關(guān)于懸臂梁受重錘沖擊時的動載荷系數(shù)分析

吳 曉

(湖南文理學(xué)院 機械工程學(xué)院, 湖南 常德 415000)

重物對梁結(jié)構(gòu)的沖擊問題是工程實際中較為常見的問題.戴震等[1]對等截面懸臂梁自由落體的沖擊實驗進(jìn)行了分析，姜侃等[2]對塑料懸臂梁沖擊強度檢測能力進(jìn)行了驗證，方緒文等[3]對微加工懸臂梁在橫向沖擊下的響應(yīng)進(jìn)行了理論分析.陳超等[4]為了檢驗材料力學(xué)動載荷計算理論，設(shè)計了一種沖擊動應(yīng)力實驗，并把實驗結(jié)果與有限元法、材料力學(xué)方法的計算結(jié)果進(jìn)行了對比，得出了實驗結(jié)果與材料力學(xué)計算結(jié)果相對差為14%～23%.本文指出了文獻(xiàn)[4]得出的實驗結(jié)果與材料力學(xué)計算結(jié)果相對差為14%～23%是不合理的，材料力學(xué)方法的計算結(jié)果與文獻(xiàn)[4]的實驗值誤差應(yīng)為50.20%～53.44%.在文獻(xiàn)[4]的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出了重錘對懸臂梁的沖擊力近似公式.當(dāng)重錘質(zhì)量小于懸臂梁質(zhì)量時，有限元解與本文近似解吻合的較好.當(dāng)重錘質(zhì)量大于懸臂梁質(zhì)量時，有限元解、本文近似解與文獻(xiàn)[4]實驗結(jié)果誤差較大.

1 理論計算公式

以圖1所示重錘沖擊的懸臂梁為例，列出重錘的運動方程及懸臂梁的動力控制方程分別為

(1)

式中：m為重錘質(zhì)量;N(t)為重錘對梁的沖擊力;y(x,t)為梁的動位移;E為梁彈性模量;I為梁截面慣性矩;ρ為梁材料的密度;A為梁截面積;δ(x)為狄拉克函數(shù).

梁的初始條件為

(2)

假設(shè)沖擊后重物與梁一起振動，由于重物對懸臂梁進(jìn)行沖擊時一階振型對沖擊力影響最大，因此可令懸臂梁的動位移表達(dá)式為

(3)

式(3)代入式(1)的第二分式中，利用伽遼金原理可得

(4)

由式(4)可以求得

(5)

利用式(2,5)可以求得懸臂梁的動位移表達(dá)式為

(6)

式(6)代入式(1)第一分式中可得沖擊力表達(dá)式為

N(t)=mg+m(V0ω0sinω0t-Kcosω0t)

(7)

由式(7)可求得最大沖擊力表達(dá)式為

(8)

由式(8)可知本文動載荷系數(shù)為

(9)

材料力學(xué)給出的動載荷系數(shù)為

(10)

式中:H為重錘落高;Δ為沖擊點處靜撓度.

2 沖擊力的仿真模型

為了計算重錘對懸臂梁的動應(yīng)變歷程曲線，采用ANSYS/LS-DYNA非線性顯示動力學(xué)分析軟件對重錘沖擊懸臂梁進(jìn)行動應(yīng)變分析.首先通過三維建模軟件SolidWorks對懸臂梁和重錘的幾何模型進(jìn)行建模.在保證計算的前提下，對重物及懸臂梁做了適當(dāng)簡化，減少了單元數(shù)目和求解時間.然后導(dǎo)入ANSYS/Workbench軟件對簡化后的幾何模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，模型采用自適合四面體網(wǎng)格劃分，單元類型為10節(jié)點的四面體單元，懸臂梁根部進(jìn)行了網(wǎng)格加密，單元總數(shù)為27 106,如圖2所示.

3 計算分析

以文獻(xiàn)[4]提供的計算參數(shù)為例進(jìn)行計算.懸臂梁參數(shù)：E=200 GPa，ρ=7.8×103kg/m3，l=0.3 m，b=0.03 m，H=0.013 m.

根據(jù)懸臂梁沖擊實驗的要求，將懸臂梁安裝底座的五個面定義為完全約束，不考慮底座彈性對實驗的影響，采用ANSYS/LS-DYNA求解器進(jìn)行求解，求解時間為36 ms，輸出文件時間間隔為0.01 ms.

本文方法式(9)、有限元法、材料力學(xué)式(10)計算的動載荷系數(shù)見表1和表2所列,各方法之間的誤差見表3和表4所列.重錘對懸臂梁沖擊的動應(yīng)變歷程曲線如圖3和圖4所示.

表1 動載荷系數(shù)(m=1.302 kg)

表2 動載荷系數(shù) (m=0.130 2 kg)

表3 計算誤差(m=1.302 kg)

表4 計算誤差(m=0.130 2 kg)

圖3和圖4給出了H分別為10、40、80 mm時的重錘對懸臂梁沖擊的動應(yīng)變歷程曲線，m=1.302 kg時重錘對懸臂梁沖擊的動應(yīng)變歷程曲線，要比m=0.130 2 kg時重錘對懸臂梁沖擊的動應(yīng)變歷程曲線陡峭，但是m=1.302 kg時重錘對懸臂梁沖擊的動應(yīng)變歷程曲線要比m=0.130 2 kg時重錘對懸臂梁沖擊的動應(yīng)變歷程曲線衰減的快.

對表1～4進(jìn)行分析可知,當(dāng)m=1.302 kg、有限元單元總數(shù)為27 106，H=10、40、80 mm時有限元法計算結(jié)果與實驗值的誤差分別為-30.30%、-10.58%、7.87%.而文獻(xiàn)[4]中當(dāng)m=1.302 kg、有限元單元總數(shù)為2 664，H=10、40、80 mm時有限元法計算結(jié)果與實驗值的誤差分別為0.51%、3.07%、2.48%.本文與文獻(xiàn)[4]采用相同的軟件對同樣的問題進(jìn)行了分析計算，文獻(xiàn)[4]有限元單元總數(shù)為2 664時的計算精度比本文有限元單元總數(shù)為27 106時的計算精度還要高得多，但是從理論上來說有限元單元總數(shù)為27 106時的計算精度顯然要高于有限元單元總數(shù)為2 664的計算精度.

當(dāng)m=1.302 kg、H=10、40、80 mm時，本文采用材料力學(xué)方法計算結(jié)果與實驗值的誤差分別為50.20%、51.80%、53.44%，文獻(xiàn)[4]采用材料力學(xué)方法計算結(jié)果與實驗值的誤差分別為18.28%、18.20%、19.15%.當(dāng)m=0.130 2 kg、H=10、40、80 mm時，本文采用材料力學(xué)方法計算結(jié)果與實驗值的誤差分別為95.46%、97.54%、117.70%，文獻(xiàn)[4]采用材料力學(xué)方法計算結(jié)果與實驗值的誤差分別為18.67%、18.10%、18.22%.都是采用材料力學(xué)經(jīng)典公式進(jìn)行計算(計算公式可見本文公式(10)亦即文獻(xiàn)[4]中理論動載荷系數(shù)公式).本文經(jīng)過反復(fù)驗算，文獻(xiàn)[4]的計算結(jié)果不合理.

進(jìn)一步對表1～4進(jìn)行分析可知,當(dāng)m=1.302 kg、H=10、40、80 mm時,本文計算結(jié)果與實驗值的誤差分別為31.21%、32.12%、33.33%.產(chǎn)生誤差的原因有幾種.一是本文研究重物對懸臂梁進(jìn)行沖擊時僅取一階振型.二是文獻(xiàn)[4]中研發(fā)的實驗裝置在重錘沖擊懸臂梁后，由于導(dǎo)向柱的限制，沖擊后重錘始終與梁接觸；而解析方法或數(shù)值法計算時則是認(rèn)為重錘對梁開始沖擊到?jīng)_擊力達(dá)到最大后，重錘才脫離梁此后梁開始獨自振動.三是重錘m=1.30 2 kg、梁質(zhì)量M=0.912 6 kg,這樣重錘對梁的沖擊實際上是彈塑性振動，文獻(xiàn)[4]中的實驗裝置測出的沖擊力也就是彈塑性振動狀態(tài)下的沖擊力，而解析方法或數(shù)值法計算出的則是彈性狀態(tài)下的沖擊力.余同希[5]已經(jīng)明確指出：“研究表明，對于一個鋼球自由下落撞到鋼靶上的情形，只要初始下落高度大于3 mm，靶內(nèi)一個小區(qū)域就會發(fā)生局部的屈服.所以，絕大部分工程中遇到的碰撞問題，都需要考慮碰撞一方或雙方的彈塑性變形.”

當(dāng)m=1.30 2 kg、H=40、80 mm時,本文有限元法計算結(jié)果與實驗值誤差在10%左右.而當(dāng)m=1.30 2 kg、H=10 mm時，本文采用有限元計算結(jié)果與實驗值誤差為-30.30%，這主要是重錘質(zhì)量大于梁質(zhì)量且重錘下落高度小，導(dǎo)向柱的限制沖擊后重錘始終與梁接觸，使得梁振幅很小所致.

當(dāng)m=0.130 2 kg、H=10、40、80 mm時，本文方法計算結(jié)果與有限元單元總數(shù)為27 106時的計算結(jié)果誤差分別為-5.07%、-5.18%、4.10%,兩種方法的計算結(jié)果吻合的較好.這主要是重錘質(zhì)量小于梁質(zhì)量，使梁在碰撞后發(fā)生彈塑性變形的區(qū)域變小，彈塑性變形對沖擊力的影響也變小.

另外，以文獻(xiàn)[4]的試驗裝置為例，當(dāng)重錘m=1.302 kg時，重錘靜置在懸臂梁自由端，此時圖1所示懸臂梁固定端的彎矩為Mmax=mgl=3.828 N·m.由文獻(xiàn)[6]可知重錘m=1.302 kg時，圖1所示懸臂梁固定端開始發(fā)生塑性變形時的彎矩為MP=1.859 N·m，懸臂梁固定端形成塑性鉸的極限彎矩為Ms=2.789 N·m.所以，當(dāng)重錘m=1.302 kg時，假設(shè)重錘靜置在懸臂梁自由端，此時圖1所示懸臂梁固定端的彎矩大于懸臂梁固定端形成塑性鉸的極限彎矩即Mmax>Ms，也就是說當(dāng)重錘m=1.302 kg靜置在懸臂梁自由端時，圖1所示懸臂梁固定端已經(jīng)形成塑性鉸.而本文及文獻(xiàn)[4]采用有限元法、材料力學(xué)方法對懸臂梁受重錘沖擊時動載荷系數(shù)的計算都是在線彈性范圍內(nèi)進(jìn)行的，這樣就導(dǎo)致了有限元法計算結(jié)果與實驗值有一定誤差，材料力學(xué)方法與實驗值產(chǎn)生更大的誤差.

4 結(jié)論

1) 重錘質(zhì)量小于梁質(zhì)量時，采用本文解析法僅用一階振型研究重錘對懸臂梁的沖擊力，即可得到精度較高的計算結(jié)果.

2) 當(dāng)重錘質(zhì)量大于梁質(zhì)量時，本文方法的計算結(jié)果與實驗值的誤差為31.21%～33.33%，遠(yuǎn)高于材料力學(xué)方法的計算結(jié)果.陳超等[4]采用有限元單元總數(shù)為2 664的計算結(jié)果、采用材料力學(xué)方法的計算結(jié)果不合理.

3) 當(dāng)重錘為m=1.302 kg時，重錘靜置在懸臂梁自由端，此時圖1所示懸臂梁固定端的彎矩大于懸臂梁固定端形成塑性鉸的極限彎矩.重錘m=1.302 kg靜置在懸臂梁自由端時，圖1所示懸臂梁固定端已經(jīng)形成塑性鉸.而本文及文獻(xiàn)[4]中有限元法、材料力學(xué)方法對懸臂梁受重錘沖擊時動載荷系數(shù)的計算都是在線彈性范圍內(nèi)進(jìn)行的，也導(dǎo)致了有限元法計算結(jié)果與實驗值有一定誤差，材料力學(xué)方法與實驗值產(chǎn)生更大的誤差.