滲透數(shù)形結(jié)合思想，提升數(shù)學(xué)思維能力

摘 要：數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中十分重要的一種學(xué)習(xí)方法。應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想能夠降低學(xué)習(xí)難度，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生更加高效地進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。近年來，隨著核心素養(yǎng)不斷被重視，這一思想被越來越多的教師所重視。文章作者提出，在教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想，能夠有效地提升學(xué)生的學(xué)科思維能力。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合;思維能力

中圖分類號：G623.5?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A?文章編號：2095-624X（2020）29-0064-02

一、理解數(shù)量關(guān)系，培養(yǎng)思維形象性

小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)以學(xué)科基礎(chǔ)知識為主，學(xué)生需要通過學(xué)習(xí)掌握基本的數(shù)學(xué)概念等。而數(shù)量關(guān)系是這一時(shí)期的重難點(diǎn)，如何幫助學(xué)生理解掌握數(shù)量關(guān)系也是每一位教師研究的重要內(nèi)容。數(shù)形結(jié)合思想可以使教學(xué)內(nèi)容更加形象化、直觀化，有效地減少數(shù)學(xué)知識的抽象性。這樣，當(dāng)學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)，就可以借助于數(shù)形結(jié)合思想高效準(zhǔn)確地理解數(shù)量關(guān)系，這在一定程度上能夠提升其形象思維能力。

1.操作，自主梳理

滲透數(shù)形結(jié)合思想，教師可以組織學(xué)生進(jìn)行動(dòng)手操作，通過動(dòng)手畫圖等，幫助學(xué)生進(jìn)行自主梳理，從而理解數(shù)量關(guān)系。

例1：放暑假后，學(xué)校請環(huán)衛(wèi)工人來修建草坪，已知他們每天修建的速度是一致的，共花費(fèi)6天時(shí)間修建完成，請問開始修建后半天，他們修建了整個(gè)草坪的幾分之幾。

解析 分析題目可以發(fā)現(xiàn)，我們先需要知道環(huán)衛(wèi)工人每天修建的工作量占整個(gè)草坪的多少，然后乘以天數(shù)就可以得出最終結(jié)果。而每天的工作量=總工作量÷工作天數(shù)。我們將總工作量看作單位1，即可以得出每天的工作量為1/6，說明每天完成的工作量占1/6。于是，可以畫出一個(gè)長方形，用來表示整個(gè)需要修建的草坪，然后將其分成均勻的五等份，每一份對應(yīng)表示每天修建的部分，這時(shí)候只需要取其中任意一部分，將其再分成兩等分，這時(shí)候所得的其中任意一份所對應(yīng)的就是環(huán)衛(wèi)工人半天修建的草坪占總工作量的部分。通過畫圖操作，學(xué)生能夠高效地進(jìn)行梳理，理解數(shù)量之間的關(guān)系，最后代入計(jì)算即可得出最終答案，即1/12。開始半天后，環(huán)衛(wèi)工人修建了草坪的1/12。

通過操作，學(xué)生能夠更加直觀清楚地了解數(shù)量關(guān)系，從而進(jìn)行自主梳理，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率，并能夠有效地提升形象思維能力。同時(shí)，它還能在一定程度上提升數(shù)學(xué)課堂的趣味性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

2.實(shí)驗(yàn)，理解結(jié)點(diǎn)

在梳理數(shù)量關(guān)系時(shí)，教師還可以結(jié)合數(shù)形結(jié)合所得出的結(jié)果帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生理解結(jié)點(diǎn)，提升他們的數(shù)學(xué)形象思維能力。

例2：放學(xué)后，小明去媽媽的書店幫忙，媽媽給他安排了一項(xiàng)任務(wù)，她讓小明將剛進(jìn)的100本書貼上價(jià)格標(biāo)簽，已知小明花費(fèi)了2個(gè)小時(shí)整理完，請問開始整理后一個(gè)小時(shí)，小明貼了多少本書？

解析 看到這道題后，學(xué)生就可以利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行分析。學(xué)生可以先畫出100個(gè)小方塊，代表需要整理的100本書，然后接著分析，發(fā)現(xiàn)小明一共花費(fèi)了兩個(gè)小時(shí)，那么我們可以將這100個(gè)小方塊劃分為兩大部分。每個(gè)部分代表小明每個(gè)小時(shí)貼好的書的數(shù)目，即100÷2=50。這樣我們就可以得出最終答案，即50×1=50。為了幫助學(xué)生更加直觀形象地理解結(jié)點(diǎn)，教師可以發(fā)100張紙給學(xué)生，讓學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。首先，這100張紙代表小明所需要貼標(biāo)簽的所有書，其次，選取3個(gè)學(xué)生貼標(biāo)簽，假設(shè)這3個(gè)學(xué)生花費(fèi)了10分鐘完成，那么在求他們5分鐘完成的數(shù)量時(shí)，最后，學(xué)生就可以直接得出最終答案：100÷2×1=50。

“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行?！睂?shí)驗(yàn)?zāi)軌驇椭鷮W(xué)生更加深刻地理解結(jié)點(diǎn)，從而加深對相關(guān)概念的理解，提升其形象思維能力。這樣當(dāng)大家再次遇到相關(guān)問題時(shí)，就能夠更加快速地找到解法。

二、提出大膽假設(shè)，培養(yǎng)思維靈活性

眾所周知，小學(xué)生處于學(xué)習(xí)的啟蒙時(shí)期，學(xué)生的思維靈活性十分重要。在教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)注重對其思維進(jìn)行引導(dǎo)，不能讓學(xué)生形成刻板的思維方式，這不利于其發(fā)展。為了提升學(xué)生的思維靈活性，教師可以借助于數(shù)形結(jié)合思想展開教學(xué)，利用小學(xué)生好奇心較重這一特點(diǎn)，積極引導(dǎo)學(xué)生提出大膽假設(shè)。

1.以形解數(shù)，空間上整體代入

在學(xué)習(xí)時(shí)，教師可以從某一特定的定理概念入手，通過提問引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行大膽的猜測。這樣，學(xué)生就可以依據(jù)圖形進(jìn)行交流探索，提升思維靈活性。讓學(xué)生在空間上整體代入，可以幫助學(xué)生更加深刻地理解相關(guān)概念。

例3：結(jié)合所學(xué)知識判斷，6是2的倍數(shù)嗎？8是3的倍數(shù)嗎？

解析 看到這道題后，教師可以在黑板上畫出一個(gè)長為8cm、寬為6cm的長方形，然后可以在其長邊上依次截取相鄰的邊長為3cm的線段，那么學(xué)生很容易看到在截取完第二條小線段后，量取發(fā)現(xiàn)長方形長邊只剩下2cm，無法再得到一條完整的邊長為3cm的線段。即這個(gè)8cm的邊無法分成n條3cm的小線段。緊接著用相同的方法，在其寬邊上依次截取相鄰的邊長為2cm的線段，那么學(xué)生很容易看到剛好可以截取3條。學(xué)生也就很容易明白8不是3的倍數(shù)，而6是2的倍數(shù)。

以形解數(shù)，能夠?qū)⒊橄蟮膯栴}轉(zhuǎn)化為形象的圖形問題，引導(dǎo)學(xué)生在空間上整體代入，依據(jù)圖形進(jìn)行交流探索，提升思維靈活性。在解決問題時(shí)，我們需要多思考，從多個(gè)方面入手分析求解。

2.以數(shù)解形，邏輯上理性推理

結(jié)合數(shù)形結(jié)合的概念特點(diǎn)等，我們知道，不僅可以以形解數(shù)，幫助學(xué)生更加高效地理解學(xué)習(xí)，同時(shí)還可以以數(shù)解形，結(jié)合所學(xué)知識，進(jìn)行靈活的邏輯推理，從而解決相關(guān)問題。

例4：已知某等腰三角形的底為4，高為2，另一個(gè)長方形的底為12，高為4，請問利用這個(gè)長方形最多能剪出多少個(gè)等大的等腰三角形。

解析 看到這個(gè)問題后，大家可以直接在紙上畫或者試著操作一下。但是除此之外，我們可以先將這個(gè)長方形畫出來，經(jīng)過計(jì)算可以得出長方形的底是三角形底的三倍，高是兩倍，于是大家可能會(huì)直接得出結(jié)論，可以剪出2×3=6個(gè)，但是這樣做是錯(cuò)誤的，實(shí)際上可以剪出10個(gè)相同的等腰三角形，因?yàn)槲覀儾粌H要考慮正放的等腰三角形，還需要考慮倒放的，他們被夾在正三角形中，即（3+2）×2=10，這個(gè)長方形最多能剪出10個(gè)等大的等腰三角形。以數(shù)解形，我們可以借助于所學(xué)知識進(jìn)行邏輯推理，靈活地解決問題。

以數(shù)解形，需要結(jié)合所學(xué)知識進(jìn)行邏輯推理。學(xué)生可以根據(jù)所學(xué)知識進(jìn)行靈活的探索，尋找高效簡捷的方式求解。這不僅能夠提升其思維靈活度，同時(shí)還能加深對所學(xué)知識的理解。

三、尋求不同解法，培養(yǎng)發(fā)散性思維

在我們的學(xué)習(xí)工作中，發(fā)散思維是十分重要的。發(fā)散性思維往往能夠幫助我們更加全面地分析、解決問題。因此，教師應(yīng)當(dāng)“從娃娃抓起”，從小培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，引導(dǎo)學(xué)生尋求不同的解法，提升核心素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。

1.比較，發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律

學(xué)習(xí)切忌刻板，教師可以借助于數(shù)形結(jié)合的方法引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較，通過分析異同，從而引導(dǎo)大家發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律，尋求不同解法，這有利于提升思維的發(fā)散性。

例5：給出18個(gè)棱長為1厘米的小正方體，請學(xué)生利用其組成任意的長方體，并探究其長寬高的關(guān)系。

解析 學(xué)生可以先根據(jù)所給小正方體進(jìn)行擺放，得出任意的長方體，如將其擺放成一行，長、寬、高分別為18、1、1;再比如長、寬、高分別為9、2、1，等等，學(xué)生可以任意發(fā)揮并交流。但是不管組成的長方體呈什么形狀，他們所用的總正方體數(shù)目，即長方體的體積是一定的。并且通過探討計(jì)算，我們可以發(fā)現(xiàn)，無論怎樣進(jìn)行擺放，長×寬×高所得的積始終為18，即長方體的體積是一定的。這樣，大家就能夠利用所給正方體進(jìn)行任意拼接，最終得到不同的長方體。但是通過比較探討可以發(fā)現(xiàn)，無論怎樣組合，長方體的體積都保持不變，即為長×寬×高。這樣一來，學(xué)生就能夠更加深刻地理解體積這一概念及其求法。當(dāng)再次涉及相關(guān)問題時(shí)，學(xué)生就能夠利用這些概念尋求不同的解法。

比較是我們獲得新發(fā)現(xiàn)的手段，只有通過比較才能夠發(fā)現(xiàn)其異同之處，從而發(fā)現(xiàn)新規(guī)律。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)運(yùn)用比較，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察探索，可以讓學(xué)生的思維更具有發(fā)散性。

2.想象，嘗試虛擬轉(zhuǎn)換

在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想時(shí)，學(xué)生需要能夠熟練地轉(zhuǎn)換數(shù)字與圖形之間的關(guān)系，那么，想象就是必不可少的環(huán)節(jié)。在求解數(shù)學(xué)問題時(shí)，學(xué)生可以發(fā)揮自己的想象，嘗試進(jìn)行虛擬性轉(zhuǎn)換，尋找不同的角度、不同的方法，發(fā)散思維。

例6： 用48個(gè)棱長為1厘米的小正方體隨意擺放，請問如何擺放才能夠得出一個(gè)長為6厘米的大長方體。

解析 看到這個(gè)題目后，學(xué)生可以先在紙上畫出一個(gè)任意的長方體，并在其長邊上標(biāo)注6厘米。根據(jù)已知條件，我們可以知道長方體的體積應(yīng)該等于所有小正方體體積之和48，根據(jù)所學(xué)的長方體體積公式“長方體體積=長×寬×高”，就可以得出寬和高的關(guān)系為：寬×高=8，那么這個(gè)時(shí)候?qū)W生就可以思考，假設(shè)寬為1cm，那么高就是8cm，那么可以繼續(xù)進(jìn)行想象，如果我們讓寬以倍數(shù)的形式進(jìn)行轉(zhuǎn)換是否能夠?qū)崿F(xiàn)。如果寬變?yōu)楝F(xiàn)在的兩倍，那么高就要變?yōu)樵瓉淼?/2，說明將長方體上下分成兩半后并排放置，高為原來的一半。但是如果將寬變?yōu)槌跏嫉?倍，那么就要將其上下方向分成3份并排放置，很顯然這是無法實(shí)現(xiàn)的，依次這樣想象分析后，我們可以發(fā)現(xiàn)有三種擺法，即寬分別為1、2、4。

想象，并不意味著胡亂想象，它需要我們結(jié)合一定的分析進(jìn)行有規(guī)律的想象，進(jìn)行虛擬轉(zhuǎn)換，從而提升思維發(fā)散性。但是并非所有問題都適用于想象，學(xué)生還需要結(jié)合具體問題進(jìn)行具體分析，選取最高效、最合適的方法求解。

總而言之，小學(xué)時(shí)期學(xué)生的思維尚未成熟。教師可以在教學(xué)過程中有效地滲透數(shù)形結(jié)合思想。這樣不僅能夠幫助學(xué)生更加清楚地理解相關(guān)數(shù)學(xué)概念，提升其學(xué)習(xí)效率，還能有效地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，為其長遠(yuǎn)發(fā)展打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

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作者簡介：徐琳劼（1992— ），女，江蘇蘇州人，中小學(xué)二級教師，本科。