問(wèn)題驅(qū)動(dòng)下的高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)探究①
——以2018年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅱ理科第18題為例

倪 黎 茹 凱 安黔江

(銅仁學(xué)院大數(shù)據(jù)學(xué)院 554300)

1 引言

2004年開(kāi)始實(shí)施的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》，將“發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)”作為高中數(shù)學(xué)課程的十大基本理念之一，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》更是將“數(shù)學(xué)建?！薄皵?shù)據(jù)分析”列在六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之中[1].

教育部考試中心針對(duì)數(shù)學(xué)科研制了數(shù)據(jù)分析題：給出一些材料背景以及相關(guān)數(shù)據(jù)，要求考生自己讀懂材料，獲取信息，根據(jù)材料給出的情境、原理以及猜測(cè)等，自主分析數(shù)據(jù)，得出結(jié)論，并解決問(wèn)題[2]．承擔(dān)這一考查功能的主要是概率統(tǒng)計(jì)解答題，命題背景往往源于社會(huì)生活的實(shí)際問(wèn)題.而數(shù)學(xué)建模正是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題來(lái)建立數(shù)學(xué)模型，對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，然后根據(jù)模型結(jié)果去解決實(shí)際問(wèn)題.高考試題中的解答題可以看作是高度簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)建模問(wèn)題，對(duì)解答題進(jìn)行深入思考，以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)為導(dǎo)向，又能一探數(shù)學(xué)建模的過(guò)程.

在1999年高考試題中，便出現(xiàn)了考查學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的“軋鋼問(wèn)題”[3].如何從解答題中挖掘潛在的數(shù)學(xué)建模思想方法,并將數(shù)學(xué)建模教學(xué)有機(jī)地融入于數(shù)學(xué)解答題教學(xué)中？下面以2018年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅱ理科第18題為例，做探究性地嘗試.

2 案例

2.1 真題再現(xiàn)

下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位：億元)的折線圖．

圖1 高考原題題目圖

(1)分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值；

(2)你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？并說(shuō)明理由．

2.2 對(duì)問(wèn)題的再認(rèn)識(shí)與分析

本題以某地區(qū)的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額(以下簡(jiǎn)稱“投資額”)為研究對(duì)象，來(lái)源于社會(huì)實(shí)際問(wèn)題，以時(shí)間為解釋變量(自變量)、以投資額為預(yù)報(bào)變量(因變量)，并給出了2000到2016年的年度投資額時(shí)間序列折線圖，以及兩個(gè)線性回歸模型.要求利用給定模型預(yù)測(cè)未知的2018年的投資額，并結(jié)合折線圖評(píng)價(jià)哪個(gè)預(yù)測(cè)值更可靠.

本題主要涉及折線圖和回歸分析的綜合知識(shí)，考查從折線圖及中提取信息、對(duì)回歸模型的有效利用，從而合理分析與解決問(wèn)題的能力.

觀察得到時(shí)間變量t與年份的關(guān)系：記年份為x，則t=x-1999.于是，2018年對(duì)應(yīng)的t值為19，分別代入兩個(gè)回歸模型，求得該地區(qū)2018年的投資額的兩個(gè)預(yù)測(cè)值，從而解答了第一問(wèn).

觀察折線圖可將2000到2016年間投資額的增長(zhǎng)可以分為三個(gè)階段.第一個(gè)階段，2000到2009年間，投資額增長(zhǎng)較穩(wěn)定，增幅較緩；第二個(gè)階段，2009到2010年，投資額有明顯的增加；第三個(gè)階段，2010到2016年間，投資額增長(zhǎng)仍趨于穩(wěn)定，但增幅較第一階段偏高.比較兩個(gè)估計(jì)值的增幅情況，就能合理地選擇出更可靠的預(yù)測(cè)值，從而解答了第二問(wèn).關(guān)于理由的說(shuō)明，是開(kāi)放式的，可發(fā)散思維，合理即可.

本題的具體解答可參見(jiàn)文獻(xiàn)[4].

2.3 以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)為導(dǎo)向

這是一道經(jīng)典的數(shù)據(jù)分析類解答題，問(wèn)題和模型都已給出，數(shù)據(jù)由統(tǒng)計(jì)圖呈現(xiàn)，降低了題目難度，便于入手，增加學(xué)生學(xué)習(xí)自信心，弱化了對(duì)選取變量、處理數(shù)據(jù)、建立模型等能力的考察，只需要讀懂材料，通過(guò)觀察和計(jì)算就能解決問(wèn)題.

這類數(shù)學(xué)解答題能很好地引導(dǎo)并鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和應(yīng)用意識(shí)，是一種“面對(duì)問(wèn)題→分析問(wèn)題→解決問(wèn)題”的培養(yǎng)模式.學(xué)生面對(duì)的問(wèn)題通常是簡(jiǎn)化后的問(wèn)題，經(jīng)過(guò)鍛煉，可以循序漸進(jìn)地提高難度，由“面對(duì)問(wèn)題”轉(zhuǎn)向“提出問(wèn)題”.以“提出問(wèn)題→分析問(wèn)題→解決問(wèn)題”的培養(yǎng)模式，讓學(xué)生提出質(zhì)疑，或教師向?qū)W生提出新問(wèn)題，充分啟發(fā)學(xué)生，以問(wèn)題為驅(qū)動(dòng)，將數(shù)學(xué)解答題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)建模思想方法挖掘出來(lái).

3 探究

3.1 在不改動(dòng)題目的前提下，提出問(wèn)題鏈1

問(wèn)題1為什么將年份2000,…,2016對(duì)應(yīng)改為時(shí)間變量1,…,17？是否會(huì)影響原來(lái)圖表數(shù)據(jù)的規(guī)律？

意圖探究數(shù)據(jù)處理背后的意義和原理.

這種做法將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行了簡(jiǎn)化處理，可以化簡(jiǎn)計(jì)算.這樣做會(huì)不會(huì)導(dǎo)致原來(lái)圖表數(shù)據(jù)的規(guī)律發(fā)生改變？從而使得新的數(shù)據(jù)規(guī)律并不能用于對(duì)原來(lái)數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)？為了便于理解，先做投資額y與時(shí)間變量t的折線圖，見(jiàn)圖2：

圖2 某地區(qū)投資額折線圖

對(duì)比圖2與圖1可知：對(duì)時(shí)間數(shù)據(jù)簡(jiǎn)化處理后，投資額的增長(zhǎng)規(guī)律與原來(lái)完全一致，用新數(shù)據(jù)來(lái)預(yù)測(cè)，與原來(lái)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)效果也一致.圖2可以看作是圖1向左平移了1999個(gè)單位后所得，不會(huì)改變縱坐標(biāo)的趨勢(shì)走向.

問(wèn)題2還有其他簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)的處理方法嗎？

意圖在問(wèn)題1的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探究和推廣類似的數(shù)據(jù)處理方法.

問(wèn)題3為什么要用兩個(gè)模型分別來(lái)預(yù)測(cè)？

意圖探究題目背后的意義和理論依據(jù).

本題要求利用已給定的兩個(gè)模型計(jì)算預(yù)測(cè)值，并對(duì)預(yù)測(cè)值的可靠性進(jìn)行評(píng)價(jià).預(yù)測(cè)值可靠性是模型的合理性與好壞的體現(xiàn)，只要能比較出兩個(gè)模型的優(yōu)劣，便能從根本上解釋預(yù)測(cè)值的可靠性.

前面已經(jīng)通過(guò)觀察折線圖，說(shuō)明了第二個(gè)模型預(yù)測(cè)值更可靠.此外，由于數(shù)據(jù)中途發(fā)生過(guò)突變，所以，利用相近年度平穩(wěn)的短期數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，效果也會(huì)優(yōu)于波動(dòng)的長(zhǎng)期數(shù)據(jù).

人教版高二《數(shù)學(xué)》選修1-2中，提出了“如何衡量模型的擬合效果”，并提供了一種檢驗(yàn)方法，“可以用R2來(lái)刻畫(huà)回歸的效果”，計(jì)算公式是：

決定系數(shù)R2越接近于1，表示回歸的效果越好.

3.2 在減少已知的前提下，提出問(wèn)題鏈2

問(wèn)題1如果題目沒(méi)有給出模型，怎么辦？

意圖探究建立什么模型、怎樣建立模型的問(wèn)題.

表1 某地區(qū)投資額回歸模型計(jì)算表

續(xù)表

還可以用Excel做回歸分析[6][7]，計(jì)算機(jī)代替人工計(jì)算，直接建立投資額y與年份x的線性回歸模型，關(guān)于模型改進(jìn)可以參考前面的思路實(shí)現(xiàn).另外，也可以查閱更多資料，建立其他數(shù)學(xué)模型.

問(wèn)題2如果題目沒(méi)有給出折線圖，怎么辦？

意圖探究數(shù)據(jù)的整理與顯示，也即整理數(shù)據(jù)的方法.

原始數(shù)據(jù)可能雜亂無(wú)章，要進(jìn)行預(yù)測(cè)的關(guān)鍵是從數(shù)據(jù)中找到變化的規(guī)律，這就需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理.常用的方法是制作統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖.統(tǒng)計(jì)表能夠集中而有序地表現(xiàn)數(shù)據(jù)信息，統(tǒng)計(jì)圖能夠?qū)?shù)據(jù)展示得更為生動(dòng)而具體，便于直觀地觀察，進(jìn)而能夠正確而深刻地理解和運(yùn)用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)[5].

本題通過(guò)數(shù)據(jù)或表格，容易觀察出投資額在逐年遞增，但無(wú)法由此做出科學(xué)而合理地預(yù)測(cè)，所以還需作圖進(jìn)一步揭示兩者的內(nèi)在關(guān)系.常用的統(tǒng)計(jì)圖有柱形圖、餅圖、散點(diǎn)圖、折線圖等等.柱形圖一般適用于分組數(shù)據(jù)，餅圖主要反映比例性的數(shù)量特征.從數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)的逐年遞增規(guī)律引導(dǎo)我們?nèi)ふ疫@兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系，而散點(diǎn)圖正好可以實(shí)現(xiàn).見(jiàn)圖3：

圖3 散點(diǎn)圖及趨勢(shì)曲線

由圖3可以發(fā)現(xiàn)，這些散點(diǎn)大致在一條直線周?chē)⒛芸闯鐾顿Y額與年份有著正相關(guān)關(guān)系，由此認(rèn)為，可以建立投資額y與年份x的線性回歸模型.

另外，折線圖主要顯示隨時(shí)間而變化的序列數(shù)據(jù)，適用于顯示在相等時(shí)間間隔下的數(shù)據(jù)發(fā)展趨勢(shì)，對(duì)本題數(shù)據(jù)更為恰當(dāng)，更容易觀察出2010到2016年間時(shí)間與投資額的強(qiáng)相關(guān)性，有利于改進(jìn)模型.

問(wèn)題3如果題目沒(méi)有給出數(shù)據(jù)，怎么辦？

意圖探究收集什么數(shù)據(jù)、怎樣收集數(shù)據(jù)的問(wèn)題.

此時(shí)，題目可以簡(jiǎn)化為：請(qǐng)你合理地預(yù)測(cè)一下某地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額.

假設(shè)地區(qū)已知，接下來(lái)需要確定收集哪些數(shù)據(jù)，也就是根據(jù)問(wèn)題設(shè)置指標(biāo)變量變.目的是預(yù)測(cè)2018年的投資額，投資額顯然是最重要的變量，需要收集往年的投資額數(shù)據(jù)，自然就得到了一個(gè)投資額的時(shí)間序列.如果這些數(shù)據(jù)還不足以分析出投資額的變化規(guī)律，可以查閱資料，進(jìn)一步思考哪些因素有可能會(huì)影響投資額.比如經(jīng)濟(jì)的增長(zhǎng)可能會(huì)影響到投資額的增加，2010年，中國(guó)成為全球第二大經(jīng)濟(jì)體，2009到2010年的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率也比前后幾年都高，是否與投資額在這時(shí)期的明顯增加有聯(lián)系呢？可以考慮GDP或當(dāng)?shù)厝司鵊DP、當(dāng)?shù)厝丝诳倲?shù)、物價(jià)指數(shù)等等因素，從中選擇主要因素作為指標(biāo)變量，再收集數(shù)據(jù)用于分析問(wèn)題. 當(dāng)然，隨著變量的增加，建立模型分析數(shù)據(jù)的復(fù)雜性也會(huì)相應(yīng)增加.

通?？梢圆捎弥苯佑^察法、采訪法、實(shí)驗(yàn)調(diào)查法、網(wǎng)上調(diào)查法[5]等手段來(lái)收集數(shù)據(jù).以上所提到的數(shù)據(jù)，都適合從網(wǎng)上獲取，在中國(guó)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)庫(kù)里就有中國(guó)環(huán)境年鑒、統(tǒng)計(jì)年鑒、世界銀行等網(wǎng)站也有大量公開(kāi)數(shù)據(jù).

通過(guò)對(duì)以上問(wèn)題的探究，從后往前看，能梳理出一條可以推廣的應(yīng)用數(shù)學(xué)模式：以具體問(wèn)題為起點(diǎn)，設(shè)置指標(biāo)變量、收集整理數(shù)據(jù)、構(gòu)造理論模型、估計(jì)模型參數(shù)、運(yùn)用和評(píng)價(jià)模型.

4 結(jié)語(yǔ)

以2018年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅱ理科第18題為例，從題目本身和減少已知兩個(gè)角度，通過(guò)“提出問(wèn)題→分析問(wèn)題→解決問(wèn)題”模式，以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)為導(dǎo)向，分別構(gòu)造了思辨性的問(wèn)題鏈1和問(wèn)題鏈2，由淺入深、層層遞進(jìn)地啟發(fā)學(xué)生，可以形成“根據(jù)研究的目的設(shè)置指標(biāo)變量→收集、整理統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)→確定理論回歸模型的數(shù)學(xué)形式→模型參數(shù)的估計(jì)→模型的檢驗(yàn)與修改→模型的運(yùn)用(比如預(yù)測(cè))”的邏輯順序，而這正是建立實(shí)際問(wèn)題回歸模型的全過(guò)程[7].

將數(shù)學(xué)建模教學(xué)有機(jī)地融入于數(shù)學(xué)解答題教學(xué)中，可以讓學(xué)生在不知不覺(jué)中體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)及數(shù)學(xué)思維的應(yīng)用，也可以進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象、用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)素養(yǎng).