初談以進為退的數(shù)學解題策略

郭培俊

摘? 要：以進為退作為一種解題策略，與以退為進逆向。其策略機制是聯(lián)想，由局部聯(lián)想到整體。在《高等數(shù)學》解題中以進為退策略歸納為8種遞進方式：個別到普遍、靜態(tài)變動態(tài)、局部變整體、離散到連續(xù)、特殊到一般、具體到抽象、單一到無限、常量到變量。策略體現(xiàn)了形而上向形而下相互轉變的辯證哲學思想。解題從整體出發(fā)，高屋建瓴，視野更寬闊，思維起點高，指導性更強。以進為退，小題大做，似難實簡，能使問題迎刃而解。

關鍵詞：以進為退;高等數(shù)學;解題策略;聯(lián)想機制

中圖分類號：O13;G712? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：1672-0105（2020）04-0089-05

Discussion on the Strategy of Solving Mathematical Problems with Taking Advance as Retreat

GUO Pei-jun

（Zhejiang Industry &Trade Vocational College， Wenzhou， 325003， China）

Abstract：? Taking advance as retreat is a kind of problem solving strategy， it' s the opposite of taking retreat as advance. Its strategic mechanism is association， which means from the local to the whole. In solving problems in Advanced Mathematics， the strategy of advance as retreat can be summarized into eight progressive ways： individual to universal， static to dynamic， local to whole， discrete to continuous， special to general， concrete to abstract and single to infinite， constants to variables. The strategy shows the dialectical philosophy transition from the metaphysical to physical. The strategy starts from the whole， builds high-rise buildings， so the vision of strategy is wider， the starting point of the strategy is high， and the guidance is stronger. Taking advance as retreat， storm in a teacup， making real simple can solve the problems.

Key Words： taking advance as retreat; Advanced Mathematics; problem solving strategy; association mechanism

2019年浙江省專升本《高等數(shù)學》試卷中有一道關于級數(shù)的題目，其解答過程涉及到和函數(shù)的首項[s（0）]，好多學生認為是[s（0）=0]，而對正確答案[s（0）=1]卻不甚理解。其實，只需寫出級數(shù)的前三項[1， 1/2x， 1/3x2]，便不難得出正確結論。像這種由抽象的通項寫出具體的前幾項尋找答案，所采用的解題思路為“以退為進”策略，是把一般化為特殊、抽象化為具體、復雜化為簡單的一種策略，中學數(shù)學解題應用比較多，《高等數(shù)學》解題也會用到。本文要介紹的卻是與之相反的一種策略——“以進為退”策略，它在《高等數(shù)學》解題中比之于“以退為進”更重要。

一、以進為退解題策略研究現(xiàn)狀

以進為退本是一種戰(zhàn)略思想，與以退為進意思相反?！秾O子·行軍》篇說：“辭卑而益?zhèn)湔?，進也;辭強而進驅者，退也”，譯成“敵人派來的使者措詞謙恭卻正在加緊戰(zhàn)備的，是準備進攻;使者措詞強硬而擺出前進姿態(tài)的，是準備后退?！敝卑椎卣f“退是為了進、進是為了退”。

以退為進，作為一種解題策略，在中小學數(shù)學考試和競賽中屢見不鮮，備受青睞。學者王開榮把以退為進的數(shù)學解題策略歸納為“由整體向局部退;由一般向特殊退;由特殊進到一般，再向特殊退;巧法向通法退;由動向靜退;由多向少退”等6種[1]。王錫寧也有相似觀點，并增加一種“從高維、高次退到低維、低次”具體方法。近期，廣州市海珠區(qū)教育發(fā)展中心的陳永耀研究員組織研究了初中數(shù)學學困生的思維提升策略，得出提升成績?yōu)?0--60分的初中數(shù)學學困生的思維的一種有效策略是“分類指導、以退為進的精當轉化”[2]。這些都是可效可取的。然而，以進為退的策略也是一種非常重要的思想方法，特別是在《高等數(shù)學》教學和解題中不可缺或的、學生應知的一種重要思想和應會能力，可惜為許多教師所忽略，導致學生沒機會感受這一重要思想或感覺很難學習，干脆就省掉放棄。就中國知網(wǎng)、維普資源網(wǎng)、萬方期刊全文數(shù)據(jù)庫、龍源期刊網(wǎng)等學術期刊網(wǎng)搜索，還沒學者發(fā)表此類文章。雖然檢索到楊元金發(fā)表的《以進為退借助特殊到一般》其實談的還是以退為進策略。從論文發(fā)表角度審視，研究以進為退策略解題還處于零狀態(tài)。

正如解題方法有分析與綜合一樣，以退為進和以進為退是兩種并存策略，本文擬對以進為退解題策略進行初次歸納，并用《高等數(shù)學》舉例來說明。

二、以進為退解題策略機制

事物是聯(lián)系的、統(tǒng)一的。事物往往由多種層次和多樣結構組成，卻以不同的層面、局部展現(xiàn)，而其他層面和局部總是隱藏其中。同一事物，當人們已經(jīng)認識透徹了，即使它僅呈現(xiàn)冰山之一角，只要露出了端倪，人們便可做出肯定判斷，其他隱藏部分也就能推知出來?？捎萌缦潞锨橥评砟Ｊ奖硎荆?/p>

聯(lián)想，是以進為退解題策略機制。著名數(shù)學教育家G·波利亞在《怎樣解題》一書中提到：“題目的變化必不可少，這個事實可以用不同的方式進行解釋。我們記憶事情是通過一種叫做“思維聯(lián)想”的聯(lián)系活動來進行的。----我們記憶中現(xiàn)存的東西往往使我們回憶起在以前某種情況下與它有聯(lián)系的東西。變化題目時，我們引入新的內(nèi)容，從而建立了新的聯(lián)系，產(chǎn)生聯(lián)系與我們的題目有關的各元素的新的可能性。”[3]波利亞在遵循數(shù)學嚴密性同時，也非常注重合情推理在數(shù)學解題中的應用，并為此專門寫了二卷《數(shù)學與猜想》來推介他的解題模式。

我國數(shù)學教育家朱華偉研究員在《數(shù)學解題策略》第6章“從整體上看問題”中寫道：解數(shù)學題，常?；麨榱悖箚栴}變得簡單，以利問題的解決。不過，有時則反其道而行之，需要由“局部”到“整體”，站在整體的立場上，從問題的整體考慮，綜觀全局研究問題，通過研究整體結構、整體形式來把握問題的本質，從中找到解決問題的途徑。注意從整體上看問題，即著眼于問題的全過程，抓住其整體的特點，往往能達到化繁為簡、變難為易的目的，促使問題的解決[4]。

三、以進為退解題策略遞進方式

根據(jù)上述解題機制，解題遇到特殊問題，可以先進到一般情況，用一般性的規(guī)律和知識去認識處理問題，得到更廣泛意義下的結果，進而得到一類問題的解題通法，然后再退回到特殊情況，這樣處理問題，思維起點高，指導性強，可以真正做到舉一反三，觸類旁通。這就好比一塊石頭，自己很難動起來，但把它置于或遇到滾滾洪流（如泥石流），它便隨流而動。在《高等數(shù)學》解題過程中，以進為退策略初步歸納為以下6種遞進方式。

（一）由數(shù)上升為式——個別到普遍

[ 0 1x（1-x）50dx]題目中出現(xiàn)個別具體的數(shù)字，這個數(shù)字過于狹隘，其實沒有代表性，不如進而擴大至一般化，用字母代替是最好的方法，形成強勢攻略。各個擊破，不如一網(wǎng)打盡。

[例1]? 計算

分析：觀察被積函數(shù)，兩個因式相加為1，與積分區(qū)間也有關聯(lián)。并且因式[（1-x）]配50次冪，而簡單因式[x]則只有1次冪，聯(lián)想到證明題

[ 0 1xm（1-x）ndx= 0 1xn（1-x）mdx]

這里，兩式[xm（1-x）n]與[xn（1-x）m]對應方冪交換以后積分結果不變，由此可進行簡化計算。先把題目擴展至一般情況并證明之。

證明：設[1-x=t]，則[x=1-t， dx=-dt]

于是

[ 0 1xm（1-x）ndx=- 1 0（1-t）mtndt= 0 1（1-t）mtndt= 0 1xn（1-x）mdx]

所以當[m=1，n=50]時，應用上式便得

[ 0 1x（1-x）50dx= 0 1x50（1-x）dx= 0 1（x50-x51）dx=151x51-152x5210=151-152=12652]

（二）由代數(shù)動化為函數(shù)——靜態(tài)變動態(tài)

字母、代數(shù)式都是靜止的，代表的幾何意義往往是一點。而函數(shù)卻是用來描述運動的量，代表的幾何意義是動點的軌跡。運動包含了靜止，靜止是運動的特殊狀態(tài)。比較兩個數(shù)（式）的大小，把它們作為兩個不同的函數(shù)值而納入到同一函數(shù)的軌道中，再運用函數(shù)的單調性很容易進行函數(shù)值的比較。

[例2]? 設當[b>a>e]，證明[ab>ba]

證明：將不等式[ab>ba]兩邊取對數(shù)：[lnab>lnba]，即[blna>alnb]，亦即[lnaa>lnbb]。如設[f（x）=lnxx]，歸結證明[f（x）]單調減少，即證[f′（x）<0]

事實上，當[x>e]時，有[f′（x）=1-lnxx2<0]，于是[f（x）]單調減少。

由[b>a>e]得[f（b）<f（a）]，即[lnbb<lnaa]，從而[ab>ba]。

本題還有兩種構造函數(shù)的方法，也即兩種進攻策略：

[f（x）=xlna-alnx， f（x）=blnx-xlnb]

證明過程留給讀者。

（三）由數(shù)項級數(shù)擴展成函數(shù)項級數(shù)——局部變整體

數(shù)項級數(shù)可看成是自變量取1的冪函數(shù)的結果。而冪函數(shù)有許多數(shù)項級數(shù)所沒有的好性質，所以先在冪級數(shù)環(huán)境下進行研究，再把結論應用到對應的數(shù)項級數(shù)中，使純粹的數(shù)項級數(shù)問題迎刃而解。明朝大學士楊溥的一幅拆字聯(lián)“四口同圖，內(nèi)口皆歸外口管;五人共傘，小人全仗大人遮。”表達的意境類比這里的意圖非常貼切——對整體成立的規(guī)律，對局部當然成立。

[例3]? 計算[11！+12！+13！+…+1n！+…]

解：函數(shù)[f（x）=ex]展開成關于[x]的冪級數(shù)為：

[ex=1+1+12！x2+…+1n！xn+…? ? ? ?-∞<x<+∞]

在上面公式中，取[x=1]，則有

[e1=11！+12！+13！+…+1n！+…]

從而：[11！+12！+13！+…+1n！+…=e-1]。

（四）由指定數(shù)換成任意數(shù)——特殊到一般

某小區(qū)間是另一大區(qū)間的子集，對大區(qū)間內(nèi)數(shù)字存在的規(guī)律，在子區(qū)間內(nèi)固然也存在。把特殊現(xiàn)象提升為一般現(xiàn)象，針對一般現(xiàn)象視野更廣闊，反而容易找到規(guī)律。

[例4]? 有編號從1到88的88個球，甲乙輪流取。每次可以取一個球或相連編號的2個球。甲先取，規(guī)定：誰取到最后一把贏。甲應該如何取才能贏？

一般地，解決自然數(shù)問題可以通過以下四大步驟來完成：（1）問題一般化;（2）問題特殊化;（3）猜測規(guī)律;（4）證明結論。

以這個問題為例來說明四個步驟的具體應用：

步驟一，問題一般化：設有n個球。

把問題中88個球抽象提升為n個球。

步驟二，問題特殊化：

[n=1]時，只有1個球<G：＼學報排版＼2020-04＼2020年第四期黑白版＼image48_B_1.JPG>，甲直接取走，甲方贏;

[n=2]時，有兩個球<G：＼學報排版＼2020-04＼2020年第四期黑白版＼image49_B_1.JPG>，且1、2兩號相連，甲可直接取走這兩球，甲贏;

[n=3]時，有三個球<G：＼學報排版＼2020-04＼2020年第四期黑白版＼image50_B_1.JPG>，甲抓2號球，剩下1、3號兩球留給乙，還是甲贏;

[n=4]時，有四個球<G：＼學報排版＼2020-04＼2020年第四期黑白版＼image51_B_1.JPG>，甲抓中間2、3號兩球，剩下1、4號兩球留給乙，還是甲贏;

[n=5]時，有五個球<G：＼學報排版＼2020-04＼2020年第四期黑白版＼image52_B_1.JPG>，甲抓中間3號兩球，剩下1、2、4、5號四球留給乙，…還是甲贏;

[n=6]時，有六個球<G：＼學報排版＼2020-04＼2020年第四期黑白版＼image53_B_1.JPG>，甲抓中間3、4號兩球，剩下1、2、5、6號四球留給乙，…還是甲贏。

……

步驟三，猜測規(guī)律：

當n為奇數(shù)時，先取中間的那一個球;當n為偶數(shù)時，先取中間相連編號的兩個球。

步驟四，證明猜測：利用數(shù)學歸納法。

（1）當n=1時，只有1個球，甲方取走即贏;

（2）假設當n=K時，若K為奇數(shù)時，甲先取中間的那一個球，剩下（K-1）偶數(shù)個球，無論乙怎么取，甲都采用對稱原理，取走關于中心點對稱的球，最后一把必歸甲取，甲贏。

則當n=K+1時，（K+1）為偶數(shù)，甲方先取中間的兩個球，剩下（K-1）還是偶數(shù)，由（2）則還是甲贏。

若K為偶數(shù)時，甲方先取中間的兩個球，剩下（K-2）個球還是偶數(shù)個球，由上述，甲贏;則當n=K+1時，K+1為奇數(shù)，甲先取走中間的一個球，剩下K個球是偶數(shù)，由上述，則甲贏。

因此，對于任何自然數(shù)，若有奇數(shù)個球，則甲先取走中間一球;若有偶數(shù)個球，則甲先取走中間的兩個球，都是甲贏。

利用上述結論，現(xiàn)在的問題中n=88，n為偶數(shù)，所以甲應該先取中間相連編號的兩個球，即44號球和45號球，就可以取勝。

當n=99時，甲取何種策略就一定會獲勝？讀者分析試試。

（五）無窮級數(shù)升華為定積分——離散到連續(xù)

有些關于無限項和的極限問題，用兩邊夾法則不會成功，但若用定積分的定義法，卻會有完美收官之作。級數(shù)和定積分都是關于無限項求和問題，通過求極限，把離散性問題轉化為連續(xù)性問題。

[例5]? [limn→∞n[1（n+1）2+1（n+2）2+…+1（n+n）2]]求

分析：若用兩邊夾法則，構造如下不等式：

[14←n2（n+n）2i=1ni（n+i）2n2（n+1）2→1]

只能得到原極限介于[[14， 1]]之間，而得不到準確結果，解題失敗。

若構造定積分定義式，則有：

[limn→∞n1（n+1）2+1（n+2）2+…+1（n+n）2=limn→∞i=1nn（n+i）2=limn→∞i=1n1（1+in）2?1n= 0 11（1+x）2dx=-11+x10=12]

（六）具體初等函數(shù)提煉成復合抽象函數(shù)——具體到抽象

三角函數(shù)有很多誘導公式，當它與線性函數(shù)結合在一起組成復合函數(shù)時，會形成新的性質，產(chǎn)生意想不到的簡化效果。

[例6]? 求[0πxsin3x1+cos2xdx]

分析：聯(lián)想到題目：設[f（x）]在[[0，π]]連續(xù)，證明：

[0πxf（sinx）dx=π20πf（sinx）dx]

先證明之，再應用之[5]。

（1）證明：令[x=π-t]，則[t=π-x]

[0πxf（sinx）dx=0π（π-t）f[sin（π-t）]d（π-t）=0π（π-t）f（sint）dt=π0πf（sint）dt-0πtf（sint）dt=π0πf（sinx）dx-0πxf（sinx）dx]

移項得

[0πxf（sinx）dx=π20πf（sinx）dx]

（2）應用

[0πxsin3x1+cos2xdx=π20πsin3x1+cos2xdx=-π20πsin2x1+cos2xd（cosx）=-π20π1-cos2x1+cos2xd（cosx）=π20π（1-21+cos2x）d（cosx）=π2（cosx-2arctan cosx）π0=π22-π]

（七）由通項擴充成多項和——單一到無限

若整體具有某性質a時，構成整體的單元必具備性質b。于是要證明單元具有性質b，只要證明（1）整體具有性質a;（2）單元是整體的一部分。

[例7]? 證明[limn→∞2nn！nncos2nπ5=0]

分析：利用級數(shù)[n=1∞un]收斂的必要條件[limn→∞un=0]，先證明級數(shù)[n=1∞un]收斂[6]。

證明：設[un=2nn！nncos2nπ5]只須證明正項級數(shù)[n=1∞un]收斂。因為

[un=2nn！nncos2nπ5≤2nn！nn=Vn]

又[limn→∞Vn+1Vn=limn→∞2n+1（n+1）?。╪+1）（n+1）?nn2nn！=2e<1]

由比值判別法知[n=1∞Vn]收斂，又由比較判別法知[n=1∞un]收斂，再由收斂的必要條件得：

[limn→∞2nn！nncos2nπ5=0]

（八）由常數(shù)變易成函數(shù)——常量到變量

若結論中同時出現(xiàn)[f（ξ）， f′（ξ）]（或[ξ， f′（ξ）]）時，一般用微分方程思想，先作替換[f（ξ）y， f′（ξ）=y′， ξ=x]構造微分方程，求出通解，從通解中解出常數(shù)C，再直接把C改寫成函數(shù)F（x），函數(shù)即構造成功。這種方法叫常數(shù)C法，也叫常數(shù)變易法。

[例8]? 設函數(shù)[f（x）]在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導，且[f（1）=0]。證明：至少存在一點[ξ∈（0，1）]，使[（2ξ+1）f（ξ）+ξf′（ξ）=0]。

分析：把[（2ξ+1）f（ξ）+ξf′（ξ）=0]轉換成[（2x+1）f（x）+xf′（x）=0]

進一步轉換成微分方程：[（2x+1）y+xy′=0]。

由公式法解此微分方程得：[y=ce-2x-lnx]，即：[y=cxe2x]

變形：[yxe2x=c]，其中，[y=f（x）]。

其中用到微分方程[y′+P（x）y=Q（x）]的通解公式：

[y=e-P（x）dxQ（x）eP（x）dx?dx+c]

證明：設輔助函數(shù)為：[F（x）=xf（x）e2x]，由于

（1）[F（0）=0， F（1）=f（1）e2=0? ? ?（已知f（1）=0）]

（2）函數(shù)[f（x）]在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導，由初等函數(shù)連續(xù)性和可導性易知，函數(shù)[F（x）]在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導。

根據(jù)羅爾定理，至少存在一點[ξ∈（0，1）]，使[F′（ξ）=0]，

而[F′（x）=（xf（x）e2x）′=e2x（xf′（x）+f（x）（1+2x））]

所以：[xf′（x）+f（x）（1+2x）=0]

即：[（2ξ+1）f（ξ）+ξf′（ξ）=0]

以進為退策略，其實是辯證哲學思想的體現(xiàn)，包含了從具體到抽象，又從抽象到具體的辯證轉換;是從形而上到形而下的轉變。解答某些數(shù)學題時要從整體出發(fā)，高屋建瓴，把握全局，從遠處著眼，從近處著手，把具體題目引伸、擴充、延展到更高、更寬、更泛領域，視野更寬闊，理論更充分，力量更強大。把小題大做，貌似變難，其實變簡，把不能解決的問題迎刃而解，有效提升大學生分析問題解決問題的能力。

參考文獻：

[1]王開榮.淺說數(shù)學解題中以退為進策略的幾種情形[J].數(shù)學大世界（高中版），2003：43-44.

[2]陳永耀.以退為進 精當轉化——群研初中數(shù)學學困生的思維提升策略[J].中國數(shù)學教育，2018：47-52.

[3]G·波利亞.怎樣解題[M].涂弘，馮承天，譯.上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?011.11（2019.7重?。?92.

[4]朱華偉，錢展望.數(shù)學解題策略（2版）[M].北京：科學出版社，2015：72.

[5]毛綱源.考研數(shù)學（數(shù)學二）?？碱}型及其解題方法技巧歸納[M].武漢：華中科技大學出版社，2004：232.

[6]金桂堂，楊俊萍.高等數(shù)學[M].北京：北京出版社，2014：227.

（責任編輯：王積建）