基于多階固有頻率的動態(tài)法彈性模量精確測量

劉盛循， 鄧小偉， 吳益文， 余征躍

（1． 上海交通大學(xué)船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上海200240；2． 上海海關(guān)工業(yè)品中心，上海200135）

0 引 言

彈性模量是材料的基本參數(shù)，測量方法包括靜態(tài)法和動態(tài)法。由于動態(tài)法測量精度高［1］，不會對試件產(chǎn)生破壞，對材料的測量不受限制，對于靜態(tài)法難以測量的脆性材料仍可適用［2］，因此被廣泛使用。該方法通過對試件的一端施加一個激振力，從另一端接收信號測量試件的固有頻率，以此計算出試件的彈性模量［3］。傳統(tǒng)的動態(tài)法常常為懸線法，操作繁瑣，測量精度不高，許多學(xué)者對此進行了改進。段卓琦［4］認為內(nèi)插法與外延法可有效測量精度；何熙起［5］研究了內(nèi)插法擬合函數(shù)冪次對基頻測量的結(jié)果影響；張雄等［6］研究了懸掛點的對稱度對基頻測量的影響并提出了優(yōu)化動態(tài)內(nèi)插法；樊聰聰?shù)龋?］對測量裝置進行了改進，由懸掛法改為支撐法。這些方法分別從實驗測量與數(shù)據(jù)處理上對傳統(tǒng)方法進行了改進，對細長金屬棒試件一定程度上提高了測量精度。但薄板試件的彈性模量測量，相關(guān)的優(yōu)化研究不多，原因?qū)ψ杂蛇吔鐥l件薄板的力學(xué)建模比較復(fù)雜，解析解的形函數(shù)難以求得。美國材料實驗協(xié)會標(biāo)準(zhǔn)ASTM E11［8］及國標(biāo)GBT 22315［9］均給出了近似公式，兩者并無實質(zhì)區(qū)別。該方法采用一組基頻計算彈性模量，測量效率高，但測量結(jié)果的波動性較大，不滿足精度要求較高的測量。

本文以薄板為試樣，采用激光測振儀精確測量薄板試樣的多階固有頻率。同時以彈性模量參數(shù)為變量對試樣進行有限元仿真，比較各階固有頻率仿真值與實測值，取結(jié)果最為吻合的彈性模量參數(shù)作為測試結(jié)果。該方法綜合了多階固有頻率的誤差，避免了基頻的波動對測量結(jié)果的影響，提供了一種精確測量彈性模量的方法。

1 多階固有頻率測量薄板彈性模量的方法

首先，由于該方法對各階頻率的測量精度較為敏感，故選用高精度的激光測振儀進行測量。激光測振儀的原理是通過激光測得多普勒頻移，計算出垂直物體表面的振動速度，進而準(zhǔn)確測得各階固有頻率［10-11］。其次，對于不同形狀的試樣，其形函數(shù)各不相同，尤其是形狀不規(guī)則的試樣，精確計算的顯式解難以求得［12］，需要通過取振型系數(shù)的最大項進行簡化［13-14］，考慮到方法的便利性與通用性，采用有限元仿真的Block-Lanczos計算方法。該算法有效性、可靠性高［15］。然后，在仿真階段通過調(diào)整彈性模量參數(shù)，計算出不同彈性模量下的各階固有頻率，形狀簡單的材料可采用高密度網(wǎng)絡(luò)，提升數(shù)值解的精度。最后，比較各階頻率在不同彈性模量參數(shù)下的仿真值與激光測振儀測得的實測值，將綜合各階誤差最小的彈性模量仿真參數(shù)作為最終的精確測量結(jié)果。

2 激光測振儀測薄板頻率

實驗儀器為游標(biāo)卡尺、激光測振儀、海綿墊、力錘、計算機ANSYS軟件。實驗構(gòu)件為3 塊A356-T6 材料的鋁合金薄板。使用游標(biāo)卡尺測得3 個試件的尺寸，如表1 所示。

金屬薄板置于海綿墊上，將激光測振儀的激光束照射在金屬薄板的1 ／ 7 ～1 ／ 8 處，盡可能避開前幾階模態(tài)的節(jié)點，使用小型力錘輕擊金屬薄板，使之產(chǎn)生自由振動。測量軟件選用PSV acquisition，測振儀靈敏度設(shè)置為［（mm·s-1）·V-1］，預(yù)觸發(fā)的樣本時間設(shè)置為20%。以試件1 為例，敲擊試件后采集到的自由振動速度曲線，如圖2 所示。經(jīng)過多次敲擊，經(jīng)傅里葉分析得到平均后頻譜曲線，如圖3 所示，并將測得的多階彎曲固有頻率繪制在表2 中。

表1 試件幾何參數(shù) mm

圖1 實驗系統(tǒng)示意圖

圖2 自由振動速度曲

圖3 振動頻譜曲線

表2 試件頻率測量結(jié)果 Hz

3 數(shù)值結(jié)合測薄板彈性模量

由于理論解中彈性模量的形函數(shù)不易求得，為了盡可能逼近彈性模量的理論解，本文采用有限元法進行計算，找出最理想的彈性模量參數(shù)，使在該參數(shù)下計算出的各階固有頻率與激光測振儀實測的各階固有頻率最為吻合，將此時的彈性模量參數(shù)作為最終測試結(jié)果。具體算法如下：

（1）設(shè)定一個彈性模量的預(yù)估范圍［Emin，Emax］與計算步長Δh。

（2）使用Ansys 有限元軟件建模并輸入試件參數(shù)，單元定義為殼單元，類型為3D 8node 281，殼單元設(shè)置中輸入厚度。第1 次計算時彈性模量參數(shù)為設(shè)定范圍的最小值E1＝Emin。選擇合適的單元長度劃分單元網(wǎng)格，以試件1＃為例，單元長度為0． 5 mm，劃分單元的網(wǎng)格。分析類型為模態(tài)分析，在分析設(shè)置中選擇Block Lanczos法，提取20 階模態(tài)，擴展20 階模態(tài)，設(shè)置最低頻率為10 Hz，去掉剛體位移，得到仿真的多階固有頻率與振型。通過振型判斷其中的多階彎曲頻率，本文選取了前三階彎曲頻率，其振型如圖4、5、6 所示。同時使用獲得的振型來判定實測固有頻率所對應(yīng)的振型。

圖4 一階彎曲振型

圖5 二階彎曲振型

圖6 三階彎曲振型

分別與激光測振儀實測試件的多階彎曲頻率比較，計算出綜合誤差e1，e1同時也是目前計算的最小綜合誤差e，綜合誤差的計算方法如下式表示：

將第1 次計算采用的彈性模量參數(shù)E1保存為E。

（3）將上一次彈性模量參數(shù)增加步長Δh，即Ei＝Ei-1+ Δh，得到新的彈性模量參數(shù)下計算出的多階固有頻率，再次計算出其綜合誤差ei，比較ei與最小綜合誤差e，若ei＜e，則將最小綜合誤差e更新為此次計算出的綜合誤差ei，并將此時的彈性模量參數(shù)Ei保存為E。

（4）重復(fù)過程（3），直到最新的彈性模量Ei超過設(shè)定范圍的最大值Emax，輸出保存的最終的彈性模量E。

整個數(shù)值計算框圖如圖7 所示。

圖7 數(shù)值計算框圖

上述算法可通過命令流進行自動計算。以試件1為例，本次實驗試件彈性模量的預(yù)估范圍設(shè)置為50 ～100 GPa，記錄多階彎曲固有頻率。將有限元仿真結(jié)果與實測結(jié)果比較，并計算出綜合誤差，取部分?jǐn)?shù)據(jù)繪制出表3。試件1 在不同彈性模量參數(shù)下計算出的綜合誤差如圖8 所示。

圖8 彈性模量的綜合誤差曲線

由圖8 或表3 可知，彈性模量為71． 3 GPa時綜合誤差最小。而采用ASTM標(biāo)準(zhǔn)中近似公式計算出的彈性模量為69． 8 GPa，兩者結(jié)果較為接近。

采用相同方法測量試件2、3，其結(jié)果分別為73． 7、71． 1 GPa，采用ASTM 標(biāo)準(zhǔn)的計算結(jié)果分別為72． 4，69． 6 GPa。

4 實驗結(jié)果比較

采用單軸拉伸法（靜態(tài)法）對被測試樣的彈性模量進行再次測量，將其結(jié)果作為參照，分別比較本方法的測量結(jié)果與ASTM標(biāo)準(zhǔn)的測量結(jié)果，繪制成表4。

表3 各彈性模量參數(shù)的綜合誤差

表4 結(jié)果比較

由表4 可以看出，基于多階固有頻率法測得的彈性模量結(jié)果與拉伸法的結(jié)果更為接近，基于多階固有頻率法測得的彈性模量與ASTM標(biāo)準(zhǔn)的近似公式法相比，相對精度由3． 03%提高至1． 24%，方差由1． 626 7降低為1． 395 6，結(jié)果更為準(zhǔn)確穩(wěn)定。

5 結(jié) 語

本文提出了一種更精確的動態(tài)測量彈性模量方法，使用激光測振儀精確測得薄板的多階固有頻率，通過數(shù)值計算改變彈性模量的參數(shù)，比較各階固有頻率的仿真值與實測值，取綜合各階誤差最小的彈性模量參數(shù)作為最終測試結(jié)果。傳統(tǒng)的動態(tài)法僅采用基頻作為測量數(shù)據(jù)；本方法綜合了各階頻率的誤差，降低了基頻數(shù)據(jù)的波動對測量結(jié)果的影響，提高了測量結(jié)果的穩(wěn)定性與準(zhǔn)確性。傳統(tǒng)的動態(tài)法常常要求被測試件的形狀較為規(guī)則；本方法由于采用了數(shù)值仿真計算，對所測試件的形狀可不作要求，擴大了測量試件的范圍。且該方法還可擴展至剪切模量的測量。