D4-δ-蓋及其應用

王永鐸, 王亞婷

(蘭州理工大學 理學院, 甘肅 蘭州 730050)

在本文中,R都是有單位元的結合環(huán),所有的模都是右R-模.Mn表示有限個M做直和.Hom(M,N)表示M到N的同態(tài)集.Rn表示R上的n階矩陣環(huán).N≤M表示N是M的子模,N≤⊕M表示N是M的直和項.作為投射模的推廣,Ding等[1]引入了D4-模的概念.即稱模M是D4-模,若M=A⊕B,A,B≤M,且f是A到B的模同態(tài),Im(f)≤⊕M,則Ker(f)≤⊕M.在D4-模概念的基礎上又引入了D4-蓋的概念.即稱(F,g)為模M的D4-蓋,若F是D4-模,g是F到M的滿同態(tài),且Ker(g)?F.并用D4-蓋刻畫了完備環(huán),半完備環(huán)和半正則環(huán).Zhou[2]引入δ-小子模和投射δ-蓋的概念.即稱M的子模K在M中是δ-小的(記作K?δM),若對于使M/L奇異的M的任意真子模L,都有M≠K+L.稱(P,p)為模M的投射δ-蓋,若P是投射模,p是P到M的滿同態(tài),且Ker(p)?δF.并用投射δ-蓋刻畫了δ-完備環(huán)(半完備環(huán),半正則環(huán)).受到文獻[1-2]的啟發(fā),本文引入了D4-δ-蓋的概念.稱(F,g)為模M的D4-δ-蓋,若F是D4-模,g是F到M的滿同態(tài),且Ker(g)?δF.證明了若投射模F到模M存在滿同態(tài),則M有投射δ-蓋當且僅當F⊕M有D4-δ-蓋,并用D4-δ-蓋刻畫了δ-完備環(huán)(半完備環(huán),半正則環(huán)).未注明概念見文獻[3-6].

設R是環(huán),M是右R-模.

定義1[2]稱M的子模N在M中是δ-小的,如果對使得M/K奇異的M的任意真子模K都有K+N≠M.

定義2[2]稱R是δ-完備環(huán)(半完備環(huán),半正則環(huán)),若任意R-模(單R-模,循環(huán)表示R-模)有投射δ-蓋.

定義3稱M為D4-模,若M滿足以下等價條件之一:

1) 若M=A⊕B,其中A,B≤M,f是A到B的滿同態(tài),則Ker(f)≤⊕A;

2) 若M=A⊕B,其中A,B≤M,f是A到B的同態(tài),且Im(f)≤⊕B,則Ker(f)≤⊕A.

定義4[7]稱M是δ-完備的,若M的任意同態(tài)像有投射δ-蓋.

定義5[7]稱M是δ-補模,若對M的任意子模N,都存在X≤M使得M=N+X且N∩X?δX.此時,也稱X是N的δ-補.

定義6[7]稱M是δ-提升模,若對M的任意子模N,都存在分解M=A⊕B使A≤N且N∩B?δM.

定義7[7]稱M是δ-⊕-補模,若M的任意子模K都有δ-補X,使得X≤⊕M.

定義8[8]稱M是擬投射模,若λ:M→N是滿同態(tài),則Hom(M,λ):Hom(M,M)→Hom(M,N)也是滿同態(tài).

定義9[8]稱(F,g)為M的擬投射δ-蓋,若F是擬投射模,g是F到M的滿同態(tài),且Ker(g)?δF.此時,也稱F為模M的擬投射δ-蓋.

定義10稱(F,g)為M的D4-δ-蓋,若F是D4-模,g是F到M的滿同態(tài),且Ker(g)?δF.也稱F為模M的D4-δ-蓋.

引理1[2]設N≤M,則N?δM?若N+X=M,則存在N的投射半單子模Y,使得M=X⊕Y.

定理1設g是模F到模M的滿同態(tài),且F是投射模.則M有投射δ-蓋當且僅當F⊕M有D4-δ-蓋.

證明“?”設(P,f)是M的投射δ-蓋,idF是F到F的恒等同態(tài),則(F⊕P,idF⊕f)是F⊕M的D4-δ-蓋.

“?” 設f:P→F⊕M是F⊕M的D4-δ-蓋,πF是F⊕M到F的自然投影,則πFf是P到F的滿同態(tài).又因為F是投射模,所以存在F到P的同態(tài)λ使得圖1可換:

令K=Ker(πFf),下證K是F⊕M的投射δ-蓋.由圖1知P=Im(λ)+K,πFfλ=idF,從而πFf可裂,故P=Im(λ)⊕K.記πM為F⊕M到M的自然投影,令θ=πMf|k,其中f|k為f在K上的限制同態(tài).設任意m∈M,由f是滿同態(tài)知存在p∈P使得f(p)=(0,m).因為P=Im(λ)⊕K,可記p=(λ(r),k),其中r∈F,k∈K,所以(0,m)=f(p)=(fλ(r),f(k)).因為πF(0,m)=0,所以(πFfλ(r),πFf(p))=(r,0)=0,因此p=(0,k).即θ為K到M的滿同態(tài).任取N≤K使得K/N奇異,且K=N+Ker(θ).因為P=Im(λ)⊕K=(Im(λ)⊕N)+Ker(θ),所以(Im(λ)⊕K)/(Im(λ)⊕N)?K/N奇異,又因Ker(θ)≤Ker(f)?δP,故Ker(θ)?δP,因此K=N.從而Ker(θ)?δK.因為πFf是P到F的滿同態(tài),所以據(jù)同態(tài)基本定理有P/K?F.又因為P是投射模,所以P=K⊕T,T≤M,故P/K?T,因此T?F是投射模.又因為存在F到M的同態(tài)g,所以存在T到M的同態(tài)g′.由T是投射模知存在T到K的同態(tài)β使得θβ=g′.因此有K=Im(β)+Ker(θ),且Ker(θ)?δK.由引理1知存在Ker(θ)的投射半單子模Y使得K=Im(β)⊕Y,因此P=Im(β)⊕Y⊕T.設πT是Y⊕T到T的自然投影,則βπT是Y⊕T到Im(β)的滿同態(tài).又因為P是D4-模,所以對Im(β)上的恒等同態(tài)id存在Im(β)到Y⊕T的同態(tài)h使βπTh=id.因此Im(β)同構于Y⊕T的直和項,故Im(β)是投射模,從而K=Im(β)+Y是投射模.

引理2[2]設P是投射模,N≤P.則P/N有投射δ-蓋?存在A≤N和N∩B?δP使得P=A⊕B.

推論1設M是投射模,N≤M.則M是δ-提升模當且僅當M⊕(M/N)有D4-δ-蓋.

證明“?” 設M⊕(M/N)有D4-δ-蓋.由定理1知M/N有投射δ-蓋,設為(P,p).再由引理2知存在M的分解M=A⊕B,A,B≤M且B≤N,使得(A,p|A)是M/N的投射δ-蓋.因此N∩A?δA.故M是δ-提升模.

“?” 設η是M到M/N的自然滿同態(tài),M=X⊕Y,其中X,Y≤M,且X≤N,N∩Y?δY.則(Y,η|Y)是M的投射δ-蓋.若idM是M上的恒等態(tài)射,則(M⊕Y,idM⊕η|Y)是M⊕(M/N)的投射δ-蓋.特別地,也是D4-δ-蓋.

引理 3δ-直和補模保持有限直和.

證明類似于文獻[9]中定理1.4的證明.

推論2若M是投射模,則M⊕M的任意商模有D4-δ-蓋當且僅當M是δ-提升模.

證明“?” 由推論1知.

“?” 因為M是δ-提升模,所以是δ-直和補模.由引理3知M⊕M是δ-直和補模.又因為M是投射模,所以由引理2知M⊕M的任意商模有投射δ-蓋.特別地,也是D4-δ-蓋.

定理2設M是投射模.則下列敘述等價:

1)Mn是δ-完備模;

2)Mn的任意商模有D4-δ-蓋;

3)Mn是δ-提升模;

4)M是δ-提升模.

證明1)?2),3)?4) 顯然.

2)?3) 由推論1知.

4)?1) 若M是δ-提升模,則M是δ-直和補模,由引理3知Mn是δ-直和補模.因為M是投射模,所以Mn是投射模.則由推論2知Mn的任意商模有投射δ-蓋.

引理4[8]設λ是模P到模M的滿同態(tài).則λ可裂當且僅當P⊕M是擬投射模.

定理3設λ是投射模P到模M的滿同態(tài).則M有投射δ-蓋當且僅當P⊕M有擬投射δ-蓋.

證明“?” 類似于定理1的證明.

“?” 設(Q,μ)是P⊕M的擬投射δ-蓋,πP是P⊕M到P的自然投影.則πPμ是Q到P的滿同態(tài).由P的投射性知Q?P⊕W,其中W=Ker(πPμ).不失一般性,假設Q=P⊕M,μ=idP⊕μ|W,其中idP是P上的恒等同態(tài),μ|W是μ在W的限制同態(tài).因此μ|W是W到M的滿同態(tài)且Ker(μ|W)?dW.由P的投射性可知存在P到W的同態(tài)β使得λ=β(μ|W).因此W=Im(β)+Ker(μ|W),因為Ker(μ|W)?δW,所以由引理1知存在Ker(μ|W)的投射半單子模N使得W=Im(β)⊕N.又因為Q=P⊕W,且Q是擬投射模,所以W是擬投射模.又因為W=Im(β)⊕N,所以Im(β)是擬投射模.再由引理4知β可裂,即Im(β)同構于P的直和項,故Im(β)是投射模,從而W=Im(β)⊕N是投射模.

定理4設R是環(huán).則下列敘述等價:

1)R是δ-半完備環(huán);

2) 任意n≥1,循環(huán)Rn-模有擬投射δ-蓋;

3) 存在n>1使任意循環(huán)Rn-模有擬投射δ-蓋;

4) 每個有限生成R-模有D4-δ-蓋;

5) 每個由兩個元素生成的R-模有D4-δ-蓋;

6) 任意n≥1,循環(huán)Rn-模有D4-δ-蓋;

7) 存在n>1使任意循環(huán)Rn-模有D4-δ-蓋.

證明2)?3),1)?4)?5),6)?7) 顯然.

1)?2) 因為R是δ-半完備環(huán),所以Rn是δ-半完備環(huán),故對任意n≥1,循環(huán)Rn-模有擬投射δ-蓋.

5)?1) 由推論2知RR是δ-提升模.因為R是投射模,所以由引理2知R是δ-半完備環(huán).

1)?6) 由1)和3)等價知.

7)?1) 類似于3)?1)的證明.

引理 5[8]設R是環(huán).則下列敘述等價:

1)R是δ-完備環(huán);

2) 每個半單R-模有投射δ-蓋;

3)R是δ-半完備環(huán),且對任意R-模M有δ(M)?δM(其中δ(M)=∑{L≤M∣L?δM}).

定理5設R是環(huán).則下列敘述等價:

1)R是δ-完備環(huán);

2) 每個R-模有D4-δ-蓋;

3) 每個有限生成的R-模有D4-δ-蓋,且對任意R-模M有δ(M)?δM.

證明1)?2) 顯然.

2)?3) 因為R是δ-完備環(huán),所以任意半單R-模有投射δ-蓋,再由引理5知3)成立.

3)?1) 因為任意有限生成的R-模有D4-δ-蓋,所以R是δ-半完備環(huán),由引理5知1)成立.

定理6設R是環(huán).則下列敘述等價:

1)R是δ-半正則環(huán);

2) 任意有限表示R-模有D4-δ-蓋.

證明1)?2) 顯然.

2)?1) 設M是有限表示R-模,g是自由模F到模M的滿同態(tài),且F⊕M有D4-δ-蓋.因此由定理1知M有投射δ-蓋,故R是δ-半正則環(huán).