高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

李彩琴

【摘要】文章簡單介紹了數(shù)形結(jié)合思想，分析了其在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性，并從準(zhǔn)確把握思想應(yīng)用原則，循序漸進(jìn)強(qiáng)化學(xué)生意識，深度引導(dǎo)學(xué)生感悟思想，針對不同問題合理應(yīng)用等方面，對于高中數(shù)學(xué)教學(xué)中合理、有效應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的策略展開了探討，以供同行參考。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)教學(xué);數(shù)形結(jié)合思想;應(yīng)用

要想有效提高數(shù)學(xué)教學(xué)效果，就必須對過于強(qiáng)調(diào)課堂講解與機(jī)械式重復(fù)的傳統(tǒng)教學(xué)模式進(jìn)行創(chuàng)新、調(diào)整與優(yōu)化，尤其要突出學(xué)生主體性，重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。其中，在教學(xué)中合理應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，不僅可以讓教學(xué)過程變得更為簡單，而且能有效促使學(xué)生主動思考，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力以及多角度思考問題、靈活變通與解決問題的能力，是極具實(shí)踐價(jià)值的教學(xué)創(chuàng)新方式。

一、數(shù)形結(jié)合思想及其在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性

所謂數(shù)形結(jié)合思想，就是將數(shù)學(xué)中所研究的數(shù)與形進(jìn)行聯(lián)系與結(jié)合，從而達(dá)到借助數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來闡明與數(shù)之間的某種關(guān)系。簡單而言，數(shù)形結(jié)合思想就是以數(shù)解形或者以形助數(shù)，充分利用數(shù)與形之間的密切聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)二者的相互利用。對高中數(shù)學(xué)教學(xué)而言，滲透與融入數(shù)形結(jié)合思想十分有必要。

首先，數(shù)與形是高中數(shù)學(xué)研究的基礎(chǔ)對象，基本上所有教學(xué)內(nèi)容都繞不開二者，而且二者又有著密切聯(lián)系，因而合理應(yīng)用數(shù)形結(jié)合能夠在很大程度上促使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化，對幫助學(xué)生掌握知識、解決問題有著重要意義。

其次，在教育改革背景下，高中數(shù)學(xué)教學(xué)不能再停留和局限于知識傳授，而是要引導(dǎo)學(xué)生全方位發(fā)展。在教學(xué)中合理滲透數(shù)形結(jié)合思想，能夠?qū)W(xué)生思考問題能力、創(chuàng)新思維、邏輯思維等進(jìn)行有效培養(yǎng)，促使學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，拓展學(xué)生解題思維和思考問題的思路，有助于學(xué)生全面成長與發(fā)展。

二、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用策略

1.準(zhǔn)確把握思想應(yīng)用原則

在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想時，不管是基于該思想進(jìn)行知識講解、難題解答，還是培養(yǎng)學(xué)生相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想解題方法，都需要遵循一定的基本原則。

首先，應(yīng)當(dāng)遵循雙向性原則，即數(shù)與形是相互對立又聯(lián)系緊密的兩個層面，在對二者進(jìn)行思考時一定要進(jìn)行雙向思考，不能只通過數(shù)對形來進(jìn)行研究，也不能局限于數(shù)對形的表現(xiàn)。只有充分貫徹雙向性原則，才能真正做到對數(shù)與形的有效統(tǒng)一與靈活應(yīng)用，保障其在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮應(yīng)有的作用。

其次是簡潔性原則。無論是講解知識還是解答難題，教師在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想時，都是為了用更加簡單直觀的方式呈現(xiàn)內(nèi)容，幫助學(xué)生以更容易理解和掌握的形式進(jìn)行思考與探索，從而提高教學(xué)效率，提升學(xué)生解題速度與準(zhǔn)確性。

再次是等價(jià)性原則。在數(shù)與形在相互轉(zhuǎn)換的過程中，一定要保證對等等價(jià)，但凡其中存在一點(diǎn)偏差，都可能導(dǎo)致數(shù)形結(jié)合思想與方法的運(yùn)用存在問題，影響最終的解題結(jié)果準(zhǔn)確性。

最后是創(chuàng)新性原則。數(shù)形結(jié)合思想雖然在高中數(shù)學(xué)中占據(jù)著極其重要的地位，但這并不意味著學(xué)生在解決任何數(shù)學(xué)問題時都可以應(yīng)用該思想。只有根據(jù)實(shí)際情況創(chuàng)新性地應(yīng)用該思想，才能最大限度地發(fā)揮其作用，促使學(xué)生更快更準(zhǔn)確地解決問題，否則容易陷入解題誤區(qū);過于依賴數(shù)形結(jié)合而無法掌握其他數(shù)學(xué)思想及方法，更可能導(dǎo)致思維固化。

2.循序漸進(jìn)強(qiáng)化學(xué)生意識

在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想具有多重目的，其中最基礎(chǔ)的一點(diǎn)在于引導(dǎo)學(xué)生以更加簡單易懂的方式學(xué)習(xí)知識，解決難題。從更深層次的應(yīng)用目的考慮，則要以培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)形結(jié)合思想與靈活的運(yùn)用方法為關(guān)鍵，確保學(xué)生能夠合理利用該思想自主學(xué)習(xí)與探索，同時促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展。不過，思想的滲透與培養(yǎng)是一項(xiàng)長期工作，不可能通過短期教學(xué)有效實(shí)現(xiàn)，教師必須充分意識到這一點(diǎn)，并在教學(xué)實(shí)踐中以興趣培養(yǎng)為重要基礎(chǔ)，循序漸進(jìn)地強(qiáng)化學(xué)生意識，一步步地培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生科學(xué)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法進(jìn)行思考與解題。因此在日常教學(xué)中，教師一定要對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行深度挖掘，著重分析其中與數(shù)形結(jié)合有著密切聯(lián)系的部分，并針對這部分進(jìn)行合理設(shè)計(jì)，以數(shù)形結(jié)合的方式帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識，從而讓學(xué)生在不知不覺間理解、接受和習(xí)慣該思想。

例如在教學(xué)三角函數(shù)相關(guān)內(nèi)容時，教師可以利用單位圓幫助學(xué)生理解新知識。通過圖1所示的單位圓，教師可以直觀地向?qū)W生展示有向線段，并將該圖形與三角函數(shù)的定義進(jìn)行緊密聯(lián)系、數(shù)形結(jié)合。教師以單位圓中的有向線段OB、OC、OP、OA、AD等，帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)角θ的正弦線、余弦線、正切線等，從而幫助學(xué)生快速、準(zhǔn)確地理解知識點(diǎn)。由于單位圓和有向線段都是學(xué)生容易理解且較感興趣的內(nèi)容，教師利用二者并應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，能夠在直觀講解知識的同時激發(fā)學(xué)生興趣，強(qiáng)化學(xué)生數(shù)形結(jié)合意識。

3.深度引導(dǎo)學(xué)生感悟思想

數(shù)學(xué)教學(xué)中對數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用不能停留在簡單的認(rèn)知上，更要引導(dǎo)學(xué)生對其進(jìn)行深度感悟，從而促使學(xué)生掌握靈活運(yùn)用該思想及方法的有效方式。對此，教師一定要通過各種方式引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行感悟，促使學(xué)生靈活地主動進(jìn)行數(shù)轉(zhuǎn)形以及形轉(zhuǎn)數(shù)，更加高效地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法解決問題。要想真正促使學(xué)生進(jìn)行深度感悟，一定要從學(xué)生既有知識儲備出發(fā)，讓學(xué)生對已掌握知識進(jìn)行深度挖掘和探索。

例如在教學(xué)函數(shù)相關(guān)內(nèi)容時，教師要求學(xué)生畫出一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖像，并讓學(xué)生結(jié)合圖像對函數(shù)本質(zhì)、特征等進(jìn)行研究，鼓勵學(xué)生自主探索、合作學(xué)習(xí)。學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，對函數(shù)圖像進(jìn)行反復(fù)研究，合作討論，一起探討圖像表現(xiàn)了函數(shù)的哪些特征，并發(fā)現(xiàn)函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、對稱性等均在圖像上得到有效體現(xiàn)。如此一來，學(xué)生對數(shù)形結(jié)合有了更為深刻的認(rèn)知，并能真正將該思想作為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決數(shù)學(xué)問題的重要工具。

4.針對不同問題合理應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合體現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)的方方面面，故而合理應(yīng)用該思想可以更加簡單、直觀、高效、準(zhǔn)確地解決不少數(shù)學(xué)難題。尤其是對一些依靠常規(guī)方法難以有效解決的數(shù)學(xué)問題而言，靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合方法往往能起到奇效。綜觀高中數(shù)學(xué)內(nèi)容，諸如集合、函數(shù)、方程與不等式、三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、立體幾何、絕對值、概率及統(tǒng)計(jì)等相關(guān)問題的解決都可以應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想。在進(jìn)行這些內(nèi)容的教學(xué)或者解決相關(guān)內(nèi)容時，教師需要針對性地引導(dǎo)學(xué)生合理應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生相應(yīng)的解題習(xí)慣，確保學(xué)生更加高效地解決不同的問題。

以函數(shù)問題與解析幾何問題為例，二者的解答可以通過常規(guī)方式完成，也可以利用數(shù)形結(jié)合方法完成，只不過在實(shí)際應(yīng)用時有一定區(qū)別，教師需要針對二者的數(shù)形結(jié)合解題方法進(jìn)行準(zhǔn)確教學(xué)。其中，函數(shù)問題應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的關(guān)鍵在于應(yīng)用形來對數(shù)進(jìn)行直觀表現(xiàn)，如此既能快速解決問題，也能避免大量復(fù)雜運(yùn)算而導(dǎo)致的運(yùn)算出錯問題;而解析幾何問題中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，關(guān)鍵就在于將幾何結(jié)構(gòu)代數(shù)化，利用數(shù)來對形進(jìn)行表達(dá)和反映，從而更加具體、準(zhǔn)確地進(jìn)行解答。

例如函數(shù)問題：已知f（x）=x2-2ax+2，當(dāng)x≥-1時，f（x）>a恒成立，試求取a的取值范圍。

解析幾何問題：已知二元一次方程3x+4y=12，且x≥0，y≥0，求M（x，y）=x2+y2-12x-2y+37取得最大值與最小值的點(diǎn)的坐標(biāo)。

在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決這兩個問題時，教師要畫出相應(yīng)的圖形，分別如圖2和圖3所示，讓學(xué)生根據(jù)圖形解答問題。

在解決函數(shù)問題時，應(yīng)當(dāng)將重心放在圖形對代數(shù)語言的表達(dá)上，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合題意對圖形進(jìn)行觀察，并代入問題中給出的條件進(jìn)行思考，從而求出a的取值范圍。學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，觀察圖形，代入題目給出的條件，思考當(dāng)△<0和△≥0時的不同情況，確定兩種情況下a的取值范圍分別為（-2，1）和（-3，1），從而判斷出答案為（-2，1）。

而在解決解析幾何問題時，教師帶領(lǐng)學(xué)生對畫出的圖形進(jìn)行研究，直接通過觀察圖像可得知x的取值范圍為[O，4]，并將M（x，y）變形為M（x，y）=（x-6）2+（y-1）2，那么M（x，y）就代表動點(diǎn)P到定點(diǎn)Q的距離的平方，可直接通過觀察圖形得知點(diǎn)A和點(diǎn)B是M（x，y）取得最大值與最小值的點(diǎn)的坐標(biāo)。

三、結(jié)語

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想極其有必要，不僅可以更加簡單高效地傳授知識和解決問題，而且能有效培養(yǎng)學(xué)生良好的解題思維與習(xí)慣。教師在教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)當(dāng)積極探索合理滲透、融合與應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的有效路徑，盡量以更加簡單、直觀而高效的方式帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)，提高教學(xué)水平，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)水平全方位提升。

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