基于核心素養(yǎng)理念下“數(shù)形結(jié)合”思想的滲透

摘 要：數(shù)形結(jié)合是學生學習數(shù)學最常用也是最重要的一種數(shù)學思想方法，是指把數(shù)學問題中的數(shù)量關(guān)系與空間形式結(jié)合起來進行思考，從而化難為易、化繁為簡。數(shù)形結(jié)合思想的滲透，對于發(fā)展學生核心素養(yǎng)有著很重要的作用。在實際教學中，教師要從兒童的視角出發(fā)，挖掘并選擇能體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想方法的素材，精心設(shè)計探究活動，提高學生的推理能力，使學生主動探索在給定情境中隱含的規(guī)律或變化趨勢，建立數(shù)與形的生動聯(lián)系，體會到數(shù)形結(jié)合思想的價值與內(nèi)涵。對于“數(shù)與形”的學習，學生應(yīng)該經(jīng)歷一個有層次性的、豐富的、立體的、逐漸深入的過程，從而在解決數(shù)與形的相關(guān)問題時逐步體驗“數(shù)”與“形”各自的價值和內(nèi)涵，進而對小學階段所學的數(shù)學基本內(nèi)容有整體的認識。

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);以形助數(shù);以數(shù)釋形;數(shù)形結(jié)合

中圖分類號：G427 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：2095-624X（2020）36-0032-02

引 言

“數(shù)與形”是人教版小學數(shù)學六年級上冊“數(shù)學廣角”中的內(nèi)容。該單元一共有2個例題，例1是“以形助數(shù)”體會數(shù)形相關(guān);例2則是“以數(shù)解形”滲透極限思想。一般而言，本單元為1課時教學內(nèi)容。在實際教學中，教師應(yīng)引導學生在觀察、實驗、猜想、驗證等活動中發(fā)展推理能力，使學生體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想。筆者認為，教師可以根據(jù)學生的實際特點，將本單元1課時內(nèi)容一分為二，先探究例1，再探究例2，以求穩(wěn)扎穩(wěn)打、步步為營。

對于兒童來說，他們的數(shù)學思維正漸漸從具體形象思維向抽象邏輯思維過渡。六年級學生已經(jīng)逐步學會了區(qū)分現(xiàn)象與本質(zhì)、主要與次要的因素，可以初步嘗試獨立進行邏輯論證。但他們依然要借助相對直觀、感性的經(jīng)驗來理解比較抽象的數(shù)學原理。對于本課的教學來說，教師要從兒童視角出發(fā)，逐步引導學生在明確規(guī)律的基礎(chǔ)上初步感受并體驗數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵與價值，然后從整體上幫助學生理解數(shù)與形的密切相關(guān)性。

對于本課而言，教師很容易陷入“找規(guī)律”的怪圈，即引導學生探究和發(fā)現(xiàn)“正方形方格圖”中蘊含的多種規(guī)律，借助圖形讓學生先從不同角度感知其中蘊含的規(guī)律，然后用不同的算式表示規(guī)律，并運用規(guī)律解決相關(guān)問題。很顯然，本單元的重難點明顯不在于規(guī)律的尋找上，而是讓學生感受數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵與價值。

一、數(shù)形結(jié)合思想的基本內(nèi)涵

“數(shù)”與“形”可以說是數(shù)學的基本研究對象，貫穿于數(shù)學教學的始終?！皵?shù)”表現(xiàn)的是抽象的，“形”則比較直觀[1]。在實際教學過程中，教師需要設(shè)置一些有針對性的數(shù)學探究活動，“人為”地推動學生將二者建立聯(lián)系，使其體會數(shù)與形的內(nèi)涵與價值。在小學階段的“數(shù)與形”學習中，學生應(yīng)該經(jīng)歷一個有層次性、立體、逐漸深入的過程：一是在學習數(shù)和算式、方程等內(nèi)容時，體會可以借助“形”來“視數(shù)”，將抽象的數(shù)量關(guān)系“可視化”，打開解決問題的突破口，有時甚至可以從“形”中直接“讀”出答案，如借助“面積模型”理解分數(shù)及其運算含義;二是在圖形幾何學習中，在體會要更深入地理解圖形的變化等情形時，可以借助數(shù)和算式來“釋形”，這樣更易透過現(xiàn)象看到本質(zhì)，如面積（體積）公式的推導;三是在體會了數(shù)形結(jié)合的內(nèi)涵后，能自然地使用這樣的思想方法去解決相應(yīng)的問題，感受其價值。

數(shù)形結(jié)合作為解決問題的重要策略，貫穿于整個數(shù)學學習階段[2]。對于學生而言，這種思想的滲透、方法的指導不是一蹴而就的。要想養(yǎng)成這樣解決問題的良好習慣，學生需要一定的時間積淀。在實踐操作中，教師要讓學生親身感受到這種思想方法的優(yōu)越性，努力將“遇到問題要嘗試畫圖”這樣想法深深印刻在學生腦海中。例如，在解決問題時，即使不是一道圖形相關(guān)題，教師也可以引導學生通過畫線段圖表達題意，簡化思考的難度，從而加深學生對題目的理解。

二、探究活動，讓學生體驗“以形助數(shù)”

在小學具體的學習活動中，在經(jīng)過多種問題或情境體驗后，學生對“數(shù)缺形時少直觀”的理解較為深刻，但對于“形少數(shù)時難入微”的理解較少。究其原因，一是教材具體實例較少;二是部分教師在實際教學中會有意“避開”，所以學生在這方面的體驗較為缺乏。筆者認為，在教學中，教師應(yīng)深入研讀教材、創(chuàng)新性地使用教材例題、習題，創(chuàng)設(shè)豐富的學習探究活動，從而加深學生對“以形助數(shù)”“以數(shù)釋形”的理解。

在例1 的教學中，按照“L形”逐層將小正方形呈現(xiàn)給學生。在實際教學中，首先，教師會引導學生從不同角度觀察“正方形方塊圖”。在教師的引導下，學生會發(fā)現(xiàn)可以用不同的數(shù)或算式表示圖中的“方塊數(shù)”，即“形”中有“數(shù)或算式”，寫出的“數(shù)或算式”亦可以用“形”顯現(xiàn)，初步感受到“數(shù)”與“形”緊密相關(guān)。其次，教師會從“找規(guī)律”的角度切入，讓學生觀察隨著“形”的變化，“數(shù)或算式”也會發(fā)生相應(yīng)變化，并且可以借助“形”的特征發(fā)現(xiàn)算式之間的關(guān)系，從而建立本例題的一般模型：從1開始n個連續(xù)奇數(shù)的和是n?。最后，教師會引導學生思考1+3+5+7+9+11+13 這個式子對應(yīng)的圖形是什么樣子。學生很自然地會用“形” 來解決。但大部分學生會從圖形整體上進行思考：1 是1個小正方形，1+3 是4個小正方形……以此類推，所以1+3+5+7+9+11+13 是由7×7，即49個小正方形組成的大正方形。

但也有個別學生是從最外層的“L形”來觀察圖形的（見圖1），對應(yīng)的式子中最后一個數(shù)“13”。橫著的一排和豎著的一列相交處，有1個小正方形是重疊的，重復了。此時，學生頭腦中有強烈的“以形助數(shù)”的想法，所以在求這個式子是幾的平方時，很自然地說出（13+1）÷2=7。此時，教師及時追問：“最外層的13，與算式中奇數(shù)的個數(shù)有什么關(guān)系？”從而使學生建立尾數(shù)與項數(shù)之間關(guān)系的模型：（尾數(shù)+1）÷2=式子中奇數(shù)的個數(shù)。接著，教師出示三個習題以加深學生的理解：1+3+5……+21=（ ? ? ?）?;1+3+5……+101= （ ? ? ?）?;1+3+5……+（2n-1）=（ ? ? ?）?。從具體到抽象，在加深理解“規(guī)律”的基礎(chǔ)上，學生思維向高階發(fā)展，體現(xiàn)出教學的深度，這是符合當前教學要求的。

三、深挖習題，使學生感受“以數(shù)釋形”

學生在探究完尾數(shù)與項數(shù)之間的關(guān)系后，能初步體會到“形少數(shù)時難入微”的意義：只有“數(shù)”沒有“形”，難直觀;只有“形”沒有“數(shù)”，難深入。在練習環(huán)節(jié)，教師可以放手讓學生繼續(xù)深入探究和體會“數(shù)”與“形”不是截然分開的，兩者之間有著密切聯(lián)系，鼓勵學生從不同角度、運用不同方法來解決問題，為例2的學習埋下一個的伏筆。而練習二十二的第2題就能達到這樣的效果。

在學生自主探究得出每個圖形小圓片個數(shù)是“1+2+3……+n”后，出示“1+2+3+4+5+6+7+8……+100=？它是一個怎樣的圖形？”在前面的圖形中，小圓片的個數(shù)用簡單的加法就能得出答案，但這個問題對于學生來說比較困難。那是否有更簡便的方法呢？當然，有個別學生脫口而出“首項+末項的和乘項數(shù)除以2”。但能否借用圖形來思考，證明這個結(jié)論，就需要學生創(chuàng)造性地使用習題，結(jié)合本課內(nèi)容深挖習題內(nèi)涵。

此時，教師可以布置學習活動：“你能用圖形來幫助解決這個問題嗎？”引導學生從題中圖形入手，將習題中原圖形旋轉(zhuǎn)后變成圖2形狀。圖2中左圖原圖形的算式是1+2=3;右圖原圖形的算式是1+2+3=6。接著，教師追問：“圖形旋轉(zhuǎn)后你還能用算式表示這兩個圖形的原來小圓片的個數(shù)嗎？”圖形與算式的互相解析，一定程度上超越了學生的認知。在實際教學中，只有個別學生能根據(jù)引導完成旋轉(zhuǎn)后的圖形。在找到了圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形，學生借助直觀圖發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)后，一是可以運用“平行四邊形的面積”來計算原來的小圓片數(shù);二是可以根據(jù)“邊長個數(shù)”相乘計算原來小圓片的個數(shù)，即左邊圖形旋轉(zhuǎn)后算式為（1+2）×2÷2=3（個）;右邊圖形旋轉(zhuǎn)后為（1+3）×3÷2=6（個）。因為旋轉(zhuǎn)后有兩個一樣的圖形，求原來圖形的小圓片個數(shù)，所以除以2。到這里，適時的出示第n個圖形旋轉(zhuǎn)后形狀（見圖3）。學生根據(jù)剛才的經(jīng)驗很自然就能看圖列出相應(yīng)的式子：1+2+3……+n=（1+n）×n÷2。到這里，學生利用“形”完成了對等差數(shù)列求和公式的推導，也順利解決了1+2……+100的問題。

直觀圖給求解抽象算式的任務(wù)指出了大方向[3]。正如20世紀偉大的數(shù)學家希爾伯特在其名著《直觀幾何》一書中所談到的：圖形可以幫助我們發(fā)現(xiàn)、描述研究的問題，可以幫助我們尋求解決問題的思路，可以幫助我們理解和記憶得到的結(jié)果。在解決問題的過程中，幾何直觀有助于學生從整體上去研究，在應(yīng)對復雜的數(shù)量關(guān)系時明確把握大方向。

數(shù)學課要變得有生命力，教師就要貼近學生視角，在課堂探究活動中積極滲透數(shù)學思維和數(shù)學本質(zhì)。數(shù)學本身是認識、理解生活現(xiàn)象的一種由淺到深、由具體到抽象的認識方式，要培養(yǎng)的則是會主動進取、善于分享、生動活潑的人。

結(jié) ? ?語

在小學階段，數(shù)形結(jié)合貫穿、隱藏于許多知識點之中。教師要根據(jù)不同的知識模塊進行分析、整合，并尊重學生自身的特點，從學生的視角挖掘并選擇能體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想方法的素材。在教學時，教師應(yīng)以發(fā)展學生的核心素養(yǎng)為目的，尋找適合他們掌握數(shù)形結(jié)合方法的契合點，巧妙設(shè)計問題、挖掘教材，在一定程度上進行有深度的教學，真正幫助學生搭建起“數(shù)”與“形”之間的橋梁。

[參考文獻]

劉加霞，劉琳娜.在認知沖突中體現(xiàn)感悟數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵與價值[J].小學數(shù)學教師，2015（12）：49-52.

劉加霞.“數(shù)形結(jié)合”思想及其在教學中的滲透（上）[J].小學教學（數(shù)學版），2008（04）：49-50.

孔凡哲. 關(guān)于幾何直觀的含義與表現(xiàn)形式——對《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》一個關(guān)鍵詞的認識[A]. 全國數(shù)學教育研究會.全國數(shù)學教育研究會2014年國際學術(shù)年會論文集[C].全國數(shù)學教育研究會：中國高教學會高等師范教育研究會數(shù)學教育會，2014：8.

作者簡介：虢小鵬（1991.12—），男，湖北武漢人，本科學歷，中小學二級教師，研究方向：小學數(shù)學。