保距變換半群的若干基本性質(zhì)

龍偉芳， 龍偉鋒

（1.凱里學(xué)院 理學(xué)院，貴州凱里556011； 2.廈門大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建 廈門361055）

0 引言

變換半群的秩、最小生成集與極大逆子半群是變換半群的重要性質(zhì).對(duì)它們的研究一直是變換半群的一個(gè)重要課題［1-15］.文獻(xiàn)［1］給出了鏈上的方向保序部分一一變換半群的生成集.文獻(xiàn)［2］討論了保等價(jià)關(guān)系變換半群的秩.文獻(xiàn)［3］刻畫了有限保序部分一一變換半群極大逆子半群的完全分類.文獻(xiàn)［4-5］研究了IE*（X）中E類方向保序變換半群的秩和嚴(yán)格部分一一變換半群的極大逆子半群.文獻(xiàn)［6］討論了E類保序嚴(yán)格部分一一變換半群的極大逆子半群.文獻(xiàn)［7］構(gòu)造變換半群POEn，并得到理想POE（n，r）的秩與冪等元秩；文獻(xiàn)［8-10］在等價(jià)關(guān)系下研究變換半群的自然偏序部分一一變換半群的Green關(guān)系與組合結(jié)果；在保序下，文獻(xiàn)［11-12］討論部分一一變換半群的秩與極大子半群；文獻(xiàn)［13-14］在有限全變換半群與線性變換半群下研究若干基本性質(zhì)；文獻(xiàn)［15］在定點(diǎn)保距下研究部分一一變換半群.本文定義保距變換半群的概念.

非空集合X上的1-1部分映射全體之集，記為 IX，且規(guī)定 ?∈IX.在 IX中定義運(yùn)算“ ?”：

則（IX，?）稱為 X上的對(duì)稱逆半群.設(shè) Xn＝｛1，2，…，n｝，記Sn、In分別為 Xn上的置換群與對(duì)稱逆半群，令

則PDIn為In的一個(gè)子半群，稱為保距變換半群.在定義與基本假設(shè)下，首先給出保距變換半群的Green關(guān)系和基數(shù)；然后得到保距變換半群的秩，并完全刻畫了保距變換半群的生成集與極大逆子半群的結(jié)構(gòu).

1 預(yù)備知識(shí)

記文中的常用符號(hào)為 Ar＝｛α∈PDIn：｜imα｜＝r｝，1≤r≤n-1；K（n，r）＝｛α∈PDIn：｜imα｜≤r｝，1≤r≤n-1；Xn＝｛1，2，…，n｝，其他未說(shuō)明的符號(hào)與概念可參見(jiàn)文獻(xiàn)［16］.

首先，介紹幾個(gè)定義.

定義 1設(shè) A＝｛a1，a2，…，an｝?Xn，其中a1＜a2＜…＜ar.記［A］＝［a2-a1，a3-a2，…，ar-ar-1］稱為集合 A的順型；記 R［A］＝［arar-1，ar-1-ar-2，…，a2-a1］稱為集合 A的逆型.

定義 2設(shè) A，B?Xn，如果［A］＝［B］或［A］＝R［B］，則稱A與B同型，記作A～B.

以下記［α］＝［A］，其中 α∈PDIn，A＝domα.

定義 3設(shè) α，β∈PDIn，如果［α］＝［β］或［α］＝R［β］，則稱 α與 β 同型，記作 α≈β.

引理 1設(shè) α∈PDIn，且

則 b1＜b2＜…＜br或 b1＞b2＞…＞br.

證明當(dāng)r＝1或r＝2時(shí)，顯然成立.下證當(dāng)r＞2時(shí)的情況.

若 b1＜b2＜…＜bm，并且 bm＋1＜bm，其中r-1≥m≥2.因?yàn)?α∈PDIn，可記

則有 d＝d1＋d2.因?yàn)?bm-1＝bm-d1，bm＋1＝bmd2，可得

矛盾，進(jìn)而可得 b1＜b2…＜br.同理可證，當(dāng) b1＞b2＞…＞bm，r-1≥m≥2時(shí)，有b1＞b2＞…＞br.

引理 2設(shè) α∈In，則 α∈PDIn當(dāng)且僅當(dāng)domα～imα，即存在一組大于0的數(shù) a1，a2，…，ar，b∈Xn，使得

證明“?”設(shè) α∈PDIn，且

其中 d1＜d2＜…＜dr與 ci＋1-ci＝di＋1-di，i＝2，3，…，r-1，故domα～imα.

記 a1＝c1，易得 ci＝a1＋ai，其中 ai＞0，i＝2，3，…，r.因?yàn)?ci-c1＝di-d1，所以 di＝d1＋ai，i＝2，3，…，r.令 d1＝b，即存在一組大于0 的數(shù) a1，a2，…，ar，b∈Xn，使得

同理可證，當(dāng)b1＞b2＞…＞br時(shí)，有domα～imα，且存在一組大于 0 的數(shù) a1，a2，…，ar，b∈Xn，使得

“?”顯然成立.

引理 3Ar?Ar＋1Ar＋1，1≤r≤n-2.

證明設(shè) α∈PDIn，且 α∈Ar，r＜n-1，

記

下面對(duì)［α］分情況討論.

情形1 若 d1，d2，…，dr中至少有2個(gè)數(shù)大于1.

設(shè)大于 1 的 2 個(gè)數(shù)為 di、dj，1≤i，j≤r-1，且i＜j.因?yàn)?ai＋1-ai＝di≥2，所有可取 k1，ai＜k1＜ai＋1，又因?yàn)椋黚i＋1-bi｜＝di≥2，根據(jù)引理 1 和 2 可知，bi＋1、bi之間存在 k1，使得

顯然 β∈Ar＋1.因?yàn)椋黚j＋1-bj｜＝dj≥2，所以在 bj＋1，bj之間存在數(shù) k2.令

顯然 δ∈PDIn，δ∈Ar＋1.于是可驗(yàn)證 α＝βδ.

情形 2 若 d1＝d2＝…＝dr＝1.

1）若 a1＝b1＝1，那么

因?yàn)?r≤n-2，即 r＋2≤n.則

使得 α＝βδ.

2）a1≠1，n；b1≠1，n；ar≠1，n；br≠1，n.若b1＜b2＜…＜br，則

使得 α＝βδ.若 b1＞b2＞…＞br，則

使得 α＝βδ.

3）a1＝1；b1≠1，n；ar≠1，n；br≠1，n.那么

若 b1＜b2＜…＜br，則

使得 α＝βδ.若 b1＞b2＞…＞br，則

使得 α＝βδ.

4）a1≠1，n；b1≠1，n；ar≠1，n；br＝n.設(shè)

因?yàn)?r≤n-2，即 n-r-1≥1，則

使得 α＝βδ.

5）a1＝1；b1≠1，n；ar≠1，n；br＝n.設(shè)

因?yàn)?r≤n-2，所以2 ＋（r-1）≤n-1，且

使得α＝βδ.而β，δ是上面所討論的情況之一，所以α仍可由 Ar＋1生成.

同理可證d1＝d2＝…＝dr＝1時(shí)的其他情況，以及 d1，d2，…，dr中只有一個(gè)大于 1，其他都等于1的情況.記

其中 2≤r≤n，r-1≤d ≤n-1.

引理 4S（2，d）＝2（n-d）.

證明設(shè)

因?yàn)閐omα～imα，即｜x-y｜＝d，那么對(duì)于x有以下3種情況.

1）當(dāng) x≤d，且 x＋d≤n或 x＋d＞n，且 x-d≥1時(shí)，若x取定，則y只有一種取法；

2）當(dāng)x-d≥1，且 x＋d≤n時(shí)，若 x取定，則 y只有2種取法；

3）當(dāng)x-d＜1，且x＋d＞n時(shí)，若x取定，則沒(méi)有相應(yīng)的y與之對(duì)應(yīng).

當(dāng)n＝2k時(shí)，對(duì)d分以下3種情況進(jìn)行討論.

1）d＜k，那么滿足條件x≤d且x＋d≤n或x＋d ＞n 且 x-d≥1 的 x有1，2，…，d，n，n-1，…，n ＋1-d，共有2d；

滿足條件 x-d＜1且x＋d＞n的x是不存在的；

滿足條件x-d≥1且x＋d≤n的 x有1＋d，2＋d，…，n-d，共有 n-2d個(gè).

根據(jù)以上所總結(jié)的x的3種情況，可得d＜k時(shí)，有

2）d＝k，對(duì)于滿足條件x≤d且x＋d≤n或x＋d＞n且x-d≥1的x顯然有n個(gè)，即當(dāng)d＝k時(shí)，

S（2，d）＝n＝2n-2k＝2（n-k）＝2（n-d）.

3）d＞k，滿足條件x-d≥1且x＋d≤n的x不存在.

滿足條件x≤d且x＋d≤n或x＋d＞n且xd≥1 的 x有1，2，…，n-d，1 ＋d，2 ＋d，…，n，共有2（n-d）個(gè).因此，當(dāng) d ＞k時(shí)，S（2，d）＝2（n-d）.

綜上所述，可得 n＝2k時(shí)，有 S（2，d）＝2（n-d）.同理可證，當(dāng) n＝2k＋1 時(shí)，也有 S（2，d）＝2（n-d）.

引理 5S（r，d）＝2（n-d）.

證明設(shè)

因?yàn)閕mα～domα，如果先確定 a1α、arα，由引理 1和 2 可知，α唯一確定.從而求 S（r，d），只需求集合S（2，d），根據(jù)引理 4，S（r，d）＝2（n-d）.

設(shè)

引理 6若 Hij≠?（i，j∈Xn）當(dāng)且僅當(dāng) i＝j(luò)或i＋j＝n＋1.Hij≠?時(shí)，最多只有2個(gè)元.

證明由引理 5，可知每個(gè) Hij，i，j＝1，2，…，n中最多只有2個(gè)元.

“?”設(shè) α∈Hij.

情形 1 2≤i≤n-1，有

從而，

因?yàn)閐omα～imα，所以

因此，

即 i＝j(luò)或 i＋j＝n＋1.

當(dāng) i＝j(luò)時(shí)，

當(dāng)i＋j＝n＋1時(shí)，

情形 2 當(dāng) i＝1 或 n，則［domα］＝［1，1，…，1］，故［imα］＝［1，1，…，1］，進(jìn)而得 j＝1 或n，即i＝j(luò)或i＋j＝1 ＋n.

因?yàn)?/p>

所以，此時(shí)Hij中有2個(gè)元.

“?”顯然成立.

2 主要結(jié)果

定理 1rank（PDIn）＝n.

證明當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，根據(jù)引理6和其證明過(guò)程，可得An-1的蛋盒圖有如下性質(zhì)：

2）Hnn中只有2個(gè)元，且分別為

3）H11中只有2個(gè)元，且分別為

4）H1n中只有2個(gè)元，且分別為

5）Hn1中只有2個(gè)元，且分別為

8）除了以上的H類外，其他的都是空.因?yàn)椋é?，β）∈D?α≈β，所以

構(gòu)成D類.An-1中包含個(gè)D類，這些D類可分為3種情況.

根據(jù)以上的討論，可知這個(gè)D類只有4個(gè)元，分別在

中，且為

4個(gè)元中2個(gè)元為冪等元，由Clifford定理可知，冪等元可由其他2個(gè)元生成.

情形 3 H11、H1n、Hnn和 Hn1構(gòu)成一個(gè)D類.

在H11，Hnn中各有一個(gè)冪等元.根據(jù)Clifford定理可得

或

可生成D類的其它元.設(shè)α、β屬于不同的D類，因?yàn)?/p>

所以αβ、βα不屬于 An-1.綜上所述和引理 3，易得PDIn的一個(gè)最小生成集.

同理可證，n為偶數(shù)也可得到相同的生成集S，從而rank（PDIn）＝n.

根據(jù)定理1的證明過(guò)程，易得PDIn的最小生成集S.

定理 2PDIn的最小生成集S有如下形式之一.

定理3PDIn的極大逆子半群K有如下形式：

證明屬于不同的D類的α、β，根據(jù)定理1的證明過(guò)程，可知αβ、βα不屬于 An-1.

當(dāng)K＝K（n，n-2）∪An-1＼｛α，α-1｝，α∈Hi（n＋1-i），i＝2，3，…，n-1時(shí)，顯然為 PDIn的極大逆子半群.當(dāng)

K＝K（n，n-2）∪ An-1＼（H1n∪ Hn1），設(shè)B為PDIn的逆子半群，且K?B.不妨設(shè)

那么必有它的逆元也屬于B，即

有

根據(jù)定理1的證明過(guò)程，可知

也可以由B的元素生成.進(jìn)而B＝PDIn，即K為極大逆子半群.

同理，可證其他2種情況.

致謝凱里學(xué)院校級(jí)規(guī)劃課題（Z1701）對(duì)本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意！