• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    康威與平面幾何

    2021-11-22 17:11:50蔣迅
    關(guān)鍵詞:康威內(nèi)切圓邊長(zhǎng)

    蔣迅

    英國(guó)數(shù)學(xué)家約翰·康威(John Conway)于2020年4月11日因新冠肺炎并發(fā)癥在美國(guó)新不倫瑞克市(普林斯頓附近)的老人療養(yǎng)院去世,終年82歲.康威的去世震驚了整個(gè)數(shù)學(xué)界.他在數(shù)學(xué)上的成就是多方面的,他的研究領(lǐng)域包括有限群、趣味數(shù)學(xué)、紐結(jié)理論、數(shù)論、代數(shù)、分析、算法組合、博弈論、編碼學(xué)以及理論物理學(xué)等范疇.本文介紹了他在平面幾何方面的一些工作,以此紀(jì)念這位偉大的數(shù)學(xué)家.

    一、康威圓定理

    “康威圓”(Conways Circle)定理是一個(gè)平面幾何定理.

    如圖 2,圓的圓心就是內(nèi)切圓的圓心.記 r 為內(nèi)切圓的半徑,s 為三角形的半周長(zhǎng),那么R還有一個(gè)用 r 和 s 表示的更簡(jiǎn)潔的公式.

    康威在一個(gè)討論幾何問題的社交群里發(fā)布了這個(gè)定理.后來人們就把它稱為了康威圓.他在與網(wǎng)友們討論時(shí)還指出,當(dāng)延伸的距離分別為 a +x , b+x和 c +x 時(shí),該結(jié)論仍然成立.其中 a +x,b +x 和 c +x 都為大于零的任意實(shí)數(shù).

    證明的思路是證明從點(diǎn)l到點(diǎn)的距離都相等.

    如圖3,

    由上述推理,我們得出結(jié)論:六點(diǎn)共圓且圓心就是內(nèi)切圓的中心.

    二、康威發(fā)現(xiàn)的與平面幾何有關(guān)的其他結(jié)論

    康威曾經(jīng)對(duì)平面幾何很入迷.康威發(fā)現(xiàn)邊長(zhǎng)為1、2和的直角三角形可以分割成五個(gè)全等的直角三角形,并且它們都與原來的三角形相似,如圖5.后來美國(guó)數(shù)學(xué)家查理·拉?。–harlie Latin)由此構(gòu)造出了第一個(gè)非周期平鋪(pinwheel tiling)的平面三角形,如圖6,而且這類三角形的方向有無窮多.后來,康威發(fā)現(xiàn),平分三角形面積的線段并不都通過三角形的重心.這似乎與人們的直覺相悖.事實(shí)上,如果用任意直線按等面積切割三角形的話,那么這些直線會(huì)形成一個(gè)像三尖瓣線(deltoid curve)內(nèi)部的幾何區(qū)域(如圖7).康威甚至計(jì)算了這個(gè)區(qū)域的面積,它等于,其中[ABC]是三角形 ABC 的面積.

    康威與美國(guó)數(shù)學(xué)家彼得·道爾(Peter Doyle)給出了莫雷角三分線定理的初等證明.莫雷角三分線定理是說,對(duì)一個(gè)任意的三角形的三個(gè)內(nèi)角作角三等分線,連接靠近公共邊的三分線的三個(gè)交點(diǎn)可構(gòu)成一個(gè)等邊三角形,如圖8.康威將自己的證明寫在他的著名文章《數(shù)學(xué)的力量》(The Power of Mathematics)中.

    我們知道,一個(gè)任意三角形的三個(gè)內(nèi)角角平分線相交于一個(gè)點(diǎn),這個(gè)點(diǎn)就是內(nèi)切圓的圓心.在二等分角的情況里,記 n =2,假定有三個(gè)角α,β,γ滿足如圖9,取α′= α+90? , β′=β+ 90?, γ′= γ+90?,再作三個(gè)三角形.它們是:以 α,β,γ′為內(nèi)角的三角形,以α,β′,γ為內(nèi)角的三角形和以α′,β,γ為內(nèi)角的三角形.則可以在適當(dāng)伸縮后使得它們拼成一個(gè)以2α,2β,2γ為內(nèi)角的三角形.

    在三等分角的情況里,記 n =3,假定有三個(gè)角α,β,γ滿足,再作七個(gè)三角形.這七個(gè)三角形如圖10所示,我們不再贅述.那么在適當(dāng)伸縮后使得它們可以拼成一個(gè)以3α,3β,3γ為內(nèi)角的三角形.這就是康威的證明思路.我們可以把該結(jié)果推廣到任意的 n =2, 3, 4,5, …的情形去.

    再來看一個(gè)奇怪的房形圖案.為了方便起見,我們就把它稱為康威小屋.

    康威小屋不是康威本人發(fā)現(xiàn)的.一開始人們考慮的是在一個(gè)單位正方形中嵌入一個(gè)最大的等邊三角形(圖11中的下半部分).顯然這個(gè)三角形必須與正方形的四條邊都相接.于是其中一個(gè)三角形的頂點(diǎn)就必須落在正方形的一個(gè)角上.在這個(gè)頂點(diǎn)上,等邊三角形的兩條邊與正方形的兩條邊的夾角是.可以算出,這個(gè)三角形的面積是.這個(gè)值正好是單位等邊三角形中最大正方形的邊長(zhǎng).這個(gè)結(jié)論看似神奇,但康威把單位等邊三角形放到正方形的上面,然后隨手畫了一個(gè)平行四邊形(如圖13、14),一下把這個(gè)問題解決了.他畫的平行四邊形就像是從閣樓上安了一個(gè)下樓的樓梯.它的面積跟等邊三角形的面積相等.

    再來介紹一個(gè)康威和俄裔美國(guó)數(shù)學(xué)家亞歷山大·索弗(Alexander Soifer, 1948-)在《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》上發(fā)表的一篇論文:“個(gè)單位等邊三角形是否可以覆蓋一條邊長(zhǎng)大于 n ,例如 n + ε 的等邊三角形?”它的正文只有幾個(gè)字“可以”(即個(gè)單位等邊三角形可以覆蓋一條邊長(zhǎng)大于 n ,例如 n + ε 的等邊三角形)和兩幅圖,如圖15、16所示.

    這個(gè)問題是索弗在訪問普林斯頓大學(xué)時(shí)提出的,當(dāng)時(shí)康威對(duì)比很感興趣.通過研究和分析,康威得到了圖15,即用個(gè)等邊三角形可以做到.隨后索弗得到了圖16,也是個(gè),但覆蓋方法卻是完全不同的.注意這里等邊三角形是一個(gè)重要的條件,否則的話可以作出個(gè)滿足要求的三角形.

    康威在幾何上的貢獻(xiàn)還有很多,比如康威多面體表示法(Conway polyhedron notation)、密鋪數(shù)學(xué)理論的康威準(zhǔn)則(Conway criterion)等.

    猜你喜歡
    康威內(nèi)切圓邊長(zhǎng)
    2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(乙卷)文科數(shù)學(xué)
    大正方形的邊長(zhǎng)是多少
    三個(gè)偽內(nèi)切圓之間的一些性質(zhì)
    與三角形的內(nèi)切圓有關(guān)的一個(gè)性質(zhì)及相關(guān)性質(zhì)和命題
    康威與平面幾何
    一種偽內(nèi)切圓切點(diǎn)的刻畫辦法
    僅與邊有關(guān)的Euler不等式的加強(qiáng)
    巧比邊長(zhǎng)與轉(zhuǎn)化思想——以人教版三年級(jí)上冊(cè)為例
    一個(gè)關(guān)于三角形邊長(zhǎng)的不等式鏈
    拼正方形
    欧美日韩亚洲国产一区二区在线观看| 亚洲精品影视一区二区三区av| 一二三四社区在线视频社区8| 久久亚洲精品不卡| 一进一出抽搐gif免费好疼| 999久久久精品免费观看国产| 欧美日韩国产亚洲二区| 直男gayav资源| 三级毛片av免费| 美女cb高潮喷水在线观看| 制服丝袜大香蕉在线| 国产一区二区激情短视频| 丰满人妻一区二区三区视频av| 久久国产乱子免费精品| 久久热精品热| 亚洲精品在线美女| 国产精品亚洲一级av第二区| 亚洲av中文字字幕乱码综合| 欧美最黄视频在线播放免费| 国内久久婷婷六月综合欲色啪| x7x7x7水蜜桃| 中文字幕精品亚洲无线码一区| 欧美成狂野欧美在线观看| 天天躁日日操中文字幕| 免费观看人在逋| 色综合站精品国产| 国产精品免费一区二区三区在线| 欧美在线黄色| 日韩欧美 国产精品| 12—13女人毛片做爰片一| 国产黄片美女视频| 亚洲va日本ⅴa欧美va伊人久久| 午夜久久久久精精品| 欧美xxxx性猛交bbbb| 一边摸一边抽搐一进一小说| 最近中文字幕高清免费大全6 | 男女那种视频在线观看| 又爽又黄无遮挡网站| 两人在一起打扑克的视频| xxxwww97欧美| 无人区码免费观看不卡| 欧美成人一区二区免费高清观看| 午夜亚洲福利在线播放| 俄罗斯特黄特色一大片| 琪琪午夜伦伦电影理论片6080| 男女床上黄色一级片免费看| 国产免费av片在线观看野外av| 男人舔奶头视频| 人人妻人人澡欧美一区二区| av在线观看视频网站免费| 国产精品久久久久久亚洲av鲁大| 亚洲精品在线观看二区| 老熟妇仑乱视频hdxx| 精品一区二区三区视频在线观看免费| 变态另类成人亚洲欧美熟女| h日本视频在线播放| 伊人久久精品亚洲午夜| 久久久久久久久久成人| 亚洲国产日韩欧美精品在线观看| 亚洲,欧美,日韩| 搡老熟女国产l中国老女人| 亚洲中文日韩欧美视频| 人人妻人人看人人澡| 给我免费播放毛片高清在线观看| 精品久久久久久久久av| 88av欧美| 波多野结衣高清无吗| 日本三级黄在线观看| 18禁黄网站禁片午夜丰满| 午夜福利在线观看吧| 中亚洲国语对白在线视频| 毛片一级片免费看久久久久 | 日韩欧美国产一区二区入口| 国产精品影院久久| 又粗又爽又猛毛片免费看| 国产爱豆传媒在线观看| 日本免费一区二区三区高清不卡| 国内精品美女久久久久久| 97碰自拍视频| 男人舔奶头视频| 亚洲专区中文字幕在线| 成年女人看的毛片在线观看| 精品国产亚洲在线| 欧美一区二区精品小视频在线| 国产一级毛片七仙女欲春2| 日韩中文字幕欧美一区二区| 亚洲av二区三区四区| 婷婷精品国产亚洲av| 日韩精品中文字幕看吧| 国产毛片a区久久久久| 国内精品一区二区在线观看| 亚洲,欧美,日韩| 网址你懂的国产日韩在线| 又紧又爽又黄一区二区| 九九在线视频观看精品| 亚洲一区二区三区色噜噜| 99久久久亚洲精品蜜臀av| 永久网站在线| 久久精品人妻少妇| 2021天堂中文幕一二区在线观| 少妇人妻一区二区三区视频| 国产不卡一卡二| 五月玫瑰六月丁香| 少妇的逼好多水| 琪琪午夜伦伦电影理论片6080| 国产精品自产拍在线观看55亚洲| av在线天堂中文字幕| 最近视频中文字幕2019在线8| 国产黄色小视频在线观看| 性插视频无遮挡在线免费观看| 天美传媒精品一区二区| 极品教师在线免费播放| 日本a在线网址| 性色av乱码一区二区三区2| 在线观看美女被高潮喷水网站 | 能在线免费观看的黄片| 三级毛片av免费| 少妇人妻精品综合一区二区 | 亚洲av美国av| 麻豆国产97在线/欧美| 最近视频中文字幕2019在线8| 国产精品久久视频播放| 亚洲五月婷婷丁香| 国产精品久久久久久人妻精品电影| 观看美女的网站| 男女视频在线观看网站免费| 欧美在线一区亚洲| 18美女黄网站色大片免费观看| 最近在线观看免费完整版| 亚洲人成电影免费在线| 两人在一起打扑克的视频| 精品久久久久久成人av| 丰满人妻熟妇乱又伦精品不卡| 国产又黄又爽又无遮挡在线| 成人美女网站在线观看视频| 免费在线观看日本一区| 小蜜桃在线观看免费完整版高清| 在线播放无遮挡| 搞女人的毛片| 免费看光身美女| 白带黄色成豆腐渣| 亚洲电影在线观看av| 亚洲精品亚洲一区二区| 久久精品国产自在天天线| 99热只有精品国产| 欧美性猛交╳xxx乱大交人| 18美女黄网站色大片免费观看| 精品熟女少妇八av免费久了| 久久久国产成人精品二区| 高潮久久久久久久久久久不卡| 看黄色毛片网站| 日韩精品中文字幕看吧| 999久久久精品免费观看国产| av天堂在线播放| www.色视频.com| a级毛片a级免费在线| 老鸭窝网址在线观看| 一级黄片播放器| 老司机福利观看| 真实男女啪啪啪动态图| 天堂av国产一区二区熟女人妻| 久久久久久久久久成人| 精品一区二区三区视频在线观看免费| 久久人人精品亚洲av| 免费av毛片视频| 黄色视频,在线免费观看| 欧美成人a在线观看| 日韩 亚洲 欧美在线| 精品99又大又爽又粗少妇毛片 | 欧洲精品卡2卡3卡4卡5卡区| 亚洲三级黄色毛片| 国产精品乱码一区二三区的特点| 亚洲中文字幕日韩| 亚洲国产精品999在线| 国产私拍福利视频在线观看| 黄色视频,在线免费观看| 亚洲欧美清纯卡通| 国产精品亚洲av一区麻豆| 午夜久久久久精精品| 91狼人影院| 99视频精品全部免费 在线| 日韩免费av在线播放| 最新中文字幕久久久久| 国产一区二区在线av高清观看| 欧美激情在线99| 男人和女人高潮做爰伦理| 内地一区二区视频在线| 高潮久久久久久久久久久不卡| 亚洲,欧美,日韩| 身体一侧抽搐| 亚洲成人中文字幕在线播放| 国产成人福利小说| 免费人成视频x8x8入口观看| 亚洲人成电影免费在线| 又爽又黄a免费视频| 老司机深夜福利视频在线观看| 亚洲电影在线观看av| 日韩免费av在线播放| 九九久久精品国产亚洲av麻豆| АⅤ资源中文在线天堂| 久久久久久久精品吃奶| x7x7x7水蜜桃| 看免费av毛片| 精品福利观看| 亚洲精品亚洲一区二区| 国产精品一区二区三区四区久久| 99久久无色码亚洲精品果冻| 在线看三级毛片| 国产在视频线在精品| 国内精品一区二区在线观看| 欧美一区二区精品小视频在线| 精品乱码久久久久久99久播| 欧美成人性av电影在线观看| 久99久视频精品免费| 日韩欧美在线二视频| 免费一级毛片在线播放高清视频| 亚洲最大成人中文| 91午夜精品亚洲一区二区三区 | 3wmmmm亚洲av在线观看| 九九热线精品视视频播放| 性色avwww在线观看| 中文字幕免费在线视频6| 在线播放无遮挡| 悠悠久久av| 久久精品国产亚洲av香蕉五月| 一级毛片久久久久久久久女| 精品熟女少妇八av免费久了| 天堂影院成人在线观看| 搞女人的毛片| 国内少妇人妻偷人精品xxx网站| 国产高清激情床上av| 深爱激情五月婷婷| 午夜激情欧美在线| 精品人妻一区二区三区麻豆 | 成人高潮视频无遮挡免费网站| 不卡一级毛片| 宅男免费午夜| 精品久久久久久久末码| 欧美3d第一页| 国产精品野战在线观看| 亚洲专区国产一区二区| 亚洲国产精品999在线| 国产一区二区亚洲精品在线观看| 久久久久九九精品影院| 国产精品久久久久久久久免 | 精品福利观看| 久久人人精品亚洲av| 精品久久国产蜜桃| 高清毛片免费观看视频网站| 成年女人毛片免费观看观看9| 啦啦啦韩国在线观看视频| 国产精品久久久久久久电影| 亚洲真实伦在线观看| 免费电影在线观看免费观看| а√天堂www在线а√下载| 精品无人区乱码1区二区| 午夜精品一区二区三区免费看| 国产白丝娇喘喷水9色精品| 欧美又色又爽又黄视频| 黄色女人牲交| 国产一区二区激情短视频| 青草久久国产| 日本在线视频免费播放| 两性午夜刺激爽爽歪歪视频在线观看| 国产免费一级a男人的天堂| 在线观看一区二区三区| 久久久精品欧美日韩精品| 久久久色成人| 男女那种视频在线观看| 欧美最新免费一区二区三区 | 91九色精品人成在线观看| 国产成人a区在线观看| av天堂中文字幕网| 深夜a级毛片| a级毛片a级免费在线| 国产欧美日韩一区二区精品| 日本三级黄在线观看| 日韩精品中文字幕看吧| 亚洲真实伦在线观看| 丰满乱子伦码专区| 99精品久久久久人妻精品| 国产高清三级在线| 看十八女毛片水多多多| 亚洲国产精品sss在线观看| 色综合站精品国产| 精品一区二区三区视频在线| 亚洲av成人精品一区久久| 麻豆成人av在线观看| 久久婷婷人人爽人人干人人爱| 久久久久久久精品吃奶| 精品99又大又爽又粗少妇毛片 | 窝窝影院91人妻| 国产精品久久久久久久电影| av欧美777| 一边摸一边抽搐一进一小说| 精品久久久久久成人av| 人妻制服诱惑在线中文字幕| 美女免费视频网站| 国产黄色小视频在线观看| xxxwww97欧美| 91狼人影院| 国产真实伦视频高清在线观看 | 国产欧美日韩一区二区三| 丝袜美腿在线中文| 国产成人啪精品午夜网站| 99久久九九国产精品国产免费| 少妇丰满av| 国产伦人伦偷精品视频| 首页视频小说图片口味搜索| 亚洲欧美日韩东京热| 国产真实伦视频高清在线观看 | 听说在线观看完整版免费高清| 三级毛片av免费| 亚洲午夜理论影院| 嫩草影视91久久| 欧美日韩中文字幕国产精品一区二区三区| 久9热在线精品视频| 夜夜躁狠狠躁天天躁| 日韩欧美 国产精品| www.999成人在线观看| 亚洲五月婷婷丁香| 中文字幕久久专区| 动漫黄色视频在线观看| 美女黄网站色视频| 十八禁人妻一区二区| av在线老鸭窝| 精品不卡国产一区二区三区| 国产伦精品一区二区三区视频9| 久久亚洲真实| 日韩欧美在线二视频| 波野结衣二区三区在线| 国产精品久久久久久精品电影| 亚洲精品影视一区二区三区av| 淫妇啪啪啪对白视频| 网址你懂的国产日韩在线| 18禁黄网站禁片免费观看直播| 亚洲国产精品成人综合色| 精品人妻一区二区三区麻豆 | av国产免费在线观看| 欧美zozozo另类| 校园春色视频在线观看| 亚洲色图av天堂| 99久久精品热视频| 男女视频在线观看网站免费| 亚洲不卡免费看| 久久国产精品影院| 国产精品一及| 好男人在线观看高清免费视频| 天堂av国产一区二区熟女人妻| 亚洲精品亚洲一区二区| 美女xxoo啪啪120秒动态图 | 久久精品人妻少妇| 国产成人福利小说| 能在线免费观看的黄片| av专区在线播放| 嫩草影视91久久| 亚洲av第一区精品v没综合| 亚洲不卡免费看| 亚洲第一区二区三区不卡| 国产三级黄色录像| 99热这里只有是精品在线观看 | 天堂√8在线中文| 可以在线观看的亚洲视频| 91在线观看av| 丁香欧美五月| 最近最新免费中文字幕在线| 在线播放国产精品三级| 亚洲中文字幕一区二区三区有码在线看| 男女床上黄色一级片免费看| 青草久久国产| 看片在线看免费视频| 村上凉子中文字幕在线| 91久久精品国产一区二区成人| 亚洲av成人精品一区久久| 国产高清视频在线播放一区| 亚洲av电影在线进入| 免费看日本二区| 在线观看66精品国产| 黄片小视频在线播放| 简卡轻食公司| 国产精品人妻久久久久久| 97人妻精品一区二区三区麻豆| 18美女黄网站色大片免费观看| 久久久久精品国产欧美久久久| 日韩中文字幕欧美一区二区| 欧美黑人欧美精品刺激| 亚洲最大成人手机在线| 窝窝影院91人妻| 亚洲欧美日韩无卡精品| 国产精品久久久久久人妻精品电影| 国产精品久久久久久久久免 | 国产一区二区三区视频了| 国产精品爽爽va在线观看网站| 极品教师在线视频| 三级男女做爰猛烈吃奶摸视频| a级毛片a级免费在线| 欧美日韩亚洲国产一区二区在线观看| 三级男女做爰猛烈吃奶摸视频| 午夜福利欧美成人| 久久久久九九精品影院| 天堂av国产一区二区熟女人妻| 国产不卡一卡二| 毛片女人毛片| 天堂av国产一区二区熟女人妻| 男人舔女人下体高潮全视频| 18美女黄网站色大片免费观看| 亚洲三级黄色毛片| 午夜福利18| 18美女黄网站色大片免费观看| 99热精品在线国产| 97人妻精品一区二区三区麻豆| 日韩高清综合在线| 成人精品一区二区免费| 深夜a级毛片| 国产精品嫩草影院av在线观看 | 99精品久久久久人妻精品| 欧美+日韩+精品| 久久精品国产清高在天天线| x7x7x7水蜜桃| 成年版毛片免费区| 久久精品影院6| 极品教师在线视频| 日韩中文字幕欧美一区二区| 国产精品自产拍在线观看55亚洲| 色尼玛亚洲综合影院| 国内少妇人妻偷人精品xxx网站| 欧美日韩乱码在线| 成人美女网站在线观看视频| 亚洲自拍偷在线| 高清毛片免费观看视频网站| 免费av观看视频| 免费av毛片视频| 国产中年淑女户外野战色| 国产亚洲精品久久久久久毛片| 久久久久久国产a免费观看| 老司机福利观看| 国产一区二区三区视频了| 免费大片18禁| 免费电影在线观看免费观看| 两个人视频免费观看高清| 亚洲av成人精品一区久久| 人人妻人人澡欧美一区二区| 高清毛片免费观看视频网站| 熟妇人妻久久中文字幕3abv| 亚洲精品色激情综合| 国产精品久久久久久久久免 | 久久中文看片网| 99热这里只有是精品在线观看 | 国模一区二区三区四区视频| 久久久久久久久中文| 亚洲激情在线av| 免费在线观看成人毛片| 欧美区成人在线视频| 极品教师在线免费播放| 亚洲在线观看片| 男女下面进入的视频免费午夜| 亚洲欧美激情综合另类| 精品不卡国产一区二区三区| 深爱激情五月婷婷| 亚洲av成人精品一区久久| 少妇丰满av| 热99re8久久精品国产| .国产精品久久| 中文字幕熟女人妻在线| 国产在视频线在精品| 精品人妻视频免费看| 国产成人aa在线观看| 小说图片视频综合网站| 亚洲七黄色美女视频| 日日夜夜操网爽| 高清日韩中文字幕在线| 精品午夜福利视频在线观看一区| 午夜福利高清视频| 嫁个100分男人电影在线观看| 国产精品乱码一区二三区的特点| 欧美精品国产亚洲| 精品久久久久久成人av| 亚洲美女黄片视频| 久99久视频精品免费| 亚洲电影在线观看av| 午夜福利在线观看吧| 91狼人影院| 亚洲精品色激情综合| 亚洲av电影不卡..在线观看| 神马国产精品三级电影在线观看| 男插女下体视频免费在线播放| 欧美日韩瑟瑟在线播放| 国产精品一区二区三区四区久久| www.熟女人妻精品国产| 国产av在哪里看| 久99久视频精品免费| 国产精品亚洲一级av第二区| 欧美日韩乱码在线| 在线播放无遮挡| 九色成人免费人妻av| 乱码一卡2卡4卡精品| 五月伊人婷婷丁香| 免费在线观看亚洲国产| 亚洲成人久久性| 欧美成人一区二区免费高清观看| 内射极品少妇av片p| 欧美日韩中文字幕国产精品一区二区三区| 国产aⅴ精品一区二区三区波| av欧美777| 免费看日本二区| 精品人妻偷拍中文字幕| 国产亚洲av嫩草精品影院| 老熟妇乱子伦视频在线观看| 国产一区二区三区在线臀色熟女| 脱女人内裤的视频| 免费av毛片视频| 亚洲精品乱码久久久v下载方式| 精品久久久久久,| 非洲黑人性xxxx精品又粗又长| 三级国产精品欧美在线观看| 欧美xxxx黑人xx丫x性爽| 伊人久久精品亚洲午夜| 听说在线观看完整版免费高清| 免费一级毛片在线播放高清视频| 黄色女人牲交| 亚洲男人的天堂狠狠| 国产高清视频在线播放一区| 亚洲精品影视一区二区三区av| 黄色配什么色好看| 偷拍熟女少妇极品色| 看片在线看免费视频| 91麻豆精品激情在线观看国产| 校园春色视频在线观看| 亚洲成人中文字幕在线播放| 最新在线观看一区二区三区| 久久久久亚洲av毛片大全| 国产精品美女特级片免费视频播放器| 国产精品久久久久久久电影| 欧美成人一区二区免费高清观看| 网址你懂的国产日韩在线| 一级毛片久久久久久久久女| 9191精品国产免费久久| 国产一区二区亚洲精品在线观看| 国产探花在线观看一区二区| www.999成人在线观看| 国产精品一区二区免费欧美| 国产私拍福利视频在线观看| 国产精品乱码一区二三区的特点| 丰满乱子伦码专区| 国产精品电影一区二区三区| 亚洲av成人av| 成人一区二区视频在线观看| 久久精品国产清高在天天线| 亚洲美女搞黄在线观看 | 欧美性猛交黑人性爽| 如何舔出高潮| 国产男靠女视频免费网站| 精品人妻熟女av久视频| 国产午夜福利久久久久久| 99riav亚洲国产免费| 成人特级黄色片久久久久久久| www.www免费av| 中文亚洲av片在线观看爽| 国产精品久久视频播放| 伦理电影大哥的女人| 一区二区三区四区激情视频 | 国内精品一区二区在线观看| 一个人免费在线观看电影| 男女那种视频在线观看| 男女下面进入的视频免费午夜| 亚洲avbb在线观看| 午夜a级毛片| 蜜桃久久精品国产亚洲av| 在线观看一区二区三区| 欧洲精品卡2卡3卡4卡5卡区| 国产免费av片在线观看野外av| 直男gayav资源| 国产欧美日韩一区二区三| 一本精品99久久精品77| 亚洲自偷自拍三级| 免费人成在线观看视频色| 99在线人妻在线中文字幕| 亚洲中文日韩欧美视频| 欧美性感艳星| 欧美激情国产日韩精品一区| 国产高清有码在线观看视频| 天天一区二区日本电影三级| 亚洲av熟女| 变态另类成人亚洲欧美熟女| 亚洲精华国产精华精| 女同久久另类99精品国产91| 一本久久中文字幕| 成年女人看的毛片在线观看| 精品人妻熟女av久视频| 亚洲av成人不卡在线观看播放网| 国产中年淑女户外野战色| 日韩欧美国产一区二区入口| 日本黄色片子视频| 中文字幕人成人乱码亚洲影| 日韩欧美在线二视频| 宅男免费午夜| 99热精品在线国产| 九九热线精品视视频播放| 韩国av一区二区三区四区| 日韩欧美免费精品| 在线十欧美十亚洲十日本专区| 天天躁日日操中文字幕| 国产亚洲精品久久久久久毛片| 男人和女人高潮做爰伦理| 国产乱人视频| 亚洲欧美精品综合久久99| 亚洲美女视频黄频| 久久人妻av系列| 长腿黑丝高跟| a级一级毛片免费在线观看| 极品教师在线免费播放| 少妇高潮的动态图| 日本一二三区视频观看| 12—13女人毛片做爰片一| 免费在线观看亚洲国产|