數(shù)學史“問題化”的教學探討

方朝玲 周瑩

【摘 要】當前教育界對有效發(fā)揮數(shù)學史教育功能的教學探討正如火如荼地開展，而對于如何在課堂中開展教育史教學仍處于嘗試階段。文章以“函數(shù)的概念”一課為例，重構函數(shù)概念的發(fā)展史，嘗試借助“六何”提問鏈將數(shù)學史融入課堂，發(fā)揮數(shù)學史的教育功能，進一步完善數(shù)學史教學，為后續(xù)的研究、改進數(shù)學教學提供借鑒。

【關鍵詞】高中數(shù)學;數(shù)學史;問題化;函數(shù)概念

隨著時代的發(fā)展，將數(shù)學史融入課堂教學、發(fā)揮數(shù)學史的教育功能已經(jīng)成為我國數(shù)學課程改革關注的焦點之一。然而在實際教學中，由于教師缺乏對數(shù)學史的認識，造成數(shù)學史的教育功能得不到有效發(fā)揮[1]。有學者認為，數(shù)學史“問題化”教學是數(shù)學“史學形態(tài)”向“教育形態(tài)”轉化的方法論創(chuàng)新，是數(shù)學文化價值向育人價值轉化的內(nèi)在價值突破，能夠促進數(shù)學課堂教學內(nèi)在規(guī)律的良性實現(xiàn)[2]。然而，教師如何實施數(shù)學史“問題化”教學？怎樣提問才能既遵循學生的認知發(fā)展規(guī)律，又保持思維的連貫性？這些問題并沒有現(xiàn)存的答案。鑒于此，本文將以人教版高中數(shù)學必修1“函數(shù)的概念”一課為例，重構函數(shù)概念發(fā)展的歷程，并結合學生的認知發(fā)展規(guī)律及思維的連貫性出發(fā)提出“六何”提問鏈——“為何、從何、是何、變何、如何、有何”[3]，以問題為載體，潛移默化地將數(shù)學史滲透到數(shù)學教學的內(nèi)容與結構之中，建構基于“問題解決”的數(shù)學教學實踐。這也許是將數(shù)學史融入課堂，實現(xiàn)數(shù)學“史學形態(tài)”向“教育形態(tài)”轉化的有效措施。

（一）課例基本背景

函數(shù)在中學階段占據(jù)舉足輕重的地位，學生深刻理解函數(shù)概念是他們后續(xù)學習的有效保障。有研究表明，高中生不能深刻理解函數(shù)概念的主要原因是，他們不理解高中為何還要重新定義函數(shù)，也較少討論初、高中函數(shù)的定義有何根本性的變化，教科書及教師課堂教學均未關注這樣的變化，最終導致大部分高中生從應試的角度認識和學習函數(shù)[4]186-191。筆者認為，基于數(shù)學知識產(chǎn)生的現(xiàn)實背景或教學需要，將數(shù)學知識與數(shù)學史結合起來，創(chuàng)設合適的教學情境，提出恰當?shù)臄?shù)學問題，是幫助學生認識數(shù)學本質的關鍵。

因此，本文選取人教版高中數(shù)學必修1“函數(shù)的概念”一課為例，通過對問題的思考與解決，以及對實例的分析、探究與歸納，抽象出函數(shù)的概念，讓學生對函數(shù)概念獲得本質認識，最終運用數(shù)學知識解決數(shù)學問題。文章旨在讓學生從實際問題中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，抽象出函數(shù)模型;幫助學生感悟從特殊到一般、數(shù)形結合等數(shù)學思想，掌握分類討論、歸納類比等數(shù)學方法，發(fā)展數(shù)學建模、數(shù)學抽象等素養(yǎng);促使學生感受數(shù)學在學科領域及生活中的價值與作用，感受數(shù)學發(fā)展之不易。

（二）教學設計過程

本文將函數(shù)概念發(fā)展史的重構與“六何”提問鏈結合起來，從學生的認知水平出發(fā)，創(chuàng)設如下問題情境：為什么高中階段要進一步學習函數(shù)？函數(shù)從何而來？高中階段如何定義函數(shù)？初、高中階段對函數(shù)的定義有何本質變化？如何學以致用？學后有何感悟或困惑？具體的教學流程如圖1所示。

1從數(shù)學與現(xiàn)實角度，感知“為什么”和“從哪里來”

問題1 請運用所學知識判斷下列各題。

（1）y=1和x=0是否是函數(shù)？為什么？

（2）y=x和y=x2x是否是同一個函數(shù)？為什么？

問題2 初中階段是如何定義函數(shù)的？你能用它來解決上面的題目嗎？

【設計意圖】問題1從“為何”出發(fā)，提出學生熟悉的、具體的數(shù)學問題并引發(fā)學生思考，進而基于學生的最近發(fā)展區(qū)提出問題2，引導他們回顧舊知識并嘗試用舊知識解決問題1。此數(shù)學情境的設計與數(shù)學知識相結合，同學生的認知起點吻合，體現(xiàn)了教學的整體性、連貫性，有助于引起學生的認知沖突，從而激發(fā)他們的求知欲、求識欲，同時也使他們從數(shù)學角度感受到重新定義函數(shù)概念的重要性、必要性與迫切性。

問題3 函數(shù)除了能解決數(shù)學問題，在現(xiàn)實生活中還有何用途？

【設計意圖】從數(shù)學知識的起源和現(xiàn)實生活中的應用入手，促進學生感知知識“從何”而來，感受函數(shù)在生活中的價值與作用，同時也為學生提供新的理解數(shù)學知識的視角——函數(shù)最早源于人們對運動軌跡的研究（見圖2、圖3、圖4），是為解決現(xiàn)實問題而誕生的。而今，函數(shù)在生活中更普遍地應用在電話收費、購票、心電圖等方面。

此問題的提出，一方面能夠促使學生了解函數(shù)產(chǎn)生和發(fā)展的背景，感悟函數(shù)的本質是刻畫運動與變化的數(shù)學模型;另一方面也能夠促使學生感受數(shù)學概念源于現(xiàn)實問題的基本思想，進一步了解學習函數(shù)的必要性。

問題4（核心問題） 隨著函數(shù)的發(fā)展，數(shù)學家發(fā)現(xiàn)早前（初中）定義的函數(shù)已無法解決更復雜的數(shù)學問題，而現(xiàn)實生活中的許多現(xiàn)象又與函數(shù)息息相關，因此他們產(chǎn)生了重新定義函數(shù)概念的想法。那么，新的函數(shù)概念怎樣定義？它與初中函數(shù)概念的定義有何本質區(qū)別？如何用它來解決新問題？

【設計意圖】數(shù)學史所展現(xiàn)的知識脈絡有助于教師確定教學重點。學生在明確“為何”學習以及知識“從何”而來后，進一步從“是何”“變何”以及“如何”三個設問角度引出本節(jié)課的核心問題，幫助他們明確學習目的，增強學習使命感。

2.以實例為載體，探索“是什么”

實例1（人教版高中數(shù)學必修1 P15） 炮彈發(fā)射時射高隨時間變化情況。

問題5 變量t與變量h存在什么關系？它們之間的關系以什么形式呈現(xiàn)？

問題6 變量t與變量h之間的關系可用t表示h，那么用圖象、表格表示的“對應關系”下的兩個變量是否也能做到“用其中一個變量表示出另一個變量”？

【設計意圖】通過引導學生畫出h=130t-5t2在t∈[0，26]時的圖象，以及列舉出當t=0，1，2，3時h的值，學生能夠從形與數(shù)兩方面感受t與h之間一一對應的關系。同時教師引導他們發(fā)現(xiàn)t與h之間的對應關系是通過解析式呈現(xiàn)的，即可以用t表示h，進而通過問題6自然而然引出實例2與實例3。

實例2（人教版高中數(shù)學必修1 P15） 南極臭氧層空洞面積隨時間變化情況。

實例3（人教版高中數(shù)學必修1 P16） 恩格爾系數(shù)隨時間變化情況。

【設計意圖】教師為學生創(chuàng)設以圖象和表格呈現(xiàn)函數(shù)的情境，引導他們發(fā)現(xiàn)臭氧層空洞面積與時間、恩格爾系數(shù)與時間之間“一一對應”的關系，并且感悟以上兩種情形均無法用其中一個變量表示出另一個變量。遵循空間鄰近原則，教師在課件同一頁面共同呈現(xiàn)出實例1、實例2、實例3，引導學生發(fā)現(xiàn)三個實例的相同點與不同點，進而提出以下問題。

問題7 倘若以圖象和表格表示的“對應關系”也能用其中一個變量表示出另一個變量，那么對于以上三種情形中的兩個變量，就都找到了用其中一個變量表示出另一個變量的一般方法。這里是否存在這樣的“一般方法”？上述三種情形有何共性與特性？“對應關系”是如何產(chǎn)生的？

【設計意圖】問題7使三個實例產(chǎn)生了聯(lián)系，并能夠引導學生感知三個實例之間的聯(lián)系與區(qū)別，揭示出它們的共同點（均有兩個非空數(shù)集，并存在某種對應關系，使兩個變量在兩個非空數(shù)集中是一一對應的關系）和不同點（對應關系分別以解析式、圖象、表格呈現(xiàn)），促使學生感知“一般方法”的產(chǎn)生。在實際教學中，教師往往忘記闡述對應關系的來龍去脈，導致學生難以對所學知識進行深入思考。因此，教師追問“對應關系”的產(chǎn)生，并非希望學生能夠準確回答，而是試圖使他們深入了解函數(shù)表示方法的產(chǎn)生與發(fā)展，感知數(shù)學史在現(xiàn)實教學中的再創(chuàng)造，感悟知識的來龍去脈：函數(shù)最早源于人們對運動軌跡的研究。早期研究的函數(shù)最先以表格的方式呈現(xiàn)，15世紀后又以圖象的方式呈現(xiàn)。由于以表格或圖象表示的函數(shù)難以參與運算，因此18世紀開始以解析式的方式呈現(xiàn)。在以上研究過程中，教師借助三個典型實例，引導學生分析函數(shù)概念的屬性，抽象出其共同本質的屬性，通過比較、概括、歸納等思維活動，從函數(shù)三種特殊的表現(xiàn)形式出發(fā)探尋一般函數(shù)的表現(xiàn)形式，有助于學生經(jīng)歷、感悟從特殊到一般的數(shù)學思想，從而發(fā)展數(shù)學建模、數(shù)學抽象等素養(yǎng)。

問題8 經(jīng)過以上分析，如果y是x的函數(shù)，你認為這兩個變量之間必須具備怎樣的關系？它們的關系在什么條件下成立？如何表示它們的關系？嘗試寫出函數(shù)的定義。

問題9 “對應關系f ”有何含義或功能？

【設計意圖】問題8能夠促進學生感知新知“是何”。在問題的驅動下，學生進行獨立思考、交流分析、分享感悟、歸納總結函數(shù)概念，并通過師生合作，完善概念內(nèi)涵。教師進一步引導學生聚焦函數(shù)定義的關鍵點：（1）A，B為非空數(shù)集;（2）“對應關系f ”可以是表格、圖象或解析式;（3）“任意”與“唯一”的含義;（4）允許多對一，反之不可以;（5）y=f（x）的內(nèi)涵，即y是x的函數(shù);（6）函數(shù)不一定是解析式，解析式也不一定是函數(shù)（如x=0不是函數(shù)）;（7）值域B;（8）函數(shù)的三要素包括定義域、值域、對應關系。學生親歷了數(shù)學概念的發(fā)現(xiàn)、概括、歸納等過程，有助于學習能力的提升。問題9旨在促進學生了解：數(shù)集B中唯一確定的與數(shù)集A中變量x對應的變量y是對變量x實施“對應關系f ”得到的，即f使x與y對應起來。數(shù)學知識的生長不在于記住一個抽象的概念或命題，而在于內(nèi)化知識。學生通過歸納定義，形成定義的整體認知，在剖析定義要點、關鍵點的過程中，找出其內(nèi)涵與外延，加深對函數(shù)概念的理解，并逐步形成解決問題的能力。

問題10 函數(shù)的定義從誕生至今，已經(jīng)歷了300多年的歷史，在此過程中許多數(shù)學家都做出了巨大貢獻。你知道哪些數(shù)學家為函數(shù)的發(fā)展做了什么貢獻（分別見圖5、圖6、圖7）？“函數(shù)”一詞從何而來？有何深意？

【設計意圖】在嚴謹、抽象的數(shù)學學習之余，數(shù)學史的融入既可以促進學生感悟函數(shù)、理解函數(shù)，又可以發(fā)散其學習思維，激發(fā)他們的學習興趣。

3對比新舊定義，窺探“怎么變”

問題11 學習了新的函數(shù)定義，對比初中函數(shù)定義，它們有什么不同？說說你的理解。

【設計意圖】相比于概念的形式，概念的實質更重要。此問題主要探討初、高中概念“變何”。新舊函數(shù)概念的變化不僅需要教師熟知概念產(chǎn)生與發(fā)展的歷史，還需啟發(fā)、引導學生發(fā)現(xiàn)在哪方面發(fā)生了變化。

首先，從直觀描述上看，初、高中函數(shù)定義的出發(fā)點不同[4]186-191。初中以變量說描述定義，突出變量關系的表達式（包括圖象和表格），無法研究不同表達形式的函數(shù)本質，如無法判斷f（x）=sin2x+cos2x和g（x）=1是否為同一函數(shù);從歷史上看，初中定義的函數(shù)幾乎等同于解析式，但并非所有函數(shù)均有解析式，如狄利克雷函數(shù)。函數(shù)概念的本質不是表達式，而是對應關系，故高中以對應關系說描述函數(shù)定義。

其次，從函數(shù)對數(shù)學后續(xù)發(fā)展的影響而言，函數(shù)的作用發(fā)生了變化[4]186-191。初中函數(shù)僅關注變量間的關系，未涉及函數(shù)的定義域，比較注重解題;而高中函數(shù)開始探討函數(shù)性質。討論函數(shù)性質的實質是研究兩個變量間的變化規(guī)律，使函數(shù)成為描述現(xiàn)實世界的數(shù)學語言。

簡而言之，問題11能夠引導學生發(fā)現(xiàn)初、高中函數(shù)定義的本質區(qū)別，使學生進一步了解高中重新定義函數(shù)概念的必要性，加深對函數(shù)概念的理解。這既為學生之后的學習奠定了牢固的知識基礎，又培養(yǎng)了他們“會用數(shù)學語言表達世界”的能力。

4以練習測成果，掌握“如何用”

練習 運用所學知識解決下列各題。

【設計意圖】此環(huán)節(jié)試圖突破以鞏固學生工具性理解為主的常規(guī)練習，進一步促進關系性理解，發(fā)展創(chuàng)新性思維，感悟概念及基本方法（由例及類、從特殊到一般等）的應用，學會以數(shù)學思維思考問題，同時也是評價學生學習效果的重要方式之一。前三題主要使學生對函數(shù)概念的感知從抽象的文字描述過渡到具體的函數(shù)表象，使學生從概念的多元表征中實現(xiàn)對知識的整體性認識;第（4）、第（5）題進一步從函數(shù)概念的基本特征、函數(shù)的三要素等方面，促進學生對概念的本質認識，形成工具性理解;第（6）題在工具性理解的基礎上，促使學生感知函數(shù)三種表征方式的聯(lián)系與轉化，并在函數(shù)的多元表征中完善認知結構，發(fā)展關系性理解;第（7）題試圖從抽象符號的視角拓展學生對函數(shù)的認知，形成知識的系統(tǒng)性、結構性理解，進而產(chǎn)生或建構其他新的概念或問題，實現(xiàn)創(chuàng)新性理解。

5以問題思所學，反思“有什么”

問題12 通過本節(jié)課，你學到了什么？函數(shù)在生活中的應用還有哪些？為什么要重新定義函數(shù)？初、高中函數(shù)概念有何不同？理解高中函數(shù)概念可以從哪些方面入手？哪些數(shù)學家促進了函數(shù)概念的發(fā)展？你學會判斷函數(shù)了嗎？你還存在哪些困惑？

【設計意圖】此問題重在引導學生進行學習反思。弗賴登塔爾指出，反思是數(shù)學思維活動的核心和動力，是高層次的創(chuàng)新活動。學生在解決“為何、從何、是何、變何、如何”后，進一步反思“有何”。這既是對所學、所思、所獲的一次梳理及查缺補漏的過程，又是學習再吸收、再創(chuàng)造的過程。

好的教學設計應當能夠實現(xiàn)兩個目標：一是能夠引發(fā)學生思考、激發(fā)學生學習的興趣，二是能夠培養(yǎng)學生良好的學習習慣、掌握有效的學習方法[5]。本課例依據(jù)“六何”提問鏈將數(shù)學史融入函數(shù)概念的教學，通過環(huán)環(huán)相扣、層層深入的問題串解決當前學生學習函數(shù)概念過程中存在的問題，進而揭示數(shù)學本質，激發(fā)學生的求知欲、求識欲，增強學習使命感。同時，“六何”提問鏈為學生設置了系列、連續(xù)的思維活動。學生在解決問題的過程中，思維不斷向前推進，使學習過程有序、有效。層次清晰的“六何”提問鏈也使函數(shù)概念的建構過程更加關注思維的系統(tǒng)性與邏輯的連貫性，體現(xiàn)了數(shù)學核心概念教學的育人價值。因此，“六何”提問鏈可以為教與學問題的提出提供方向，而融入數(shù)學史的“問題化”教學又促進了數(shù)學“史學形態(tài)”向“教育形態(tài)”的轉化。

融入數(shù)學史的“問題化”教學能促進數(shù)學史發(fā)揮其教育功能，但仍需我們不斷探討、優(yōu)化。首先，教師在構建“提問鏈”的過程中，既需要考慮數(shù)學主題與其他主題在知識內(nèi)容、思想方法、研究視角等方面的聯(lián)系，又需要考慮主題學習過程中要解決的核心問題及其順序，進一步結合學生實際構建主干問題鏈，形成有效互動，驅動學生學習。其次，在“問題化”教學中，數(shù)學史的選擇既應對數(shù)學知識有所訴求，又需蘊含知識產(chǎn)生的思維過程。教師需要深入挖掘蘊藏于數(shù)學史背后的數(shù)學知識、思想與方法等，提煉出與教學密切相關的數(shù)學問題，促進數(shù)學史與課堂的深度融合。

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