情景引入，過程探究，習(xí)題強(qiáng)化，綜合提升

管培祥

[摘? 要] 線面垂直是一種線面相交的特殊情形，在教學(xué)“直線與平面垂直的判定”內(nèi)容時需要關(guān)注學(xué)生的知識提升和方法培養(yǎng)，在掌握知識核心的同時獲得能力的提升，文章基于本章節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)開展教學(xué)分析，提出相應(yīng)的建議.

[關(guān)鍵詞] 垂直;定理;情景;過程;習(xí)題

“直線與平面垂直的判定”是立體幾何部分重要的教學(xué)內(nèi)容，該章節(jié)內(nèi)容是研究線面垂直、線面角、二面角、點(diǎn)到平面距離的基礎(chǔ).作為立體幾何點(diǎn)、線、面位置關(guān)系研究的核心內(nèi)容，新課改明確提出需要將“過程與方法”確立為課堂教學(xué)的重要目標(biāo)，即教學(xué)中需要重視知識的探究過程，引導(dǎo)學(xué)生掌握相應(yīng)的學(xué)習(xí)方法，下面基于上述教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行教學(xué)思考.

創(chuàng)設(shè)問題情景，完成定義構(gòu)建

課堂引入是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，在該環(huán)節(jié)中不僅需要激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還需要銜接教材內(nèi)容來幫助學(xué)生順利完成知識過渡，同時明確教學(xué)中心，為后續(xù)的課堂探究打下基礎(chǔ). 綜合考慮采用情景創(chuàng)設(shè)、問題引導(dǎo)的方式最為有效.

在創(chuàng)設(shè)問題情景時需要注意三點(diǎn)：一是注意聯(lián)系實(shí)際，從生活實(shí)際中提煉問題模型，利用趣味性的問題來引導(dǎo)學(xué)生思考;二是注意聯(lián)系舊知，促進(jìn)新舊知識的過渡融合，通過階梯遞進(jìn)的方式來促進(jìn)學(xué)生的知識提升;三是情景設(shè)計必須圍繞課堂教學(xué)重點(diǎn)，問題設(shè)計中心明確.基于上述分析可以在教學(xué)的引入階段設(shè)計三個環(huán)節(jié)：聯(lián)系生活→情景展示→定義總結(jié).

1. 聯(lián)系生活，問題思考

教學(xué)中讓學(xué)生回顧思考直線與平面存在哪幾種位置關(guān)系，然后給出圖1、圖2所示的場景圖，思考旗桿與地面、書本與桌面之間的位置關(guān)系是否相同，對應(yīng)上述位置關(guān)系中的哪一種，是否可以舉出生活中的其他例子. 利用生活素材引導(dǎo)學(xué)生思考，對直線與平面的垂直關(guān)系產(chǎn)生初步的認(rèn)識.

2. 情景展示，感知認(rèn)識

直線與平面的垂直關(guān)系十分常見，在情景創(chuàng)設(shè)階段可以利用多媒體，通過播放一天中旗桿與地面影子的變化來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.教學(xué)中可以構(gòu)建圖3所示模型，引導(dǎo)學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)直線l與地面所在平面α內(nèi)經(jīng)過點(diǎn)B的直線均是垂直關(guān)系，在此基礎(chǔ)上思考直線l與平面內(nèi)不經(jīng)過點(diǎn)B的直線是否垂直，從而激發(fā)學(xué)生的思維，同時初步體驗(yàn)數(shù)學(xué)模型抽象的過程.

3. 定義總結(jié)，概念形成

通過情景教學(xué)來完成定義構(gòu)建是最終的目的，因此在第三環(huán)節(jié)需要引導(dǎo)學(xué)生思考如何來定義直線與平面的垂直，即完成感性認(rèn)識到理性認(rèn)知的過渡，在該環(huán)節(jié)中不僅需要學(xué)生掌握直線與平面垂直的語言描述，還需要學(xué)習(xí)定義的符號語言. 而在完成定義總結(jié)后還可以開展拓展探究：若用“無數(shù)條直線”替換定義中的“任意一條直線”，所得的結(jié)論是否依然成立，利用定義辨析來幫助學(xué)生深化理解定義.

情景引入定義總結(jié)的教學(xué)方式更符合學(xué)生的認(rèn)知思維，能夠充分調(diào)動學(xué)生的知識經(jīng)驗(yàn)來完成新知探究. 而從生活中提取教學(xué)素材、利用幾何模型來直觀感知可以初步培養(yǎng)學(xué)生的感知能力.教學(xué)過程中側(cè)重知識的銜接聯(lián)系，有助于學(xué)生形成“用數(shù)學(xué)方法研究現(xiàn)實(shí)問題”的經(jīng)驗(yàn).

開展過程探究，完成定理構(gòu)建

本章節(jié)的核心內(nèi)容是關(guān)于直線與平面垂直判定定理，教材中省略了定理的發(fā)現(xiàn)、猜想、證明的過程，但在實(shí)際教學(xué)中需要關(guān)注學(xué)生的思維活動，讓學(xué)生體驗(yàn)定理的探究過程，因此教學(xué)時需要采用課堂探究的教學(xué)方式，即圍繞定理設(shè)計探究活動，讓學(xué)生充分參與其中，主動思考，通過自主探究來完成定理構(gòu)建. 基于上述分析，教學(xué)中可以設(shè)置如下三個環(huán)節(jié)：問題呈現(xiàn)→動手探究→定理形成.

1. 類比猜想，呈現(xiàn)問題

線面垂直與線面平行之間有著一定的關(guān)聯(lián)，可以類比線面平行判定定理進(jìn)行教學(xué)，通過猜想、分析來發(fā)現(xiàn)定理的核心要點(diǎn). 具體教學(xué)時可以采用設(shè)問引導(dǎo)的方式，利用遞進(jìn)追問來調(diào)動學(xué)生思考，可以設(shè)置如下問題：（1）如果一條直線與一個平面內(nèi)的一條直線垂直，該直線是否與平面垂直？（2）如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條直線均垂直，該直線是否與平面垂直？（3）平面內(nèi)的兩條直線是什么關(guān)系，當(dāng)一條直線與其均垂直時該直線才與平面垂直？利用上述三個具有針對性的問題，可引導(dǎo)學(xué)生充分辨析思考，逐步向定理靠攏，呈現(xiàn)判定定理的核心問題.

2. 動手探究，分析思考

在該環(huán)節(jié)中需要設(shè)計具體的探究活動，讓學(xué)生通過參與實(shí)驗(yàn)活動來理解定理.

第一步可設(shè)計簡單的折紙演示試驗(yàn)：準(zhǔn)備圖4所示的紙板△ABC，過其頂點(diǎn)A進(jìn)行翻折，獲得折痕AD，然后將翻折后的紙板豎直放在桌面上，思考此時折痕AD與桌面是否相垂直？若設(shè)桌面為平面α，思考如何翻折才能使折痕AD與平面α相垂直.

第二步開展動手實(shí)踐活動，讓學(xué)生拿出提前準(zhǔn)備的紙板，按照圖5命名頂點(diǎn)，過點(diǎn)A作BC上的垂線，垂足為點(diǎn)D.然后以AD為折痕進(jìn)行翻折，豎立在桌面上，觀察其中的垂直關(guān)系A(chǔ)D⊥CD，AD⊥BD是否發(fā)生了變化，思考可以得出怎樣的結(jié)論？

第三步開展拓展辨析活動，給出圖6所示的模型，直線l與平面α內(nèi)的兩條相交直線m和n均垂直，且經(jīng)過兩直線的交點(diǎn)A，可知此時直線l與平面α相垂直，思考：若直線l不經(jīng)過交點(diǎn)A，是否可以得出同樣的結(jié)論？

3. 提煉定理，總結(jié)概括

基于上述三個實(shí)踐活動，學(xué)生必然對定理產(chǎn)生了一定的認(rèn)識，在該環(huán)節(jié)就需要逐步引導(dǎo)學(xué)生來對其加以概括，形成數(shù)學(xué)定理. 與定義的概括相類似，既要學(xué)生用語言來準(zhǔn)確描述，還需要能夠利用符號語言來加以表示，同時需要點(diǎn)明上述由二維向三維轉(zhuǎn)化的過程是定理生成的常用方法，其中蘊(yùn)含的是降維思想.

而完成定理概括后還需要引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)其中的關(guān)鍵詞，思考是否可將這些關(guān)鍵詞替換，學(xué)生在思考的過程中會進(jìn)行充分的思維活動，逐步由定理的表層認(rèn)識上升到對定理的深層理解，這樣的教學(xué)方式有利于學(xué)生后續(xù)應(yīng)用定理來分析問題.

采用實(shí)踐活動引導(dǎo)探究的方式可以顯著提升學(xué)生的參與度，學(xué)生經(jīng)歷活動探索來提煉定理有助于學(xué)生對定理的直觀理解. 而在該過程中學(xué)生體驗(yàn)了折紙試驗(yàn)、模型構(gòu)建以及定理歸納，其中涉及眾多的思想方法，例如模型思想、化歸思想等，這些數(shù)學(xué)思想對于學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展是極為有力的.

定理應(yīng)用深化，變式題組設(shè)計

學(xué)習(xí)定理的意義是為了解決問題，培養(yǎng)空間思維. 教學(xué)中完成定理概括后可以借助具體的問題來幫助學(xué)生深化理解，感悟定理的應(yīng)用. 同時設(shè)計適度的變式問題來拓展學(xué)生的思維，提升思維的多樣性.

在定理應(yīng)用的初始階段可以借助教材習(xí)題，通過習(xí)題的講解來幫助學(xué)生形成正確的解題策略，如給出如下問題：已知a∥b，a⊥α，試求證b⊥α. 該習(xí)題的教學(xué)需要分三步進(jìn)行：第一步——語言概括，模型構(gòu)建，即理解題目的符號語言，利用通俗語言再現(xiàn)問題，繪制相應(yīng)的圖形，如圖7所示;第二步——提煉條件，形成思路，即從問題中提煉出其中的條件特征，如直線a與b相平行，直線a垂直于平面α，然后結(jié)合線面垂直定理來逐步推理，形成具體的解題思路：a⊥α？圯a⊥ma⊥n■b⊥mb⊥n ？圯b⊥α;第三步——過程概述，問題證明，即根據(jù)上述分析思路來書寫證明過程，需注意引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確使用符號語言來表述幾何關(guān)系.

完成習(xí)題講解后可以進(jìn)一步設(shè)計變式題組，可以結(jié)合“一題多變”“一題多用”等方式來達(dá)成應(yīng)用強(qiáng)化的教學(xué)目的，而在變式教學(xué)中需注意題目設(shè)計需圍繞“直線與平面垂直的判定”內(nèi)容，如利用下述問題開展變式.

問題：如圖8所示，V-ABC為三棱錐，已知VA=VC，AB=BC，點(diǎn)K是AC的中點(diǎn)，試求證AC⊥平面VKB.

變式思路1：條件不變，問題變——試求證VB⊥AC. 原問題是求證線面垂直，求證時必然需要求證直線AC與平面內(nèi)兩條相交線均垂直，而變式問題就是其中的分問題.

變式思路2：添加條件，深入分析——設(shè)AB和BC的中點(diǎn)分別為點(diǎn)E和點(diǎn)F，試判斷EF與平面VKB的位置關(guān)系. 該變式是在原問題基礎(chǔ)上的條件添加，需要利用原題結(jié)論來進(jìn)行推理，可以提升學(xué)生利用定理解決問題的靈活性.

變式思路3：在變式2的條件下，分析能否說由于VB⊥AC，VB⊥EF，故VB⊥平面ABC. 該變式有利于學(xué)生辨析線面垂直的判定定理，深入體會定理中“相交”二字的核心意義.

三個變式環(huán)環(huán)相扣，圍繞教材定理開展核心探討，既有助于幫助學(xué)生強(qiáng)化定理，感知聯(lián)系，又利于引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識整合. 同時變式過程也是對學(xué)生思維的引導(dǎo)過程，學(xué)生的思維得到了極大的鍛煉，為后續(xù)解題能力的提升打下基礎(chǔ).

總之，高中立體幾何部分的核心內(nèi)容，在教學(xué)“直線與平面垂直的判定”時需要教師充分考慮學(xué)情，將學(xué)生已有知識經(jīng)驗(yàn)、生活經(jīng)驗(yàn)作為課堂引入的落腳點(diǎn);把握定理定義的核心內(nèi)容，采用過程探究的方式來設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié);以知識應(yīng)用為最終目標(biāo)，利用習(xí)題講解來強(qiáng)化學(xué)生對知識的理解，幫助學(xué)生系統(tǒng)思考，創(chuàng)新思維.