種富有創(chuàng)造性的解題方法，它很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)、類比、化歸的思想，也滲透著猜想、試驗、探索、歸納、概括、特殊化等重要的數(shù)學(xué)方法。數(shù)學(xué)構(gòu)造的方法具有很大的靈活性，利用“數(shù)”的模式解決數(shù)或形的問題;通過構(gòu)造圖像圖形等方式，利用“形”的模式解決關(guān)于數(shù)或形的問題。下面就從常見幾種的構(gòu)造法去解決一次函數(shù)中的面積問題。

1.背景構(gòu)造和數(shù)形構(gòu)造巧妙結(jié)合

通過對數(shù)學(xué)問題的分析，結(jié)合圖形，巧妙構(gòu)造問題的情境，展現(xiàn)問題的真實背景，引導(dǎo)學(xué)生把握關(guān)鍵點。由數(shù)量關(guān)系所表示的幾何圖形方面進行研究，使問題更明朗，在解題中更能感受數(shù)學(xué)問題所蘊含的數(shù)學(xué)思想。

評注：難點是已知面積反推點坐標(biāo)，注意分類討論;突破點是三角形面積計算分為規(guī)則三角形。（有一邊與軸平行或在坐標(biāo)軸上）

2.拓展構(gòu)造與聯(lián)想構(gòu)造融為一體

以教材為本，挖掘教材;通過對教材的前后思考，理清知識之間的聯(lián)系，拓展問題。能夠從題目中的題設(shè)、條件出發(fā)，依據(jù)題目的特點聯(lián)想到處理問題的其他形式，使問題得以解決。通過對舊知識的拓展研究，使學(xué)生學(xué)到新知識，提升能力。將問題深化拓展體現(xiàn)出我們教育學(xué)科本質(zhì)及價值的思想，還具備了培優(yōu)全面持續(xù)發(fā)展的優(yōu)勢。

評注：（1）本題考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用、割補法（或鉛垂法）求面積、三角形的面積公式。解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識簡化問題， 從規(guī)則三角形到不規(guī)則三角形，從切割法到鉛垂法求面積?？梢酝卣箻?gòu)造鉛垂線（與y軸平行），鉛垂線=y上-y下

（2）面積相等問題：公共邊為定邊，在平面內(nèi)找點P使到一個三角形等于要求的三角形，關(guān)鍵在于作定邊的平行線。

4.對稱構(gòu)造與探尋構(gòu)造更易解決

通過對數(shù)學(xué)中對稱思想的理解可以更好地幫助我們解決問題，在最短距離時常常引導(dǎo)學(xué)生利用對稱的思想考問題和解決問題;探尋構(gòu)造在分類中使我們的思想更加清晰，把信息整合更加高效。

（2）動點形成的面積計算：①表示三角形的底和高，利用動點的速度、時間、方向或坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為邊長;為了便于理清思路，一定要標(biāo)出關(guān)鍵的條件，②分類依據(jù)是動點經(jīng)過拐點，使所求的圖形發(fā)生變化。③過程書寫，注重一類一圖，定好取值范圍，分別計算。

（3）利用最小值，作出對稱點，定好點P，求出有關(guān)得直線解析式代入點P，用路程、速度來求出時間t。

三、鼓勵并幫助學(xué)生學(xué)會建模

在實際情境中，從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題，建立模型，確定解題思路，寫出過程，檢驗結(jié)果、改進模型，最終解決實際問題。在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的視覺下，關(guān)鍵在于立足于學(xué)生的學(xué)習(xí)視角，從學(xué)生分析問題、解決問題的認識特點出發(fā)，讓學(xué)生充分發(fā)揮自己的思維作用，去建造模型，如果學(xué)生的模型顯得粗燥，老師應(yīng)該發(fā)揮指導(dǎo)作用。教師應(yīng)當(dāng)結(jié)合教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生逐步學(xué)會將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的方法，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會建立數(shù)學(xué)模型，如方程模型、函數(shù)模型、不等式模型、數(shù)列模型等等，從而提高建模素養(yǎng)。

在一次函數(shù)面積問題教學(xué)中，幫助學(xué)生學(xué)會建立數(shù)學(xué)模型的方法，主要有以下幾種：1.抓住關(guān)鍵詞語，聯(lián)想轉(zhuǎn)化;2.借助圖形直觀，以形助數(shù);3.觀察圖像，整合信息;4.動點轉(zhuǎn)定點，分類討論。

總之，突破一次函數(shù)中的面積問題，提高數(shù)學(xué)教學(xué)效率，數(shù)學(xué)建模發(fā)揮著重要的作用。教師從學(xué)生的實際出發(fā)，研究數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的培養(yǎng)策略是數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)扎實落地的有力保障。

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