康威與平面幾何

蔣 迅

英國數(shù)學(xué)家約翰·康威于2020年4月11日因新冠肺炎并發(fā)癥在美國新不倫瑞克市(普林斯頓附近)的老人療養(yǎng)院去世，終年82歲．康威的去世震驚了整個數(shù)學(xué)界．他在數(shù)學(xué)上的成就是全面性的．他的研究領(lǐng)域包括有限群、趣味數(shù)學(xué)、紐結(jié)理論、數(shù)論、代數(shù)、分析、算法組合博弈論、編碼學(xué)和理論物理學(xué)等范疇．我們在本文中介紹他在平面幾何方面的一些工作，以此紀(jì)念這位偉大的數(shù)學(xué)家．

1 康威圓定理

大數(shù)學(xué)家康威最引以為豪的是他的生命游戲．其實康威引以為豪的還有很多，其中就包括一個平面幾何定理“康威圓”(Conway’s Circle)定理．有一次俄羅斯裔猶太數(shù)學(xué)家譚雅·科瓦諾娃(Tanya Khovanova)看到他穿了一件印有這個康威圓定理的圖案，堅持讓他把身子轉(zhuǎn)過去背對著她，可憐的康威先生就一直這樣站著，直到她想出了證明．

如上圖，假定我們有一個三角形ABC．三個邊的邊長為a=|BC|,b=|AC|，和c=|AB|．從C向A做延長線并在延長線上取點Ab使得|AAb|=a，以此類推得點Ac,Bc,Ba,Ca和Cb．那么這個定理說：這六個點共圓．康威圓的半徑為：

它的圓心就是內(nèi)切圓的圓心．如果我們記r為內(nèi)切圓的半徑，s為三角形ABC的半周長，那么R還有一個用r和s表達(dá)的更簡潔的公式．

康威圓始于康威發(fā)起的一個幾何社交群．他在那個群里發(fā)布了這個問題．后來人們就把它稱為了康威圓．他在與網(wǎng)友們討論時還指出，當(dāng)延伸的距離分別為a+x，b+x和c+x時結(jié)論仍然成立，其中x是使得a+x，b+x和c+x都大于零的任意實數(shù)．

2 康威與平面幾何

三角形非周期平鋪/維基百科

三尖瓣線內(nèi)部區(qū)域/維基百科

康威與美國數(shù)學(xué)家彼得·道爾(Peter Doyle)給出了莫雷角三分線定理的初等證明．莫雷角三分線定理是說，對一個任意的三角形，其三個內(nèi)角作角三分線，靠近公共邊三分線的三個交點，是一個等邊三角形．康威的證明在他寫的著名文章“數(shù)學(xué)的力量”(The Power of Mathematics)中．

莫雷角三分線定理/康威

讀者一定會聯(lián)想到，一個任意三角形的三個內(nèi)角角平分線相交于一個點．這個點就是內(nèi)切圓的圓心．為了把這兩個定理敘述成一個統(tǒng)一的形式，讓我們換一種敘述．

n=2和n=3時的示意圖

n=4和n=5時的示意圖/道爾和塞提

注意這個新的描述就是康威的證明思想．用這個描述，我們可以把結(jié)果推廣到任意的n=2,3,4,5,…的情形去．

約翰·康威和理查德·蓋伊(Richard K. Guy，1916—2020)在1996年的著作《數(shù)之書》(The Book of Numbers)中給出了基于三等分角的正7、9、13邊形的二刻尺作圖．康威和蓋伊都在2020年去世，令人嘆息．

康威自認(rèn)為是一個經(jīng)典幾何學(xué)家，這毫不夸張．康威對幾何的愛好始于他的高中時代．那時候他一直保存著一本筆記本，上面都是他自己有關(guān)三角形的發(fā)現(xiàn)．他甚至曾經(jīng)計劃出一本關(guān)于三角形的書，標(biāo)題可能就是“三角形”(The Triangle Book)．那會多么有趣．可惜他計劃中的合作者、一位高中數(shù)學(xué)老師斯蒂夫·西古爾(Steve Sigur)意外去世，不知這本書是否還有面世的機(jī)會？

康威在幾何上的貢獻(xiàn)還有很多，比如康威多面體表示法(Conway polyhedron notation)、密鋪數(shù)學(xué)理論的康威準(zhǔn)則(Conway criterion)等等．他還為三角形創(chuàng)造了一個詞“extraversion”．這個詞的原意是外向性或外侵性．但他在這里的意思是將一個三角形翻轉(zhuǎn)．

3 康威圓定理的證明

現(xiàn)在讓我們回到康威的六點共圓定理的證明.證明的過程對于推廣的康威圓也適用，但我們僅限于對經(jīng)典的情況這證明(即x=0)．我們只需要證明點I到這六個點的距離相等．

證明的思路是證明從點I到點Ab,Ac,Bc,Ba,Ca和Cb的距離都相等．

如上圖，取點M為Ca和Cb的中點．在三角形CCaCb中，CM是中線，并且|CCa|=|CCb|=c．所以，CM垂直于CaCb且是∠CaCbI的角平分線．

現(xiàn)在取N為Ac和Ca的中點．在三角形CaAcB中，我們有|NAc|=|NCa|且|CaB|=|CaC|+|CB|=a+c=|AcA|+|AB|=|AcB|．因此，BN是CaAc的垂直平分線，也是∠CaBAc的角平分線．因為∠CaBAc也是∠ABC，而I是內(nèi)切圓的中心，所以I在BN上．因為BN垂直平分CaAc，我們知道，|ICa|=|IAc|．類似地，|IAb|=|IBa|和|IBc|=|ICa|．

從上面兩段推理，我們得出結(jié)論，Ab,Ac,Bc,Ba,Ca和Cb六點共圓且圓心就是內(nèi)切圓的中心．