車輛橫向穩(wěn)定性自適應(yīng)預(yù)測控制＊

楊維妙 張建武 馮鵬鵬

（上海交通大學(xué)，上海 200240）

1 前言

車輛橫向穩(wěn)定性控制歷來是研究人員關(guān)注的重點。傳統(tǒng)的穩(wěn)定性控制系統(tǒng)諸如防抱死制動系統(tǒng)（Antilock Brake System，ABS）、牽引力控制系統(tǒng)（Traction Control System，TCS）以及電子穩(wěn)定性控制系統(tǒng)（Electronic Stability Program，ESP）等，都是基于車輛的機理模型進行設(shè)計的[1-3]。然而，由于車輛模型具有復(fù)雜性，這些系統(tǒng)在建模過程中會不可避免地進行簡化，引起模型精度的降低，進而影響控制器的有效性。另一方面，在控制對象的建模中很難考慮輪胎力與車速等時變因素帶來的影響，使得實際控制器對于非定常模型的適應(yīng)性大幅降低。因此，如何設(shè)計一種考慮時變模型特性且精度較高的穩(wěn)定性控制器成為車輛動力學(xué)領(lǐng)域中的研究難點。

相比于傳統(tǒng)的車輛控制器設(shè)計方法，基于子空間模型辨識的控制器近些年來受到極大的關(guān)注[4-5]。該方法基于子空間理論，利用系統(tǒng)的輸入、輸出數(shù)據(jù)對系統(tǒng)模型進行辨識，結(jié)合線性二次高斯（Linear Quadratic Gaussian，LQG）準(zhǔn)則[6]，可以實現(xiàn)一種基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的無模型廣義預(yù)測控制器。目前，該方法在車輛動力學(xué)領(lǐng)域應(yīng)用的局限性在于：傳統(tǒng)子空間辨識理論的適用對象為開環(huán)線性系統(tǒng)，對于“人-車-路”閉環(huán)的非線性系統(tǒng)，其辨識精度大幅降低[7]；在子空間預(yù)測控制器設(shè)計的經(jīng)典子空間辨識方法中大量使用奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD）和RQ分解等數(shù)值計算工具，計算量巨大，不利于在線遞推實現(xiàn)[8]。綜合以上兩點，本文基于子空間模型辨識理論，設(shè)計出一種適用于非線性閉環(huán)車輛動力學(xué)系統(tǒng)的自適應(yīng)預(yù)測控制器，并結(jié)合7自由度整車動力學(xué)模型進行數(shù)值仿真驗證。

2 整車動力學(xué)建模及驗證

2.1 7自由度車輛動力學(xué)模型

整車動力學(xué)模型的目的是準(zhǔn)確反映車輛的動力學(xué)特性，以便作為穩(wěn)定性控制器的驗證平臺。針對車輛穩(wěn)定性控制器研究，相對快速有效的數(shù)值建模方法，如Simulink 建模方法，目前在車輛動力學(xué)領(lǐng)域被廣泛采用?？紤]到建模復(fù)雜度，7自由度車輛動力學(xué)模型具有綜合的性能優(yōu)勢，在考慮4 個車輪運動的同時，加入了車輛縱向、側(cè)向以及橫擺方向的運動，能夠十分準(zhǔn)確地反映車輛行駛過程中的橫向動力學(xué)特性，該模型如圖1所示。

圖1 整車動力學(xué)模型

基于汽車系統(tǒng)動力學(xué)相關(guān)知識，本文在MATLAB/Simulink環(huán)境中建立7自由度車輛模型：

式中，m為整車質(zhì)量；Bf、Br分別為前、后軸的輪距；a、b分別為質(zhì)心與前、后軸的距離；Iz為車輛的橫擺轉(zhuǎn)動慣量；J為車輪的轉(zhuǎn)動慣量；Rd為輪胎滾動半徑；δ為車輛前輪轉(zhuǎn)角；Vx、Vy分別為車輛的縱向、側(cè)向車速；γ為橫擺角速度；ωij（i=f,r 分別代表前、后軸；j=l,r 分別代表左、右輪）為各車輪的轉(zhuǎn)速；Tdfj為左、右前輪等效驅(qū)動力矩；Tbij為各車輪施加的制動力矩；Fxij、Fyij分別為各車輪上由PAC2002 輪胎模型計算得到的縱向力與側(cè)向力。

2.2 道路試驗

本文根據(jù)國際標(biāo)準(zhǔn)ISO 3888:1999 以及ISO/DIS 7401:2000，在襄樊汽車試驗場利用某型前驅(qū)轎車分別進行了急劇雙移線（Double Lane Change，DLC）和轉(zhuǎn)向盤轉(zhuǎn)角階躍輸入道路試驗，試驗及相關(guān)數(shù)據(jù)采集設(shè)備如圖2所示。試驗過程中分別采集了車輛的質(zhì)心側(cè)偏角、橫擺角速度、轉(zhuǎn)向盤輸入轉(zhuǎn)角、縱向車速、側(cè)向車速以及側(cè)向加速度等信息，采樣周期為1 ms。

圖2 整車道路試驗及數(shù)據(jù)采集裝置

2.3 車輛模型驗證

以2.2 節(jié)中整車道路試驗采集的轉(zhuǎn)向盤轉(zhuǎn)角和車速等數(shù)據(jù)作為模型的輸入信息，選取車輛穩(wěn)定性研究中常用的橫擺角速度和車輛質(zhì)心側(cè)偏角作為輸出信息，基于7 自由度Simulink 模型進行了數(shù)值仿真，并結(jié)合道路試驗數(shù)據(jù)進行對比，結(jié)果如圖3 所示。根據(jù)仿真結(jié)果可知，所建立的車輛動力學(xué)模型基本能夠?qū)π旭傔^程中的車輛動力學(xué)特性進行較為準(zhǔn)確地描述。因此，可以作為后續(xù)穩(wěn)定性控制器設(shè)計時的驗證平臺。

圖3 2種工況下的仿真與試驗結(jié)果對比

3 自適應(yīng)預(yù)測控制器設(shè)計

3.1 子空間馬爾可夫參數(shù)估計

設(shè)車輛控制對象的狀態(tài)空間模型為：

式中，xT(t)∈Rn、yT(t)∈Rl、uT(t)∈Rm分別為系統(tǒng)的狀態(tài)、輸出和輸入向量；A∈Rn×n、B∈Rn×m、C∈Rl×n為系統(tǒng)模型矩陣；wT(t)∈Rn、vT(t)∈Rl為過程噪聲與測量噪聲。

基于卡爾曼濾波過程可將式（2）改為新息形式：

根據(jù)基于預(yù)測器的子空間辨識（Predictor Based Subspace Identification，PBSID）理論[9]，可將式（3）轉(zhuǎn)化為預(yù)測器形式，即

利用參考時刻k，將系統(tǒng)的數(shù)據(jù)分成“過去”和“將來”2 個數(shù)據(jù)集：和，將上式中的狀態(tài)方程不斷迭代，可得：

式中，p為過去數(shù)據(jù)集的長度。

當(dāng)p足夠大時，若的特征值位于單位圓內(nèi)（此條件為子空間辨識的后驗條件，在辨識過程中通過計算系統(tǒng)矩陣的特征值對其進行驗證），則，故：

式中，Γ∈Rlf×n為廣義能觀矩陣；H為托普利茲（Toeplitz）矩陣；Y、X、Zf、E為相應(yīng)的系統(tǒng)向量構(gòu)成的數(shù)據(jù)矩陣。

結(jié)合式（6），式（9）可轉(zhuǎn)化為：

式中，M為馬爾可夫（Markov）矩陣。

M的表達式為：

式中，mi為M的參數(shù)。

根據(jù)式（11），將式（9）左邊的y(t)展開，即可得：

通過式（12）即可利用最小二乘法，結(jié)合系統(tǒng)的輸入、輸出數(shù)據(jù)y(t)、u(t)對mi進行估計，進而構(gòu)造出M。

3.2 托普利茲矩陣H更新

對于能觀與能控性系統(tǒng)，?！蔙lf×n至少包含n個互不相關(guān)的行向量，根據(jù)辨識車輛模型結(jié)構(gòu)，可構(gòu)造出置換矩陣S∈Rlf×lf，實現(xiàn)如下分解：

式中，P為傳播因子矩陣[10]。

將式（13）帶入到式（14）中，則：

因此，有Ω2=PΩ1。由于向量Ω可利用系統(tǒng)數(shù)據(jù)以及馬爾可夫矩陣M計算求得，故可設(shè)計出一個二次準(zhǔn)則方程，對P進行求解：

同樣，利用最小二乘法即可求得式（16）中的傳播因子矩陣P，最終獲得廣義能觀矩陣Γ的遞推更新值。系統(tǒng)矩陣C可直接根據(jù)Γ的結(jié)構(gòu)求解計算：

同理，通過分析M的矩陣結(jié)構(gòu)，可以獲得系統(tǒng)矩陣A和B。進而根據(jù)式（11）構(gòu)造出托普利茲矩陣H。

3.3 自適應(yīng)預(yù)測控制器設(shè)計

根據(jù)上述遞推計算求得的M和H，并結(jié)合式（6）將式（8）的第1列展開，并忽略誤差項E，有：

式（18）即為基于子空間辨識的預(yù)測器形式。由預(yù)測器的結(jié)構(gòu)形式可知，在求得其系統(tǒng)參數(shù)矩陣并已知系統(tǒng)未來輸出的情況下，將遞推的子空間預(yù)測過程轉(zhuǎn)化為預(yù)測控制過程，即可設(shè)計出預(yù)測控制器，其邏輯關(guān)系如圖4所示。

圖4 子空間預(yù)測器與預(yù)測控制器

由于zT(t)=[uT(t)yT(t)]，因此式（18）中，

式中，?為Penrose-Moore逆。

若已知系統(tǒng)的未來參考輸出r以及過去的輸入、輸出數(shù)據(jù)?，則可利用LQG 準(zhǔn)則計算系統(tǒng)的預(yù)測控制率uf：

式中，α為遺忘因子。

最小化上述方程，則可求得車輛自適應(yīng)預(yù)測控制律：

至此，即可利用遞推子空間模型辨識算法，針對車輛的橫向穩(wěn)定性，提出具有模型自適應(yīng)特性的預(yù)測控制器，其算法流程如圖5所示。

圖5 基于子空間辨識的自適應(yīng)預(yù)測控制器算法流程

4 數(shù)值仿真驗證

根據(jù)前文推導(dǎo)出的自適應(yīng)預(yù)測控制算法，針對車輛的橫向穩(wěn)定性，可建立如圖6 所示的控制器架構(gòu)，其中系統(tǒng)輸出量為橫擺角速度與質(zhì)心側(cè)偏角，控制量為車輛的前輪轉(zhuǎn)角。其控制原理為：根據(jù)車輛的參考輸入以及系統(tǒng)當(dāng)前時刻和“過去”p段時間窗的輸入、輸出數(shù)據(jù)，利用遞推子空間辨識算法對預(yù)測控制器的模型矩陣進行實時辨識與構(gòu)造，利用辨識出的控制器模型計算出最優(yōu)的前輪轉(zhuǎn)角輸入，從而對車輛的橫向穩(wěn)定性進行控制。其中，參考橫擺角速度通過經(jīng)典的2自由度線性車輛模型計算獲得。文獻[11]指出，應(yīng)當(dāng)在行駛過程中使質(zhì)心側(cè)偏角盡量保持較小的值，進而保證車輛的安全性。因此，參考質(zhì)心側(cè)偏角在數(shù)值仿真過程中取值為0。

根據(jù)上述控制架構(gòu)，基于7自由度整車模型，利用道路試驗數(shù)據(jù)分別進行了雙移線和轉(zhuǎn)向盤轉(zhuǎn)角階躍輸入工況的數(shù)值仿真驗證。仿真過程中的車速為100 km/h，路面附著系數(shù)為0.8，均與道路試驗保持一致。圖7 給出了兩種工況下子空間算法辨識出的系統(tǒng)矩陣特征值。從仿真結(jié)果可以看出，在辨識過程中，系統(tǒng)矩陣的特征值始終位于單位圓內(nèi)，對子空間算法的充分條件進行了后驗，保證了辨識過程的可行性。

圖6 車輛橫向穩(wěn)定性控制架構(gòu)

圖7 2種工況下仿真過程中的辨識系統(tǒng)矩陣的特征值

根據(jù)仿真結(jié)果，利用β-γ相平面法[12]對車輛動力學(xué)仿真過程中的穩(wěn)定性進行了分析，結(jié)果如圖8 所示，其中陰影部分為由文獻[12]方法確定的穩(wěn)定性區(qū)域。顯然，當(dāng)車輛處于開環(huán)無控制狀態(tài)時，車輛的橫向動力學(xué)特性處于非穩(wěn)定性區(qū)域，而本文設(shè)計的自適應(yīng)預(yù)測控制則可以使車輛始終保持在穩(wěn)定區(qū)域。

圖9a、圖9b、圖10a和圖10b分別給出了2種工況下車輛自適應(yīng)預(yù)測控制器的控制效果。車輛在高速行駛過程中，若僅依靠駕駛員控制轉(zhuǎn)向盤（即處于開環(huán)無控制狀態(tài)），橫擺角速度會出現(xiàn)很大的超調(diào)量，同時，質(zhì)心側(cè)偏角的幅值也相對較大，不利于車輛的穩(wěn)定性和安全性。相比于開環(huán)過程，本文提出的自適應(yīng)預(yù)測控制器能夠保證橫擺角速度準(zhǔn)確地跟蹤參考模型，同時減小質(zhì)心側(cè)偏角的幅值，大幅提高了車輛的橫向穩(wěn)定性。

此外，圖9c、圖9d、圖10c 以及圖10d 分別給出了2種工況下的車輛前輪轉(zhuǎn)角與輪胎側(cè)偏角。由仿真結(jié)果可以看出，相比于無控制過程，預(yù)測控制器能夠降低車輛穩(wěn)定所需的轉(zhuǎn)向盤轉(zhuǎn)角，并能減小前輪的側(cè)偏角，保證了車輛穩(wěn)定性的同時能夠減小輪胎對于側(cè)向力的利用率，根據(jù)輪胎的“摩擦圓”特性可知，此舉能夠降低主動轉(zhuǎn)向過程對于制動力的影響，保證車輛行駛過程中具有足夠的制動性能。

圖8 2種仿真工況下的車輛穩(wěn)定性相平面

圖9 雙移線工況仿真結(jié)果

圖10 轉(zhuǎn)向盤轉(zhuǎn)角階躍輸入工況仿真結(jié)果

5 結(jié)束語

本文基于子空間理論和傳播因子方法，提出了一種基于遞推子空間模型辨識的自適應(yīng)預(yù)測控制算法，并對算法的實現(xiàn)過程進行了詳細(xì)推導(dǎo)。根據(jù)算法特征可知，基于子空間的自適應(yīng)預(yù)測控制器具有純數(shù)據(jù)驅(qū)動、無需模型的先驗知識等性能優(yōu)勢，并且具有一定的模型自適應(yīng)特性。

針對車輛的橫向穩(wěn)定性，本文設(shè)計了基于自適應(yīng)預(yù)測控制器的架構(gòu)，并進行了整車動力學(xué)數(shù)值仿真。利用仿真過程中辨識模型的系統(tǒng)特征值，對子空間算法的可行性進行了后驗。根據(jù)雙移線工況和轉(zhuǎn)向盤轉(zhuǎn)角階躍輸入工況下的仿真結(jié)果可知，結(jié)合前輪主動轉(zhuǎn)向的自適應(yīng)預(yù)測控制器能夠有效保證車輛行駛的穩(wěn)定性，并降低對于車輛前輪制動性能的影響。