提升數(shù)學(xué)讀題能力的幾個(gè)途徑

趙士元

(蘇州市吳中區(qū)教學(xué)與教育科學(xué)研究室 215100)

我們經(jīng)常會(huì)聽(tīng)到老師們的抱怨：明明講課時(shí)學(xué)生都聽(tīng)懂了，可學(xué)生做練習(xí)時(shí)常常會(huì)出錯(cuò).從平時(shí)的課堂觀察和學(xué)情分析來(lái)看，這種現(xiàn)象的確并非個(gè)案，或許每一個(gè)數(shù)學(xué)教師都曾有過(guò)這樣的經(jīng)歷，也為此想了很多法子，有些教師經(jīng)過(guò)思考形成了行之有效的解決之道，而有些教師卻一直在尋求答案的路上苦苦探索．作者認(rèn)為產(chǎn)生這種現(xiàn)象是正常的，從客觀來(lái)看，數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目的并非教會(huì)學(xué)生一個(gè)公式、一條公理、一套解法，而是以數(shù)學(xué)教材為載體，通過(guò)數(shù)學(xué)課堂讓學(xué)生學(xué)會(huì)一種思考——會(huì)用數(shù)學(xué)的方法思考問(wèn)題，因此數(shù)學(xué)教學(xué)不能滿足于學(xué)生聽(tīng)懂；從主觀來(lái)看，許多教師出于“功利主義”的目的，課堂上往往采用大容量、高密度的教學(xué)方式，剝奪了學(xué)生正常思考的權(quán)利，特別是在數(shù)學(xué)問(wèn)題的審題方面，許多教師舍不得花足夠的時(shí)間讓學(xué)生仔細(xì)讀題、用心反思，造成了學(xué)生的學(xué)習(xí)機(jī)械死板．如何有效克服這種現(xiàn)象？本文試圖以讀題為話題，談?wù)勅绾翁嵘龑W(xué)生數(shù)學(xué)審題能力，如何通過(guò)反思，強(qiáng)化學(xué)生的嚴(yán)密思維，從而提升數(shù)學(xué)教學(xué)效率.

1 讓學(xué)生在品味中提升讀題能力

我們知道：求函數(shù)的切線方程有兩種基本類型：一是已知切點(diǎn)(x0,f(x0))，這時(shí)可先求出切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)(即切線斜率)，再直接代入切線方程y-f(x0)=f′(x0)(x-x0)，這時(shí)求出的切線通常只有一條；另一種類型是沒(méi)有明確切點(diǎn)是哪一點(diǎn)，這時(shí)通常設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0)，再寫(xiě)出切線方程y-f(x0)=f′(x0)(x-x0)，再利用切線方程的某些已知特征代入方程求出待定參數(shù)x0．

當(dāng)學(xué)生明確切線求法時(shí)，再讓學(xué)生思考“存在兩條”的含義其實(shí)就是“求出滿足條件的切線有兩條”，也就是說(shuō)求出的x0有兩個(gè)，這隱隱約約讓我們感覺(jué)到這很可能與方程的根的個(gè)數(shù)問(wèn)題有關(guān)，這是一個(gè)什么樣的方程呢？閱讀題目的題干，這兩條切線的斜率均是a，因此這個(gè)方程實(shí)際上就是f′(x)=a．是否如此？試試再說(shuō).

設(shè)這兩個(gè)切點(diǎn)分別為

其中x1,x2是方程ax2-ax+1=0的兩個(gè)不同正根且x1

因?yàn)閤1,x2是方程ax2-ax+1=0的兩根，

所以ax2-ax+1=a(x-x1)(x-x2)，

于是當(dāng)x∈(x1,x2)時(shí)，

由此可知，a>4即是我們要求的取值范圍．

感悟之一學(xué)生的數(shù)學(xué)審題能力是在不斷的訓(xùn)練中逐漸提升的，而在審題過(guò)程中吃透并領(lǐng)會(huì)題中信息，在逐字逐句的品味中培養(yǎng)學(xué)生的題感，不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)讀題能力.

2 讓學(xué)生在細(xì)微處提升讀題能力

在上述案例的第(2)小題時(shí)中，有部分學(xué)生對(duì)條件“{x|f(x)≤0}?(0,1)”不能很好地理解而無(wú)法找到合適的思路，甚至無(wú)從下手．事實(shí)上，這一條件用數(shù)學(xué)語(yǔ)言理解即為“不等式f(x)≤0的解集是區(qū)間(0,1)的子集”，于是可以將問(wèn)題分解兩個(gè)小問(wèn)題加以研究：

(i)求不等式f(x)≤0的解集A；(ii)若A?(0,1)，求a的取值范圍．

反思之二當(dāng)證明出函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減且f(1)=1時(shí)，我們可以斷定對(duì)任意的x∈(0,1)均有f(x)>0，此時(shí)很有可能直接舍去“a<0”這一情況，事實(shí)上“對(duì)任意的x∈(0,1)均有f(x)>0”仍有兩種基本情況，如果f(x)≤0的解集是空集，那么結(jié)論仍然成立，此時(shí)應(yīng)保留“a<0”的情況(如圖1)，若f(x)≤0的解集不是空集，則就應(yīng)舍去“a<0”的情況(如圖2)，為說(shuō)明f(x)≤0的解集不是空集，我們采取選擇特殊值的方法(也就是求出f(x)≤0的某一個(gè)解)，這一點(diǎn)往往會(huì)被我們的解題者所忽視，而取特殊值也是數(shù)學(xué)證明的基本策略．

圖1

圖2

綜上所述：所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為a>0．

反思之四從上述反思可以看到{x|f(x)≤0}?(0,1)的含義是“不等式f(x)≤0的解集是(0,1)的子集”，用直觀語(yǔ)言來(lái)理解就是滿足不等式f(x)≤0的任意一個(gè)x都在區(qū)間(0,1)內(nèi)，這句話是否可以用“不在區(qū)間(0,1)內(nèi)的任意一個(gè)x都不滿足f(x)≤0”這句話來(lái)理解呢？事實(shí)上，這兩者是等價(jià)的，又考慮到函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，于是問(wèn)題可等價(jià)轉(zhuǎn)化為“對(duì)任意x∈[1,+∞)，都有f(x)>0”，于是我們又產(chǎn)生了如下想法：

{x|f(x)≤0}?(0,1)等價(jià)于“對(duì)任意x∈[1,+∞)，都有f(x)>0”,

若x=1，則f(x)=1成立；

綜上所述：所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為a>0．

感悟之二一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題往往是若干個(gè)小問(wèn)題的綜合，在教學(xué)過(guò)程中教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)“解剖麻雀”，將一個(gè)綜合問(wèn)題分解為若干個(gè)小問(wèn)題，而后逐個(gè)擊破.這是解決數(shù)學(xué)綜合問(wèn)題常常采用的方式策略，也是數(shù)學(xué)題意理解的基本組成部份.

感悟之三許多同學(xué)把精力集中在不等式f(x)≤0求解上，如果我們的思路只局限于這一點(diǎn)，那么解題就顯得力不從心了．此時(shí)，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生逐步理解題干條件中所隱含的豐富信息，引導(dǎo)學(xué)生多讀題、多思考，不必?fù)?dān)心思考和讀題的時(shí)間影響解決問(wèn)題的進(jìn)程.當(dāng)學(xué)生習(xí)慣了這種思考和讀題后，他的數(shù)學(xué)理解能力和思考能力會(huì)得到不斷提升，有利于增強(qiáng)他們的問(wèn)題意識(shí)、提高其解決問(wèn)題的能力，這就是“磨刀不誤砍柴功”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的體現(xiàn)．

3 讓學(xué)生在思辯中提升讀題能力

從閱讀量來(lái)看，該題共有230多字的閱讀量，比較適合高二學(xué)生，但是題中數(shù)字較多，而且題中“當(dāng)且僅當(dāng)”的數(shù)學(xué)語(yǔ)言讓部份學(xué)生“犯難”，學(xué)生要么對(duì)“當(dāng)且僅當(dāng)”這樣的數(shù)學(xué)語(yǔ)言理解不清，不會(huì)用生活化的語(yǔ)言來(lái)理解，要么無(wú)法將此問(wèn)題與數(shù)列的最大最小項(xiàng)問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，因此出現(xiàn)了許多本不應(yīng)該出現(xiàn)的錯(cuò)誤．

感悟之四本案例初看是一個(gè)函數(shù)最值問(wèn)題，但由于函數(shù)定義域是正整數(shù)集，于是把函數(shù)最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)列最值問(wèn)題，通過(guò)轉(zhuǎn)換“視角”在“山重水復(fù)疑無(wú)路”的情況下達(dá)到“柳暗花明又一村”的效果.換個(gè)角度思考問(wèn)題實(shí)際上也是數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程中常常被采用的策略.

4 讓學(xué)生在比較中提升讀題能力

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，常常會(huì)出現(xiàn)一些問(wèn)題，這些問(wèn)題在教師看來(lái)似乎很易理解，但由于受生活經(jīng)歷和理解能力所限，學(xué)生往往一時(shí)無(wú)法理解透徹，因此在學(xué)習(xí)過(guò)程中往往會(huì)“死記硬背”，這時(shí)教師會(huì)誤以為學(xué)生已聽(tīng)懂甚至學(xué)會(huì)，但學(xué)生在實(shí)際演練時(shí)又會(huì)出現(xiàn)這樣那樣的錯(cuò)誤，其根本原因是教師在教學(xué)過(guò)程中不善于用通俗易懂的方法幫助學(xué)生理解從而導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)只停留在淺層次的學(xué)習(xí)狀態(tài)中.

案例三“不等式恒成立”、“不等式能成立”、“不等式無(wú)解”問(wèn)題常常是學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的一個(gè)難點(diǎn)，大多數(shù)學(xué)生只是生硬地記住了“不等式f(x)

有這樣一個(gè)問(wèn)題：已知函數(shù)f(x)=x2-2x+3.

(1)若對(duì)?x∈[-1,4]不等式f(x)

(2)若存在x∈[-1,4]使不等式f(x)

(3)若不等式f(x)

教學(xué)時(shí)這一內(nèi)容時(shí)是這樣處理的：首先，當(dāng)自變量x在一定范圍內(nèi)取值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y在某一范圍變化，它的不同取值形成一個(gè)集合(這個(gè)集合實(shí)際上就是函數(shù)的值域)，而“f(x)

通過(guò)這一通俗化的比較，學(xué)生很容易理解“不等式f(x)a恒成立等價(jià)于f(x)的最小值大于a”.而“不等式能成立”的問(wèn)題實(shí)際上可以轉(zhuǎn)化為“不等式有解”問(wèn)題.

為了讓學(xué)生能較好地理解第(2)問(wèn),又提出了一個(gè)生活化的問(wèn)題:在我們班里存在一個(gè)學(xué)生,年紀(jì)比老師小,是否有必要逐個(gè)驗(yàn)證?如果不需要這么做,我們又該怎么處理?經(jīng)過(guò)短暫的思考,很多學(xué)生都能完美地回答出“只要我們班級(jí)里最小的學(xué)生比老師小就可以了”，隨后立即追問(wèn)：“存在x∈[-1,4]使不等式f(x)

第(3)個(gè)問(wèn)題實(shí)際上可以轉(zhuǎn)化為類似于(1)的情況,為了讓學(xué)生理解題意,讀懂題目,老師用通俗語(yǔ)言替代數(shù)學(xué)語(yǔ)言幫助學(xué)生理解,提出了如下一系列問(wèn)題:

你能用通俗的語(yǔ)言來(lái)表達(dá)“不等式f(x)

這句話的意思是否可以等價(jià)地轉(zhuǎn)換成“不等式恒成立問(wèn)題”？

事實(shí)上，“不等式f(x)

當(dāng)然，處理這類問(wèn)題時(shí)我們還可以采用“補(bǔ)集思想”，即先研究不等式f(x)

感悟之五數(shù)學(xué)語(yǔ)言往往是比較抽象的，當(dāng)學(xué)生無(wú)法理解抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言時(shí)采用通俗化的生活語(yǔ)言幫助學(xué)生理解題意，不僅有利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)也有利于在不斷的轉(zhuǎn)化過(guò)程逐步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)審題能力.特別是在數(shù)學(xué)概念教學(xué)和處理一些陌生問(wèn)題時(shí)更顯有效而且較易被學(xué)生接受.但要讓學(xué)生能比較自然地用通俗易懂的生活語(yǔ)言理解數(shù)學(xué)概念及數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而將枯燥乏味的數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)公式轉(zhuǎn)化為生動(dòng)幽默的生活語(yǔ)言，這需要教師具有較高的語(yǔ)言素養(yǎng)和語(yǔ)言運(yùn)用能力．

5 讓學(xué)生在問(wèn)題探索中提升讀題能力

在分析案例三的第(3)個(gè)小問(wèn)題時(shí)我們提到了“補(bǔ)集思想”，在案例1中我們提到了“逆向思考”，這些都是“逆向設(shè)問(wèn)”的一種，有時(shí)“逆向設(shè)問(wèn)”可以將一個(gè)陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)熟悉的問(wèn)題，教學(xué)過(guò)程中如若經(jīng)常采用這種“逆向設(shè)問(wèn)”的方式進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生的學(xué)科能力和數(shù)學(xué)閱讀能力便會(huì)在這種問(wèn)題情景下不斷提升.

感悟之六“逆向設(shè)問(wèn)”的目的與“換位聯(lián)想”類似，它們都是為了“陌生問(wèn)題熟悉化”，而“將未知轉(zhuǎn)化為已知”、“將陌生轉(zhuǎn)化為熟悉”都是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中必須掌握的轉(zhuǎn)換技巧，讓學(xué)生學(xué)會(huì)多角度思考問(wèn)題、多方位轉(zhuǎn)換問(wèn)題，學(xué)會(huì)全路徑探討問(wèn)題，最終實(shí)現(xiàn)學(xué)科素養(yǎng)和學(xué)科的提升是數(shù)學(xué)教學(xué)的目的，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力的基本手段.