HPM視角下的基本不等式教學(xué) ①

吳佐慧 葉瀚文

(柳州高級(jí)中學(xué) 545006)

1 引 言

在國(guó)內(nèi)已有的“基本不等式”教學(xué)設(shè)計(jì)中，很多是先通過(guò)幾何背景或以具體的實(shí)例引出基本不等式， 然后給出基本不等式的多種證明方法，如：比較法、分析法和綜合法等，即從不同的角度探究基本不等式的證明，如文[1-4]等.張小明老師[5]則以《幾何原本》第4卷命題13、沃利斯和阿貝爾關(guān)于等周問(wèn)題的證明為歷史素材設(shè)計(jì)單設(shè)計(jì)，并用于教學(xué).

為了更好地“借鑒數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展，再現(xiàn)歷史上的數(shù)學(xué)思想方法，采用適當(dāng)?shù)姆绞竭\(yùn)用數(shù)學(xué)史料以提升教學(xué)的有效性”，我們將“基本不等式”的有關(guān)歷史素材用于教學(xué)，給出 “基本不等式”的一節(jié)HPM課例.

為此，我們擬定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：

【知識(shí)與技能】

1. 理解基本不等式的內(nèi)容及證明.

2. 了解算數(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)、平方平均數(shù)之間的大小關(guān)系及證明方法.

【過(guò)程與方法】

1.會(huì)初步運(yùn)用基本不等式證明簡(jiǎn)單的不等式；

2.經(jīng)歷探究過(guò)程，感悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

【情感態(tài)度與價(jià)值觀】

1. 了解基本不等式背后的數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化背景，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣；

2.感受體驗(yàn)數(shù)學(xué)家探究發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家堅(jiān)持不懈的探究精神.

2 數(shù)學(xué)史素材的選取及應(yīng)用

本節(jié)課在引導(dǎo)學(xué)生探究和理解基本不等式幾何意義以及應(yīng)用的基礎(chǔ)上，我們?nèi)谌肓巳说脑?，通過(guò)重構(gòu)并整合相關(guān)的數(shù)學(xué)史素材，豐富了數(shù)學(xué)史的運(yùn)用方式，引導(dǎo)學(xué)生挖掘其他更多的中項(xiàng)以及它們之間的不等關(guān)系，讓學(xué)生對(duì)其產(chǎn)生了更加深刻的印象與認(rèn)識(shí).

2.1 古巴比倫數(shù)學(xué)泥版的“和差術(shù)”

兩個(gè)數(shù)與它們的和差之間有如下基本關(guān)系：

利用這種關(guān)系實(shí)施換元的方法稱為“和差術(shù)”.古巴比倫人在解決一些二元問(wèn)題時(shí)往往利用了“和差術(shù)”.由兩個(gè)等式相乘可得

2.2 趙爽弦圖的再探究

數(shù)學(xué)史中與基本不等式相關(guān)的內(nèi)容并不多，但是如果從數(shù)形結(jié)合的角度深入挖掘可以發(fā)現(xiàn)，與基本不等式相關(guān)的圖形有很多，例如課本教材中的引入就使用了趙爽弦圖.弦圖出自三國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家趙爽對(duì)《周髀算經(jīng)》勾股圓方圖的注解，原用于對(duì)勾股定理的證明.

但是我們發(fā)現(xiàn)這幅圖當(dāng)中所蘊(yùn)含的奧妙不止于此，利用圖形之間的面積關(guān)系我們還可以得到基本不等式.

圖1中包含4個(gè)直角三角形、一個(gè)小正方形GHEF和一個(gè)大正方形ABCD. 假設(shè)直角三角形的兩條直角邊分別為a、b，則由圖我們可以得到大正方形面積為a2+b2，4個(gè)直角三角形的面積和是2ab；小正方形的面積為(a-b)2.故不難得到a2+b2=2ab+(a-b)2.

可以直觀地看到，大正方形的面積大于4個(gè)直角三角形的面積，所以有不等式a2+b2>2ab成立.當(dāng)a2+b2=2ab時(shí)，大正方形的面積等于4個(gè)直角三角形的面積，通過(guò)幾何畫(huà)板的演示不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)G、H、E、F四點(diǎn)重合為一點(diǎn)，即直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，邊長(zhǎng)a=b時(shí)取到等號(hào). 所以有不等式a2+b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取到等號(hào). 這就是重要不等式.

圖1 趙爽弦圖

圖2 重要不等式取等號(hào)時(shí)圖形

2.3 畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的探究

公元前6世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派正式提出這兩個(gè)中項(xiàng)概念. 在《幾何原本》卷六命題8的推論中定義了幾何中項(xiàng)：“如果在一個(gè)直角三角形中，從直角點(diǎn)作一條垂直于斜邊的垂線，那么這條垂線是斜邊上兩條分得的線段的比例中項(xiàng). ”

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派哲學(xué)家阿契塔在《論音樂(lè)》中定義了三類中項(xiàng)，其中算術(shù)中項(xiàng)與幾何中項(xiàng)的定義與今天相同，他還增添了一個(gè)調(diào)和中項(xiàng)，定義為：“如果在三項(xiàng)中，第一項(xiàng)超過(guò)第二項(xiàng)的量等于第一項(xiàng)的若干部分，第二項(xiàng)超過(guò)第三項(xiàng)的量等于第三項(xiàng)的同樣部分，那么我們就得到了調(diào)和中項(xiàng). ”設(shè)第一項(xiàng)為b，第二項(xiàng)為x(調(diào)和中項(xiàng))，第三項(xiàng)為a，則有

圖3 《幾何原本》定義比例中項(xiàng)(幾何中項(xiàng))圖形

2.4 帕普斯的證明

在公元3世紀(jì)末，數(shù)學(xué)家帕普斯開(kāi)始研究其他幾類中項(xiàng)的圖形表示. 最開(kāi)始他先利用三角形的關(guān)系，找到了調(diào)和中項(xiàng)的作圖法，其中AC=a,BC=b，過(guò)B作AB的垂線DE使得B為DE中點(diǎn)，連接AD，AE，過(guò)C作AB垂線交AD于F，連接EF與AB交點(diǎn)為G，則AG為AB與AC之間的調(diào)和中項(xiàng).

圖4 帕普斯作出的第一個(gè)表示調(diào)和中項(xiàng)的圖形

圖5 帕普斯改進(jìn)后的圖形

此后他開(kāi)始思考如何在一幅圖中找到這些所有的中項(xiàng)并進(jìn)行大小比較，受到《幾何原本》中這一命題的啟發(fā)，增添了若干輔助線后，找到了這幾類中項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的線段，在其《數(shù)學(xué)匯編》卷三第2部分給出了這一圖形證明，證明了調(diào)和中項(xiàng)≤幾何中項(xiàng)≤算術(shù)中項(xiàng).

與基本不等式相關(guān)的背景材料有很多，如在《HPM:數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育》[11]中就列舉了8類素材，為本節(jié)課的設(shè)計(jì)提供了參考.基于本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，從學(xué)生的學(xué)情出發(fā)，我們查閱了相關(guān)文獻(xiàn)資料選擇上述三種證明素材放入本節(jié)課的課程設(shè)計(jì).趙爽弦圖是課本提供的引入例子，這一圖形的證明簡(jiǎn)單直觀，我們?cè)谖⒄n中利用了這一例子，方便學(xué)生的通過(guò)課前預(yù)習(xí)學(xué)習(xí)與理解重要不等式，并且初步體會(huì)圖形證明不等式的方法；和差術(shù)是這些數(shù)學(xué)史材料中，歷史出現(xiàn)時(shí)間最早的，選擇這一內(nèi)容放入可知進(jìn)行介紹是為了培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成在學(xué)習(xí)過(guò)程中追根溯源，探究本源的思想；畢達(dá)哥拉斯學(xué)派《幾何原本》中的證明與帕普斯的證明一脈相承，從一個(gè)半圓形與直角三角形出發(fā)，延伸得到四類中項(xiàng)的幾何表示，從而完成證明，這一證明過(guò)程非常精彩并且層層遞進(jìn)，這一素材放入課堂中，能讓學(xué)生親身體驗(yàn)探究證明的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識(shí)，有一定難度與挑戰(zhàn)性，同時(shí)延伸空間大，能充分激發(fā)學(xué)生的探究欲.

3 教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

本節(jié)示范課的教學(xué)過(guò)程主要包含四個(gè)環(huán)節(jié).教學(xué)流程圖如下所示：

3.1 課前準(zhǔn)備

為了在課堂上給學(xué)生足夠的時(shí)間完成對(duì)基本不等式拓展產(chǎn)生的不等式鏈進(jìn)行證明與探究，先通過(guò)微課，讓學(xué)生課前自主學(xué)習(xí)基本不等式的內(nèi)容，利用趙爽弦圖作為示范先從幾何的角度證明基本不等式，再利用代數(shù)的方法證明不等式，在課前就給學(xué)生建立兩種不同的思路證明不等式，為課堂上利用圖形證明不等式的探究做好鋪墊.

圖6 課前微課視頻1

圖7 課前微課視頻2

3.2 新知探究

正式課堂的實(shí)施過(guò)程主要分為如下兩個(gè)任務(wù)環(huán)節(jié).

任務(wù)一 探究基本不等式幾何意義

如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是AB上任一點(diǎn)，AC=a，BC=b，過(guò)點(diǎn)C作PC垂直AB于C，連接AP，PB.請(qǐng)用a，b表示出OP、PC線段.

問(wèn)題1結(jié)合圖形，你能給出OP、CP的大小關(guān)系嗎？并作出合理的解釋.

經(jīng)過(guò)2-3分鐘的探究后，大部分學(xué)生都能正確表示出兩條線段，教師讓其中一位學(xué)生回答其探究結(jié)果.學(xué)生聚焦于直角三角形APB，通過(guò)觀察圖像發(fā)現(xiàn)OP≥PC，據(jù)此得出結(jié)論：基本不等式的幾何意義為“直角三角形斜邊上的中線大于等于斜邊上的高”.教師繼續(xù)提問(wèn)：是否還有別的解釋？另一名學(xué)生聚焦于半圓，OP為半徑，CP為半弦長(zhǎng)，從而得出結(jié)論：基本不等式的幾何意義為“半徑大于等于半弦”.

圖9 微課視頻截圖1

圖10 微課視頻截圖2

完成任務(wù)一后，教師播放微課視頻，追溯了幾何中項(xiàng)與算術(shù)中項(xiàng)的來(lái)歷，還介紹了其他幾類中項(xiàng)，為課堂任務(wù)二的引出作鋪墊.

任務(wù)二 探究其他幾類中項(xiàng)大小關(guān)系

如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是AB上任一點(diǎn)，AC=a，BC=b，過(guò)點(diǎn)C作PC垂直AB于C，連接AP，PB.過(guò)C作CE垂直于OP，以O(shè)為圓心OC為半徑作圓，過(guò)O作OP的垂線交該圓于點(diǎn)F.請(qǐng)用a，b表示出圖中PE、PF線段的長(zhǎng)度.

問(wèn)題2PE、PF、OP、PC四條線段具有怎樣的大小關(guān)系？是否存在某種情況使得這四條線段長(zhǎng)度相等？這四條線段與這幾個(gè)中項(xiàng)有怎樣的聯(lián)系？

圖11 任務(wù)二圖形

拋出問(wèn)題之后，學(xué)生在課堂上迅速展開(kāi)思考與探究.由于該圖形較復(fù)雜，教師給予學(xué)生5～8分鐘的探究時(shí)間，在探究過(guò)程中巡堂發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在表示線段PE、PF過(guò)程中存在一定的障礙. 大約有7成學(xué)生能在課堂上的探究時(shí)間中順利完成表示，并且能將過(guò)程詳細(xì)寫(xiě)出. 并且探究過(guò)程中學(xué)生發(fā)現(xiàn)了這些線段恰好與教師在微課中介紹的各類中項(xiàng)一一對(duì)應(yīng)，從而得到了教師所希望學(xué)生探究得到的結(jié)果：PE≤PC≤OP≤PF，即調(diào)和中項(xiàng)≤幾何中項(xiàng)≤算術(shù)中項(xiàng)≤均方根：

學(xué)生采用的證明形式如圖所示，利用射影定理和勾股定理得到結(jié)果. 令人驚喜的是，除此之外，學(xué)生進(jìn)行自主探究過(guò)程中，還思考了反調(diào)和中項(xiàng)如何表示(圖12).在教師設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上，學(xué)生得出了五類中項(xiàng)的大小關(guān)系：

圖12 學(xué)生現(xiàn)場(chǎng)展示

本環(huán)節(jié)承接課本探究圖形，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究和挖掘其他不等關(guān)系從而得到不等式鏈，并且完成任務(wù)二的探究后，教師展示第二段微課視頻，以帕普斯證明這些中項(xiàng)的數(shù)學(xué)史為背景，讓學(xué)生體驗(yàn)了探索的過(guò)程，了解了相關(guān)證明的數(shù)學(xué)歷史，感悟數(shù)學(xué)家們探索與證明中孜孜不倦的精神.

3.3 數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)來(lái)源于生活且應(yīng)用于生活. 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》中強(qiáng)調(diào)：“結(jié)合具體實(shí)例，能用基本不等式解決簡(jiǎn)單的求最值問(wèn)題”[7]，進(jìn)一步突出了基本不等式的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值與要求，也進(jìn)一步體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)建模”核心素養(yǎng)的要求.

為了達(dá)到以上的相關(guān)要求，本節(jié)環(huán)節(jié)設(shè)置了任務(wù)三，目的就是教師引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)的知識(shí)應(yīng)用于生活實(shí)際的情景中，感受數(shù)學(xué)在我們生活中應(yīng)用的魅力. 在課堂上老師展示兩道應(yīng)用題，同時(shí)將班上學(xué)生分為兩大組，第一大組同學(xué)完成應(yīng)用題1，第二大組同學(xué)完成應(yīng)用題2，然后每組選代表進(jìn)行結(jié)果展示.

問(wèn)題1某人中秋節(jié)到超市買2斤糖果，不巧超市的電子秤壞了，但超市還有一個(gè)不等臂的壞天平，左臂長(zhǎng)為l1，右臂長(zhǎng)為l2(l1≠l2)于是售貨員先把糖果放在天平的左側(cè)稱出重量為1斤，再拿出一些糖果放在天平的右側(cè)稱出重量為1斤，然后把兩次得到的糖果放在一起看做2斤售出，這樣的做法商家賺了還是虧了？

問(wèn)題2甲乙兩位采購(gòu)員同去一家糧食銷售公司買了兩次糧食，兩次糧食的價(jià)格第一次為a元/千克，第二次為b元/千克，兩位采購(gòu)員的購(gòu)糧方式也不同.其中，甲每次購(gòu)買1000千克，乙每次購(gòu)糧用去1000元，問(wèn)誰(shuí)的購(gòu)買方式更合算？

兩道題目難度都較為適中，學(xué)生基本上都能在老師所給的思考時(shí)間內(nèi)完成.教師在課堂上也邀請(qǐng)了兩位學(xué)生進(jìn)行了詳細(xì)的解答與展示. 兩道應(yīng)用題都與基本不等式有關(guān).例1是直接應(yīng)用基本不等式比較大小.學(xué)生完成建模后得到x與y的關(guān)系利用基本不等式可以直接算出最小值.例2是利用調(diào)和平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)的大小關(guān)系比較單價(jià)大小.兩道題目都是不等式在生活中的應(yīng)用例子，并且情景貼近生活，解題過(guò)程還體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的思想，能幫助學(xué)生感受數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性，體會(huì)數(shù)學(xué)的魅力.

本節(jié)課結(jié)束前，教師布置了以下課后思考題：如圖所示，等腰梯形也能作為基本不等式以及各個(gè)中項(xiàng)之間大小關(guān)系的證明圖形.請(qǐng)大家課后思考探究，如何在等腰梯形中找到這些中項(xiàng)呢？

圖13 課后思考圖形

3.4 課堂小結(jié)與反饋

本節(jié)課的課堂小結(jié)環(huán)節(jié)，教師設(shè)置了三個(gè)問(wèn)題：

(1)本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容？

(2)我們可以從哪些角度證明基本不等式？

(3)通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你從數(shù)學(xué)家們探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中得到了什么啟發(fā)？

學(xué)生通過(guò)小結(jié)與提升，感悟到了基本不等式圖形證明過(guò)程中的樂(lè)趣，并且感受到數(shù)形結(jié)合的魅力，數(shù)學(xué)家探究過(guò)程中孜孜不倦的精神也對(duì)學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有所啟發(fā)與觸動(dòng).

課后對(duì)全班60名學(xué)生問(wèn)卷調(diào)查的結(jié)果顯示：57人(占95%)喜歡老師在課堂中融入數(shù)學(xué)史的方式，55人(占90%)希望以后多了解與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的數(shù)學(xué)史，53人(占90%)認(rèn)為通過(guò)數(shù)學(xué)家帕普斯等背景介紹，自己以后在學(xué)習(xí)中也要有那種不畏艱難、勇于探究的科研精神.

4 教學(xué)反思

本節(jié)課將有關(guān)數(shù)學(xué)史料融入探究活動(dòng)的設(shè)計(jì)之中，并通過(guò)數(shù)學(xué)史微視頻，輔助探究活動(dòng)的開(kāi)展，是HPM視角下均值不等式教學(xué)的一次大膽嘗試，呈現(xiàn)了以下特點(diǎn).

(1)從基本不等式到均值不等式鏈，構(gòu)建了“知識(shí)之諧”，彰顯了“方法之美”，營(yíng)造了“探究之樂(lè)”.

本課例從學(xué)生們已有的認(rèn)知出發(fā)，先通過(guò)課前微視頻從趙爽弦圖及代數(shù)證明的方式得到基本不等式，接著古巴比倫數(shù)學(xué)泥版的“和差術(shù)”和畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的探究再次得到了基本不等式，并得到了調(diào)和中項(xiàng)，最后通過(guò)數(shù)學(xué)家帕普斯探究中項(xiàng)的微視頻得到了不等式鏈，讓學(xué)生明白基本不等式鏈?zhǔn)墙?jīng)過(guò)數(shù)學(xué)家們不斷地探究，逐步地發(fā)展而來(lái)的，即重構(gòu)式，并讓學(xué)生們體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)的起源與發(fā)展，構(gòu)建了“知識(shí)之諧”，同時(shí)也營(yíng)造了“探究之樂(lè)”.多種方法對(duì)基本不等式的證明則彰顯了“方法之美”.

(2)從代數(shù)到幾何，實(shí)現(xiàn)了“能力之助”.

課例先從古巴比倫數(shù)學(xué)泥版的“和差術(shù)”以及代數(shù)證明均“從一些事實(shí)和命題出發(fā)” ，“在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上”[7]，依據(jù)規(guī)則推導(dǎo)出了基本不等式.這樣的設(shè)計(jì)利于培養(yǎng)與提高學(xué)生“邏輯推理”、“數(shù)學(xué)運(yùn)算”的核心素養(yǎng).接著畢達(dá)哥拉斯學(xué)派以及數(shù)學(xué)家帕普斯的探究等借助幾何圖形建立起了數(shù)與形、式與形的聯(lián)系，這就培養(yǎng)了學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)[7].最后通過(guò)日常生活中的兩個(gè)具體的例子，引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)際情景中“對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)的方法構(gòu)建模型”解決實(shí)際問(wèn)題.這些在核心素養(yǎng)視域下的教學(xué)設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)了“能力之助”.

(3)從現(xiàn)實(shí)到歷史，展示了“文化之魅”，達(dá)成了“德育之效”.

課例中相關(guān)歷史材料的介紹，讓學(xué)生們了解并感悟了基本不等式的知識(shí)源流；兩個(gè)具體的實(shí)例讓學(xué)生驚嘆基本不等式的應(yīng)用價(jià)值，且真切地感受到數(shù)學(xué)與日常生活之間的聯(lián)系以及數(shù)學(xué)的社會(huì)角色；同時(shí)學(xué)生通過(guò)本課例了解到古巴比倫(數(shù)學(xué)泥版)、古代中國(guó)(趙爽)、畢達(dá)哥拉斯學(xué)派以及歐洲數(shù)學(xué)家(帕普斯)等不同文化的數(shù)學(xué)和不同國(guó)家的數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)，展示了數(shù)學(xué)文化的多元性.

同時(shí)，本課例以“基本不等式”為例，在展示其豐富的數(shù)學(xué)歷史背景的同時(shí)，將數(shù)學(xué)家的探索過(guò)程融入其中，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中能體會(huì)、感悟與欣賞.從現(xiàn)實(shí)到歷史，讓學(xué)生穿越時(shí)空，與數(shù)學(xué)家對(duì)話，走進(jìn)數(shù)學(xué)家心靈之中，樹(shù)立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心.以學(xué)生發(fā)展為本，落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)是我們高中數(shù)學(xué)課程的基本理念，本課例通過(guò)數(shù)學(xué)史的滲透，展示了數(shù)學(xué)家們探究數(shù)學(xué)孜孜不倦的精神，潛移默化的影響了學(xué)生，達(dá)成了“德育之效”.