類比思考 融會(huì)貫通

呂萬江

【摘 要】 在初中學(xué)習(xí)階段，對(duì)稱是一個(gè)很重要的數(shù)學(xué)概念，也是解決問題的思想方法。把對(duì)稱融入函數(shù)的問題，挖掘其對(duì)稱的特征，會(huì)有意想不到的解題效果。

【關(guān)鍵詞】 對(duì)稱;一次函數(shù);二次函數(shù);反比例函數(shù)

函數(shù)的學(xué)習(xí)是學(xué)生數(shù)學(xué)思維的一次飛躍，由原來常量的學(xué)習(xí)過渡到變量的學(xué)習(xí)，函數(shù)就是描述變化規(guī)律的一種數(shù)學(xué)模型。在初中學(xué)習(xí)階段接觸了三種函數(shù)：一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)。接下來，探究三種函數(shù)關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱的圖形的解析式。

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（x，y）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，-y）;點(diǎn)（x，y）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-x，y）;點(diǎn)（x，y）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-x，-y）。利用對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)的特征，就可以得出三種函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱圖形的解析式。接下來結(jié)合實(shí)例對(duì)三種函數(shù)分別進(jìn)行說明。

一、一次函數(shù)

例題1：已知直線y=2x-4，求此直線關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱的直線解析式。

方法一：欲求直線y=2x-4關(guān)于x軸對(duì)稱的直線解析式，學(xué)生通常的做法是依據(jù)數(shù)學(xué)的一個(gè)基本事實(shí)“兩點(diǎn)確定一條直線”，在直線y=2x-4上任取兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)（x，y）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，-y），得到這兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法，求得直線y=2x-4關(guān)于x軸對(duì)稱的直線解析式。利用同樣的方法，可以求出直線y=2x-4關(guān)于y軸、原點(diǎn)對(duì)稱的直線解析式。此方法易懂，有利于學(xué)生接受，但是運(yùn)算量較大，在運(yùn)算的過程中容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。

方法二：利用對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律，如果兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，那么這兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。順著這個(gè)思考方向，如果兩條直線關(guān)于x軸對(duì)稱，那么這兩條直線上所有的對(duì)稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)都相等，縱坐標(biāo)都是互為相反數(shù)。也可以這么理解：已知直線解析式與所求直線解析式中x的值是相同的，y的值是互為相反數(shù)的。所以可以不改變直線解析式y(tǒng)=2x-4中x的值，用-y代換解析中y的值，就可以得到直線y=2x-4關(guān)于x軸對(duì)稱的直線解析式。利用同樣的方法，不改變直線解析式y(tǒng)=2x-4中y的值，用-x代換解析中x的值，就可以得到直線y=2x-4關(guān)于y軸對(duì)稱的直線解析式;用-x代換解析中x的值，用-y代換解析中y的值，就可以得到直線y=2x-4關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的直線解析式。

二、二次函數(shù)

例題2：已知拋物線y=x2-2x+2，求此拋物線關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱的拋物線的解析式。

方法一：在沒有任何鋪墊的情況下出示此題，學(xué)生會(huì)從頂點(diǎn)式入手解決問題。把一般式y(tǒng)=x2-2x+2化成頂點(diǎn)式y(tǒng)=（x-1）2+1，而拋物線y=x2-2x+2關(guān)于x軸對(duì)稱的拋物線形狀大小與原拋物線相同，但開口方向相反，可知所求拋物線的二次項(xiàng)系數(shù)為-1，頂點(diǎn)坐標(biāo)與原頂點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于x軸對(duì)稱，因此，拋物線y=x2-2x+2關(guān)于x軸對(duì)稱的拋物線的解析為y=-（x-1）2-1。此方法直觀形象，也有利于學(xué)生接受。再用同樣的方法，可求拋物線y=x2-2x+2關(guān)于y軸、原點(diǎn)對(duì)稱的拋物線的解析式。

方法二：仿照例題1的方法一，學(xué)生需要找到原拋物線上的三個(gè)點(diǎn)，再根據(jù)點(diǎn)（x，y）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，-y），得到這三個(gè)點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法，求出拋物線y=x2-2x+2關(guān)于x軸對(duì)稱的拋物線的解析式，此方法計(jì)算量大，增加出錯(cuò)的機(jī)率。

方法三：仍然利用對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律，如果兩條拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，那么這兩條拋物線上所有的對(duì)稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)都相等，縱坐標(biāo)都是互為相反數(shù)，因此可以不改變拋物線解析式y(tǒng)=x2-2x+2中x的值，用-y代換解析中y的值，就可以得到拋物線y=x2-2x+2關(guān)于x軸對(duì)稱的拋物線的解析式。利用同樣的方法，就可以得到拋物線y=x2-2x+2關(guān)于y軸、原點(diǎn)對(duì)稱的拋物線解析式。此方法可以快速求得所要的解析式。

立足于學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)與經(jīng)驗(yàn)，在探究一次函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱圖形的解析式的過程中，不斷引導(dǎo)學(xué)生用類比的方法，通過點(diǎn)對(duì)稱輕松求出二次函數(shù)、反比例函數(shù)的對(duì)稱圖形的解析式，從中感悟共同之處，并體會(huì)其中所蘊(yùn)含的思想方法。