從知識結(jié)構(gòu)談函數(shù)主題單元教學(xué)

摘 要：在“一核四層四翼”的新高考評價體系之下，教師也在尋求培養(yǎng)學(xué)生的路徑。田慧生提出主題單元教學(xué)，指出新課程的教學(xué)應(yīng)該站在單元的角度進行備課。文章從函數(shù)的結(jié)構(gòu)以及其滲透的數(shù)學(xué)素養(yǎng)出發(fā)，針對函數(shù)教學(xué)中的重難點提出建議與想法。

關(guān)鍵詞：主題單元教學(xué);核心素養(yǎng);函數(shù)結(jié)構(gòu)

中圖分類號：G633.6?文獻標(biāo)識碼：A?文章編號：2095-624X（2020）29-0062-02

一、函數(shù)內(nèi)容結(jié)構(gòu)分析

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，知識點多而難。從結(jié)構(gòu)上理解函數(shù)內(nèi)容結(jié)構(gòu)，可以厘清其內(nèi)部知識之間的聯(lián)系，使知識能夠成為體系，避免知識碎片化。同時，教師可以從結(jié)構(gòu)的高度上引導(dǎo)學(xué)生生成新知識，并對不同知識點之間的研究方法進行橫向?qū)Ρ?，從而讓學(xué)生深入理解學(xué)習(xí)內(nèi)容。

在高中初始階段，學(xué)生已經(jīng)對集合進行了學(xué)習(xí)，教師可結(jié)合現(xiàn)實生活中的例子，引入一般函數(shù)的概念，進而帶學(xué)生研究函數(shù)的表示方法，其后研究函數(shù)性質(zhì)，包括奇偶性、單調(diào)性、拓展周期與對稱性等。在理解函數(shù)性質(zhì)的定義與性質(zhì)之后，教師可以開始帶學(xué)生對一些特殊的函數(shù)進行研究，包括指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)以及特殊的離散型函數(shù)-數(shù)列。從其每個小專題的研究順序結(jié)構(gòu)上看，我們可以將函數(shù)的研究學(xué)習(xí)過程分為：定義→表示→運算與性質(zhì)→應(yīng)用四個環(huán)節(jié)，同時在研究完一個問題時，往往會進一步研究其內(nèi)涵（子類）或是變形與拓展（衍生類）。

二、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的體現(xiàn)與培養(yǎng)

主題單元教學(xué)，不僅僅可以體現(xiàn)知識結(jié)構(gòu)的完整性，其對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)也有著至關(guān)重要的作用。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)不是一朝一夕的，零碎的課時教學(xué)，缺乏整體規(guī)劃，對學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是不利的。在不同的環(huán)節(jié)，不同的教學(xué)內(nèi)容中核心素養(yǎng)培養(yǎng)的重心是有所不同的。同時核心素養(yǎng)的培養(yǎng)也應(yīng)該是分階段進行的，教師應(yīng)當(dāng)制訂多個小目標(biāo)，逐步培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)。函數(shù)作為高中的重點內(nèi)容，可以作為多種核心素養(yǎng)的培養(yǎng)載體，以下筆者將分析各個核心素養(yǎng)在函數(shù)教學(xué)中的主要體現(xiàn)。

1.做好概念教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

函數(shù)教學(xué)的第一環(huán)節(jié)往往是概念的引入，教材一般以具體示例引入，以幫助學(xué)生在具體情境中感知函數(shù)的存在，并讓學(xué)生從中抽象出共性的特征，總結(jié)出函數(shù)定義、單調(diào)性、奇偶性等概念。在這個環(huán)節(jié)中，引導(dǎo)學(xué)生進行體會，讓學(xué)生嘗試對概念進行定義、符號化，可以起到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的作用。

2.注重多種形式的表達，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)

函數(shù)教學(xué)的第二環(huán)節(jié)往往是函數(shù)的表示，包括函數(shù)解析式，列表法等代數(shù)表達以及利用圖像描述函數(shù)。對函數(shù)表示的學(xué)習(xí)，一方面可以讓學(xué)生對函數(shù)形成更為直觀的認(rèn)知，另一方面可以引導(dǎo)學(xué)生從多個角度理解函數(shù)。同時在函數(shù)表示的學(xué)習(xí)中引入分段函數(shù)，可以更進一步引導(dǎo)學(xué)生體會圖像在研究函數(shù)方面的作用，培養(yǎng)其利用圖像描述問題、解決問題的能力。

3.性質(zhì)推導(dǎo)，重視過程，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)

函數(shù)是根據(jù)定義證明其單調(diào)性、奇偶性等問題，重視定義在證明中的作用，能夠培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。在指對運算中，通過類比兩者運算中的聯(lián)系得到對數(shù)的運算方法，可以培養(yǎng)學(xué)生類比推理能力。在整個函數(shù)的結(jié)構(gòu)中，為什么要針對特殊函數(shù)進行研究，包括數(shù)列的研究中為什么要對等差、等比數(shù)列進行研究，主要是通過對特殊函數(shù)、特殊數(shù)列的研究，讓學(xué)生體會其中的研究方法與性質(zhì)，從而推廣到一般函數(shù)、一般數(shù)列的研究，滲透特殊到一般的思想方法。讓學(xué)生從宏觀角度理解函數(shù)內(nèi)容結(jié)構(gòu)是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力的有效途徑。

4.重視算理，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)

函數(shù)單元包括指數(shù)運算、對數(shù)運算以及三角運算等內(nèi)容，公式較多，學(xué)生往往不能較好地掌握其中的算理、算法，計算問題較大。那么，教師在函數(shù)模塊如何提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)？第一，強化運算性質(zhì)的推導(dǎo)過程，讓學(xué)生做到能夠理解運算性質(zhì)的由來，進而能夠較好地記憶和運用運算性質(zhì)。第二，培養(yǎng)學(xué)生在計算中嚴(yán)格利用算理的習(xí)慣，做到每一步計算都有算理可依。第三，運算性質(zhì)剖析到位，讓學(xué)生通過典例建立公式與常見形式的聯(lián)想，什么時候應(yīng)該想到什么，用什么公式進行計算。第四，強化計算套路的熟練程度，在運算上有一些常見的計算過程，如三角函數(shù)的降冪輔助角操作，通過對學(xué)生進行不斷的強化，總結(jié)每一步計算細節(jié)，從而加快計算速度，減少計算失誤。

5.重視閱讀，重視應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

在函數(shù)模塊的教學(xué)中，有多處可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。一方面對抽象的概念定理進行實例講解，有利于引導(dǎo)學(xué)生進行閱讀，同時讓學(xué)生理解函數(shù)模型、函數(shù)性質(zhì)在現(xiàn)實中的具體體現(xiàn)，并讓學(xué)生更容易進行聯(lián)想拓展。另一方面，在函數(shù)的練習(xí)中也蘊藏著建模思想。剖析函數(shù)中的增長速度、奇偶性、周期性等函數(shù)性質(zhì)，能夠在實際生活中找到函數(shù)模型對學(xué)生進行建模素養(yǎng)培養(yǎng)。

三、把握結(jié)構(gòu)，突破函數(shù)重難點

（1）初學(xué)階段，包括對于一般函數(shù)概念、表示、性質(zhì)的研究以及函數(shù)與方程。

從函數(shù)的整體結(jié)構(gòu)可以看到具體函數(shù)的研究方法與初學(xué)階段函數(shù)的學(xué)習(xí)順序是相類似的，因此在函數(shù)的教學(xué)過程中，初始階段的學(xué)習(xí)尤為重要。只有掌握了函數(shù)的一般研究方法，后續(xù)特殊函數(shù)的學(xué)習(xí)才會變得十分輕松。反之，如果學(xué)生在初學(xué)階段對函數(shù)性質(zhì)掌握得不好，由于后續(xù)特殊函數(shù)的學(xué)習(xí)還包括運算上的難點，就會讓問題變得更為復(fù)雜。

初學(xué)階段有以下幾個重點內(nèi)容。

第一，函數(shù)的研究方法。在函數(shù)初學(xué)階段的學(xué)習(xí)之中，學(xué)生應(yīng)當(dāng)站在更高的角度審視其學(xué)習(xí)過程，體會函數(shù)研究過程，理解函數(shù)的研究方法是從其表示出發(fā)，進而研究其有關(guān)性質(zhì)，最后加以應(yīng)用。因此在遇到函數(shù)有關(guān)問題時，思維順序應(yīng)當(dāng)是利用作圖、特殊點等方式對函數(shù)進行觀察，培養(yǎng)其利用圖形解決問題的能力，進而研究函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)。只有了解了性質(zhì)之后，學(xué)生才能更好地應(yīng)用函數(shù)。

第二，函數(shù)的概念以及f（x）的抽象表達。由于學(xué)生第一次接觸f（x）這種表達方式，對其較為陌生，有恐懼感，所以這里需要引用更多的例子使學(xué)生對符號理解得更為到位，這樣才有利于后續(xù)的教學(xué)。反之，學(xué)生若對f（x）符號的不理解，其在學(xué)習(xí)有關(guān)抽象函數(shù)定義域、解析式問題，包括函數(shù)的單調(diào)性符號表示、偶函數(shù)的符號表示，更進一步的函數(shù)對稱性與周期性的表示就都有極大的困難。在教學(xué)中，教師對f（x）的講解往往安排時間較少，不夠深入，導(dǎo)致學(xué)生對后續(xù)內(nèi)容的理解十分混亂。

第三，函數(shù)的表示方法?；A(chǔ)知識方面，在初高中銜接時，很多學(xué)生對二次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖像還不熟悉，導(dǎo)致后續(xù)在與指對冪等其他函數(shù)結(jié)合時，因為初中知識的遺漏而在學(xué)習(xí)上十分困難。大多數(shù)學(xué)生利用圖形描述問題的意識薄弱，如學(xué)生在二次函數(shù)限定區(qū)間的值域求解上面存在非常大的問題，他們不懂得借助于圖像幫助思考。在這個階段，教師應(yīng)當(dāng)選擇合適的例題，讓學(xué)生體會圖像在解決問題上面的優(yōu)勢，同時指導(dǎo)學(xué)生作圖，這里要求學(xué)生利用尺規(guī)嚴(yán)格作圖，培養(yǎng)準(zhǔn)確作圖的能力。

第四，函數(shù)性質(zhì)的抽象。在函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的教學(xué)方面，教師應(yīng)當(dāng)注重函數(shù)性質(zhì)的抽象過程。重視抽象過程，能夠幫助學(xué)生進一步理解f（x）的意義，加深其對函數(shù)性質(zhì)的理解與記憶，同時對后期一般對稱性、周期性的拓展有著至關(guān)重要的作用。

第五，復(fù)合、四則運算下函數(shù)性質(zhì)的變化。在教學(xué)函數(shù)性質(zhì)的時候，教師應(yīng)當(dāng)滲透函數(shù)性質(zhì)的四則運算性質(zhì)以及復(fù)合函數(shù)性質(zhì)的講解。在后續(xù)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)函數(shù)之后，更多的題目是求解函數(shù)復(fù)合或者四則運算平移得到的更復(fù)雜的函數(shù)。理解函數(shù)性質(zhì)的四則運算或是復(fù)合的結(jié)果，更有利于學(xué)生理解后續(xù)遇到的問題，做到多題一法。

（2）指對冪、三角函數(shù)、數(shù)列等特殊函數(shù)的研究。若學(xué)生在初學(xué)階段對知識掌握到位，那么，他們對特殊函數(shù)的學(xué)習(xí)會容易許多。對特殊函數(shù)教學(xué)也是定義→表示→性質(zhì)→應(yīng)用四個環(huán)節(jié)，相比初學(xué)階段的函數(shù)重點，學(xué)生對特殊函數(shù)的學(xué)習(xí)主要圍繞以下幾個點進行。

第一，高中新引入的對數(shù)與三角運算。這部分運算由于公式較復(fù)雜，靈活性強，導(dǎo)致題目難度較大，學(xué)生對后續(xù)函數(shù)的學(xué)習(xí)會產(chǎn)生較大的恐懼感，因此，教師在教學(xué)過程中不宜加大難度，而應(yīng)讓學(xué)生熟悉新的運算，從而更好地學(xué)習(xí)函數(shù)內(nèi)容。在運算的教學(xué)上，教師應(yīng)該降低要求，做好分層教學(xué)，或是在學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)中再慢慢加大難度。

第二，新函數(shù)的學(xué)習(xí)以及函數(shù)復(fù)合、變換、分段結(jié)合的性質(zhì)研究方法。學(xué)習(xí)新函數(shù)的重點在于對新函數(shù)性質(zhì)的掌握，這部分難度不大，學(xué)生基本都能掌握。難點在于函數(shù)之間的知識點的交匯，這就需要用到前面所學(xué)的知識內(nèi)容。如果學(xué)生初學(xué)階段的知識方法掌握得較好，那么此時更多的是對前面知識方法的強化，學(xué)生學(xué)習(xí)相對也會比較輕松。學(xué)生學(xué)習(xí)的信心以及對數(shù)學(xué)的興趣都會得到提升。反之，知識的高度綜合會讓學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生恐懼感，不利于后期學(xué)習(xí)。

第三，數(shù)列的學(xué)習(xí)。數(shù)列區(qū)別于其他函數(shù)，我們可以將其視為離散的函數(shù)。除了對函數(shù)本身的圖像、單調(diào)性、值域的研究，由于其離散性，其項之間存在某些關(guān)聯(lián)，還需要研究其遞推公式。在這里，學(xué)生通常不明白為何如此變形，為何用某種方法計算通項與求和，因此，教師在教學(xué)時應(yīng)該從特殊的例子逐步拓展，讓學(xué)生更容易接受相關(guān)方法與知識，同時體現(xiàn)特殊到一般的思想。

四、教學(xué)建議

從單元結(jié)構(gòu)上分析函數(shù)的知識內(nèi)容，我們可以發(fā)現(xiàn)在整個知識體系的研究之中，均是依據(jù)定義→表示→性質(zhì)→應(yīng)用的順序進行，教學(xué)依照這個邏輯順序，站在研究方法的角度上進行教學(xué)，有利于學(xué)生知識結(jié)構(gòu)的形成。在知識的教授方面，初學(xué)階段的教學(xué)意義重大，影響著學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)，因此教師在初學(xué)階段應(yīng)該花費更多時間與精力，引導(dǎo)學(xué)生做好筆記，隨時進行檢測，做好落實工作。磨刀不誤砍柴工，前期扎實的學(xué)習(xí)會使后續(xù)的學(xué)習(xí)更為輕松。

[參考文獻]

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2]史寧中，王尚志.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）解讀[M].北京：高等教育出版社，2018.

作者簡介：蔡開拓（1991— ），男，福建廈門人，中學(xué)二級教師，本科，研究方向：中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。