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    回文數(shù)與無厘頭的冰雹

    2020-10-08 14:34:19蔡天新
    南方周末 2020-10-08
    關(guān)鍵詞:康威回文瑞爾

    蔡天新

    風(fēng)靡美國校園的數(shù)字游戲:對于任意一個自然數(shù)n,如果是個奇數(shù),則下一步變成3n+1;如果是個偶數(shù),則下一步變成n/2。無論n是什么數(shù),最終都要跌落到谷底1。

    視數(shù)學(xué)和科學(xué)為游戲的約翰·康威。

    《一千零一夜》中會講故事的謝赫拉莎德。

    ★數(shù)論看起來包含了數(shù)學(xué)的大部分羅曼史。

    ——路易斯·莫德爾(英國)

    游戲天才康威

    2020年4月12日,普林斯頓大學(xué)約翰尼·馮·諾伊曼講座教授約翰·康威(John Horton Con-way)教授因新冠肺炎去世,享年83歲。康威是當(dāng)代最活躍的全能型數(shù)學(xué)家,在數(shù)論、群倫、博弈論等領(lǐng)域均有卓越貢獻(xiàn),同時兼攻量子力學(xué)和生物學(xué)。在學(xué)術(shù)研究之余,康威還出版了大量膾炙人口的科普著作。不僅如此,康威視數(shù)學(xué)和科學(xué)為游戲,他的傳記書名就叫《游戲天才》。

    1937年,康威出生于英國利物浦。他的父親是利物浦一所中學(xué)的實驗室助理,著名的披頭士樂隊成員中有兩位曾在那所中學(xué)上學(xué)??低母赣H在科學(xué)方面非常博學(xué),而且酷愛詩歌。他常在家里來回踱步,一邊刮臉一邊吟誦詩歌,有時甚至赤身裸體。在康威心目中,父親是一個特別有趣的人。

    11歲那年,康威進(jìn)入了一所新學(xué)校,校長與他有過一次面談。校長問康威以后打算做什么,他回答說想去劍橋念數(shù)學(xué)。七年以后他果真做到了,并在劍橋一路攀升,成為英國皇家學(xué)會的會員(院士)。之后,普林斯頓大學(xué)為康威提供了一份工作,從此他一直在美國生活。

    在科學(xué)界,康威最著名的發(fā)明是生命游戲,它開創(chuàng)了細(xì)胞自動機的新領(lǐng)域。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域,他發(fā)現(xiàn)了幾個很大的對稱群,這是很難做到的事情。最讓康威引以為傲的是,他發(fā)現(xiàn)了全新的數(shù)的世界,被同行命名為“超實數(shù)”。兩千多年前,阿基米德創(chuàng)建了我們常用的實數(shù)理論;一百多年前,德國數(shù)學(xué)家康托爾發(fā)現(xiàn)了無窮數(shù)的理論;超實數(shù)將二者同時包括在內(nèi)。

    因為康威的學(xué)術(shù)成就和影響力,當(dāng)5月24日美國的新冠死亡人數(shù)逼近10萬之際,《紐約時報》在頭版和內(nèi)頁用4個整版刊登了1000名死者名單,以及他們的年齡、職業(yè)和成就,康威的名字自然出現(xiàn)在頭版。在康威的諸多數(shù)學(xué)科普著作里,他曾提到花環(huán)數(shù)和角谷猜想,下面我想對這兩個概念進(jìn)行闡釋。其中花環(huán)數(shù)與我國古代的回文詩有相似之處,而角谷猜想既吸引了康威這樣的大數(shù)學(xué)家的關(guān)注,也引發(fā)了許多業(yè)余愛好者的興趣。

    回文詩與花環(huán)數(shù)

    賞花歸去馬如飛,去馬如飛酒力微;酒力微醒時已暮,醒時已暮賞花歸。

    12世紀(jì)的一個夏日,大詩人蘇東坡陪妹妹游杭州西湖時寫下了這首回文詩?!盎匚摹笔侵刚x反讀都能讀通的句子,它是古今中外都有的一種修辭方式和文字游戲,例如,“我為人人,人人為我”。在英文里也有回文,“Race car”,“Step on no pets”,“Put it up”,“Was it a car or a cat I saw?”,“A man,a plan,a canal,Panama!”又如西班牙文里有,“Amor Roma”。

    有趣的是,數(shù)學(xué)里也有一種叫回文數(shù)的游戲。

    大約在公元850年,印度數(shù)學(xué)家馬哈維拉撰寫了《計算精華》一書,該書曾在南印度被廣泛使用。1912年,這部書被譯成英文在馬德拉斯(現(xiàn)改名金奈)出版,成為印度第一部初具現(xiàn)代形式的教科書。書中提到了“花環(huán)數(shù)”,即將兩整數(shù)相乘,使其乘積的數(shù)呈中心對稱,此即“回文數(shù)”。馬哈維拉親自找到了一些回文數(shù),例如

    14287143×7=100010001

    12345679×9=111111111

    27994681×441=12345654321

    之所以稱花環(huán)數(shù),估計與印度人愛花,同時花環(huán)是無頭無尾且對稱有關(guān)。英文里叫Palindromic number,阿拉伯人稱其為謝赫拉莎德數(shù),即以《一千零一夜》里那位會講故事的王妃命名。事實上,1001本身便是一個花環(huán)數(shù)。

    方冪數(shù)里也有許多花環(huán)數(shù),例如121(11的平方)、343(7的立方)、14641(11的四次方)。迄今為止,人們尚未找到5次或更高次冪次型的回文數(shù),于是有了下列尚未證明的猜想。

    猜想 不存在5次或更高冪次型的回文數(shù)。

    值得一提的是,四位和六位回文數(shù)有一個特點,它決不可能是素數(shù)。例如,設(shè)其為abba,它等于1000a +100b +10b + a=1001a +110b,能被11整除。

    一個回文數(shù),如果它同時還是某個數(shù)的平方,就叫做平方回文數(shù)。1000以內(nèi)的正整數(shù)里,有108個回文數(shù),而平方回文數(shù)只有6個,即1、4、9、121、484、676;考慮到1000以內(nèi)的平方數(shù)只有31個,因此比例相對較高。另外有些數(shù),通過不斷與它的倒序數(shù)相加,也可得到回文數(shù)。例如,29+92=121;194+491=685,586+685=1271,1271+1721=2992。于是,又有了以下問題。

    問題 是否任何一個正整數(shù)與它的倒序數(shù)相加,所得的和再與和的倒序數(shù)相加,……如此反復(fù),經(jīng)過有限次步驟后,最后必定可以得到一個回文數(shù)?

    必須指出,有些數(shù)至今仍未發(fā)現(xiàn)有此類特征,例如196。在電子計算機尚未問世的1938年,美國數(shù)學(xué)家拉赫曼便已計算到了第73步。2006年,已計算到699萬步,得到了一個2.89億位的和數(shù)。2015年,這個和數(shù)達(dá)到了10億位,仍不是回文數(shù)。也就是說,人們既不能肯定運算下去是否永遠(yuǎn)得不到回文數(shù),也不知道需要再運算多少步才能得到回文數(shù)。

    永遠(yuǎn)得不到回文數(shù)的正整數(shù)被稱為“利克瑞爾數(shù)”(Lychrel number),196可能是最小的利克瑞爾數(shù),因而受到了特別的關(guān)注。說起這個名字,它的來歷也蠻有趣,是發(fā)明者 Landingham姓氏的第一個字母L與他當(dāng)時的女友Cheryl字母的組合拼貼。

    不難看出,假如196或其他數(shù)是利克瑞爾數(shù),那么它后面的那些和數(shù)都是。也就是說,只要有一個利克瑞爾數(shù),就有無窮多個利克瑞爾數(shù)。另外,還有一個關(guān)于“回文數(shù)”計算步數(shù)的世界紀(jì)錄。它是一個19位數(shù)字1,186,060,307,891,929,990,算出它的“回文數(shù)”用了261步,這是在2005年11月30日找到的。

    無厘頭的冰雹傾瀉

    自然數(shù)里包含著無窮無盡的奧秘。將近一個世紀(jì)以前,美國出生的英國數(shù)學(xué)家莫德爾在一篇隨筆中這樣寫道:

    數(shù)論是無與倫比的,因為整數(shù)和各式各樣的結(jié)論,因為美麗和論證的豐富性。數(shù)論看起來包含了數(shù)學(xué)的大部分羅曼史。如同高斯給索菲·熱爾曼的信中所寫的,“這類純粹的研究只對那些有勇氣探究她的人才會展現(xiàn)最魅人的魔力”。

    或許有一天,全世界的黃金和鉆石會被挖掘殆盡,可是數(shù)論,卻是取之不竭的珍寶。前文我們給出了回文數(shù)的性質(zhì)以及利克瑞爾數(shù)存在的可能性,下面我們要討論的角谷猜想也有類似情況,是否存在一個回不到1的反例呢? 事情得從一則新聞報道說起。

    1976年的一天,《華盛頓郵報》頭版頭條報道了一條新聞。此報道講述的是一則與數(shù)學(xué)有關(guān)的故事:

    20世紀(jì)70年代中期,美國諸多名牌大學(xué)校園內(nèi),人們都像發(fā)瘋一般,夜以繼日,廢寢忘食地玩弄一種數(shù)學(xué)游戲。這個游戲十分簡單:任意寫出一個自然數(shù)n,按照以下的規(guī)律進(jìn)行變換,如果是個奇數(shù),則下一步變成3n+1;如果是個偶數(shù),則下一步變成n/2(見左圖)。

    不單單是學(xué)生,甚至連教授、實驗員都紛紛加入,無論是數(shù)學(xué)還是非數(shù)學(xué)專業(yè)。為什么這種游戲的魅力如此引人入勝? 因為人們發(fā)現(xiàn),無論n是怎樣一個數(shù)字,最終都無法逃脫回到谷底1。準(zhǔn)確地說,是無法逃出落入底部的4-2-1循環(huán),永遠(yuǎn)也逃不出這樣的宿命。

    這就是著名的“冰雹猜想”。它的最大魅力在于不可預(yù)知性。那時仍在劍橋大學(xué)執(zhí)教的康威也對這個問題著了迷,他找到了一個自然數(shù)27。雖然27貌不驚人,但如果按照上述方法進(jìn)行運算,則它的上浮下沉異常劇烈:首先,27要經(jīng)過77步驟的變換到達(dá)頂峰值9232,然后又經(jīng)過34步驟到達(dá)谷底值1。

    全部的變換過程(稱作“雹程”)需要111步,其峰值9232是原有數(shù)字27的342倍多,如果以瀑布般的直線下落(2的n次方)來比較,則具有同樣雹程的數(shù)字n要達(dá)到2的13次方。而在1到100的范圍內(nèi),27以及27的2倍54的波動是最為劇烈的。

    這個“冰雹問題”便是著名的3x+1問題。1937年,德國數(shù)學(xué)家柯拉茨考慮了下列數(shù)論函數(shù)f(x)=x/2,若x是偶數(shù),f(x)=(3x+1)/2,若x是奇數(shù)??吕澆孪耄瑢θ我庹麛?shù)x,經(jīng)過有限次迭代運算后,f(x)均歸于1,而迭代的次數(shù)被稱為x的停擺時間(stopping time)。這被稱為柯拉茲猜想。

    不過,也還有其他命名法,比如烏拉姆猜想、敘拉古問題,等等。大概因為在世界各地,許多人都提出過這個問題。在中國,它常常被稱為角谷猜想,這是因為日本出生的美國數(shù)學(xué)家角谷靜夫也曾提出這一猜想。角谷以提出并證明分析學(xué)中的角谷不動點定理(1941)聞名數(shù)學(xué)界,此定理后來被約翰·納什用來證明“納什均衡定理”,至今仍在經(jīng)濟學(xué)和博弈論中有著廣泛應(yīng)用。

    值得一提的是,角谷靜夫的女兒美智子是一位新聞記者,也是一位文學(xué)評論家,獲得過普利策獎(1998)。美智子如今是《紐約時報》的首席書評家,她曾多次就閱讀問題提問時任美國總統(tǒng)巴拉克·奧巴馬,包括對中國科幻小說《三體》的看法,并邀請他開出給女兒的書單。前者曾引爆美國讀者對《三體》的熱情關(guān)注,后者是總統(tǒng)卸任前最后一次接受《紐約時報》采訪。

    角谷猜想的推廣

    雖然有人驗算了x不超過2的50次方的3倍猜想均成立,但至今仍無人能夠證明或否定它。匈牙利數(shù)學(xué)家愛多士甚至認(rèn)為,用現(xiàn)有的數(shù)學(xué)方法無法完全證明角谷猜想。即便考慮類似qx+1問題(q為大于3的奇數(shù))或3x-1問題這樣的推廣,也被認(rèn)為沒有可能性。換句話說,猜想的自然推廣并不存在。做出此斷言的,正是那位發(fā)現(xiàn)x=27處有冰雹現(xiàn)象的康威。

    近年來,作者在與浙西南淳安縣山區(qū)中學(xué)老師徐勝利的通信中,作了一些新的探索和嘗試。我們首先注意到,當(dāng)x是奇數(shù)時,3x+1必是偶數(shù),下一步應(yīng)是(3x+1)/2。因此,我們可以把問題轉(zhuǎn)化為下列等價的數(shù)論函數(shù):g(x)=x/2,若x是偶數(shù),g(x)=[3x/2]+1,若x是奇數(shù)。

    這里[x]是不超過x的最大整數(shù),或曰x的整數(shù)部分(也有人稱它為高斯函數(shù)),此處x可取任意實數(shù),例如[2.718]=2,[-3.14]=-4。不難驗證,函數(shù)f(x)與g(x)是等價的。

    有了上述等價定義以后,我們便可將角谷猜想予以推廣。事實上,可以把g(x)公式右邊方括號里的3x/2改成4x/3、5x/4,等等,結(jié)論依然成立。

    對于原汁原味的3x+1問題,也有以下推廣,這是中國駐柬埔寨某國際組織的數(shù)學(xué)愛好者沈利興在閱讀拙作《數(shù)之書》后的想法,他利用計算機做了驗證,然后發(fā)給了我。設(shè)k是任意非負(fù)整數(shù),用3+3k替代原來的3x+1。當(dāng)k=0時,便是原來的3x+1問題。沈利興猜測:設(shè)k為非負(fù)整數(shù),對于任意正整數(shù)x,經(jīng)過有限次迭代運算后,必均歸于3k。特別地,當(dāng)k=0時,此即3x+1問題。

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