芻議初中數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練方法

朱如梅

[摘? 要] 思維力是學(xué)生核心素養(yǎng)的核心. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要將思維能力作為教學(xué)的重中之重. 借助問(wèn)題、推理、抽象以及概括，能有效地訓(xùn)練學(xué)生的思維. 通過(guò)思維方法教學(xué)，打開(kāi)學(xué)生思維源頭，疏通學(xué)生思維通道，讓學(xué)生卷入初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中. 數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，能有效地提升學(xué)生學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);思維訓(xùn)練;訓(xùn)練方法

初中數(shù)學(xué)教學(xué)要致力于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，其中思維能力是核心素養(yǎng)的核心. 作為教師，要將思維能力作為教學(xué)的重中之重. 突出對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練，要預(yù)留充分的時(shí)空，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考. 因而，數(shù)學(xué)教學(xué)就不僅僅是知識(shí)教學(xué)，更是數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的教學(xué). 數(shù)學(xué)的學(xué)科價(jià)值與魅力，就在于數(shù)學(xué)能開(kāi)啟學(xué)生的智慧之旅.

通過(guò)“問(wèn)題”引爆學(xué)生的思維

所謂“引爆”，就是指“打開(kāi)”“發(fā)掘”“點(diǎn)燃”的意思. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要通過(guò)“問(wèn)題”，催生學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生“想得到”. 問(wèn)題可以由教師提出，也可以讓學(xué)生自主、自發(fā)地質(zhì)疑. 在初中數(shù)學(xué)課堂上，我們經(jīng)常會(huì)看到“萬(wàn)馬齊喑究可哀”的局面. 究其根本，是因?yàn)閷W(xué)生的數(shù)學(xué)思維處于沉睡、蟄伏、壓抑的狀態(tài). 如何發(fā)掘?qū)W生的思維源頭，如何梳理學(xué)生的思維通道，如何指明學(xué)生的思維路向，運(yùn)用“問(wèn)題”進(jìn)行啟發(fā)、引導(dǎo)、點(diǎn)撥，是一個(gè)有效的方法.

比如教學(xué)八年級(jí)上冊(cè)“探索三角形全等的條件”一課，在學(xué)生認(rèn)識(shí)到“全等三角形”的內(nèi)涵之后，筆者讓學(xué)生思考：至少需要多少個(gè)條件，才能讓兩個(gè)三角形全等？在探究中，學(xué)生迅速否定了一個(gè)條件、兩個(gè)條件相等的情況，提出至少需要三個(gè)條件才能確定兩個(gè)三角形是否全等. 在此基礎(chǔ)上，有學(xué)生又提出了這樣的問(wèn)題：是否任意的三個(gè)對(duì)應(yīng)條件相等的兩個(gè)三角形就一定全等呢？于是，學(xué)生又對(duì)自我的猜想展開(kāi)驗(yàn)證. 他們通過(guò)動(dòng)手操作、畫(huà)圖、推理等方式展開(kāi)深度探究. 他們找出了許多的反例，比如三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形就不一定相等，還有兩條邊對(duì)應(yīng)相等、一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形也未必全等，等等. 這樣的教學(xué)，圍繞著問(wèn)題、質(zhì)疑展開(kāi)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)富有針對(duì)性、實(shí)效性.

“學(xué)起于思 ， 思源于疑. ”通過(guò)問(wèn)題，引爆學(xué)生的思維，能打開(kāi)學(xué)生的思維空間，點(diǎn)燃學(xué)生的思維火花，形成學(xué)生的思維風(fēng)暴. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以借助問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生積極聯(lián)想、思辨、探究，從而能有效地提升學(xué)生的思維力、探究力. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生直面數(shù)學(xué)問(wèn)題，運(yùn)用數(shù)學(xué)問(wèn)題，助推學(xué)生的數(shù)學(xué)思維. 在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，只有當(dāng)學(xué)生能帶著問(wèn)題走向課本、走向教師、走向同學(xué)，才能有效地提升學(xué)生問(wèn)題分析、解決能力，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

通過(guò)“推理”發(fā)展學(xué)生的思維

東北師范大學(xué)史寧中教授認(rèn)為，學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要有三：抽象、推理與建模. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生推理，能有效地發(fā)展學(xué)生的思維. 從形式上來(lái)看，推理可以分為合情推理、演繹推理. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，不僅演繹推理能發(fā)展學(xué)生的思維，合情推理也能有效地發(fā)展學(xué)生的思維. 在數(shù)學(xué)推理中，教師要激發(fā)學(xué)生大膽猜想，通過(guò)驗(yàn)證、探究等，讓學(xué)生在已有判斷和新判斷之間構(gòu)建關(guān)系，通過(guò)已有知識(shí)構(gòu)建新的知識(shí).

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要讓學(xué)生“想得到”，更要讓學(xué)生“想得妙”. 如果說(shuō)，“想得到”是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的認(rèn)知，那么，“想得妙”就是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行主動(dòng)地推理. 比如教學(xué)“合并同類(lèi)項(xiàng)”（七年級(jí)上冊(cè)），為了讓學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，筆者出示了系列單項(xiàng)式，要求學(xué)生進(jìn)行歸類(lèi). 學(xué)生通過(guò)觀察單項(xiàng)式，提出這樣的猜想：具有相同的字母的單項(xiàng)式能合并. 為此，筆者又集中出示了相同字母組成的但指數(shù)不相同的單項(xiàng)式. 在比較、合并的實(shí)踐中，學(xué)生認(rèn)識(shí)到，單項(xiàng)式不僅要求字母相同，而且要求指數(shù)也分別相同，才能合并. 有了這樣的認(rèn)知，學(xué)生歸納出同類(lèi)項(xiàng)的特征. 在此基礎(chǔ)上，筆者再次出示了一些單項(xiàng)式，要求學(xué)生判斷這些單項(xiàng)式是否是同類(lèi)項(xiàng). 通過(guò)這樣的教學(xué)，能鞏固、發(fā)展學(xué)生的思維，幫助學(xué)生建立同類(lèi)項(xiàng)的本質(zhì)特征，深化學(xué)生對(duì)同類(lèi)項(xiàng)概念的理解. 有了對(duì)同類(lèi)項(xiàng)的清晰認(rèn)知，筆者將有理數(shù)的運(yùn)算定律引入其中，讓學(xué)生嘗試進(jìn)行同類(lèi)項(xiàng)的合并，從而引導(dǎo)學(xué)生推理、歸納、構(gòu)建合并同類(lèi)項(xiàng)的法則.

在學(xué)生進(jìn)行推理的過(guò)程中，教師要賦予學(xué)生自主判斷權(quán)，不僅引導(dǎo)學(xué)生自主思考，更引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行交流、碰撞，從而讓學(xué)生在對(duì)話、交往中甄別、判斷. 比如在“合并同類(lèi)項(xiàng)”的學(xué)習(xí)交流中，有學(xué)生剛開(kāi)始認(rèn)為，系數(shù)不同就不可以相加減;有學(xué)生糾結(jié)于字母排列的先后，等等. 在交流、研討中，學(xué)生逐步認(rèn)識(shí)到同類(lèi)項(xiàng)的本質(zhì)特性，即字母相同、字母指數(shù)相同. 這樣的教學(xué)，有助于敞亮學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，有助于讓學(xué)生達(dá)成數(shù)學(xué)共識(shí).

通過(guò)“抽象”提煉學(xué)生思維

抽象性是數(shù)學(xué)的基本特性. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷將數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)現(xiàn)象抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋和應(yīng)用. 學(xué)生的抽象思維能力是學(xué)生思維力的重要標(biāo)識(shí). 有學(xué)者深刻地指出，抽象力是學(xué)生的基本學(xué)力，其他能力都是它們的派生物. 教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行本質(zhì)抽象，即引導(dǎo)學(xué)生舍棄非本質(zhì)屬性而抽取本質(zhì)屬性. 作為教師，要豐富學(xué)生的表象積累，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較.

比如教學(xué)八年級(jí)下冊(cè)的“分式”的概念，教師可以出示一組素材，諸如已知長(zhǎng)方形的面積和長(zhǎng)，要求寬;已知圓柱的體積和底面積，要求高，等等. 在抽象的過(guò)程中，由于學(xué)生受到了分?jǐn)?shù)的形式影響，因而導(dǎo)致部分學(xué)生將分式與含有分?jǐn)?shù)的整式相混淆. 基于此，筆者引導(dǎo)學(xué)生比較分式與含有分?jǐn)?shù)的整式. 學(xué)生發(fā)現(xiàn)，分式不僅是具有分?jǐn)?shù)的形式，更為重要的是分式的分母中必須含有字母. 通過(guò)這樣的抽象、概括，學(xué)生構(gòu)建了分式的意義——“如果A，B（B不等于零）表示兩個(gè)整式，且B中含有字母，那么式子 就叫作分式，其中A稱(chēng)為分子，B稱(chēng)為分母”. 這樣的定義，既有助于學(xué)生厘清分式與整式的區(qū)別、聯(lián)系，同時(shí)又有助于區(qū)分分式與分?jǐn)?shù)的異同. 在教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生還發(fā)現(xiàn)了分式的值會(huì)隨著分式分母中的字母的變化而變化. 借助抽象，學(xué)生能精準(zhǔn)把握數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵、外延，并進(jìn)行有效的概念應(yīng)用.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)素材進(jìn)行感知、比較、辨析，引導(dǎo)學(xué)生從對(duì)概念的感性認(rèn)知上升到對(duì)概念的理性認(rèn)知. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，如果教師不及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)概念進(jìn)行比較、辨析、提煉、抽象，學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知就容易停留在感性的、膚淺的、表面化的非本質(zhì)屬性層面，而不能形成對(duì)概念的本質(zhì)理解.

通過(guò)“概括”催生學(xué)生的思維

概括是在數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ)上，對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行模型化構(gòu)建的過(guò)程. 一般來(lái)說(shuō)，概括的過(guò)程就是公理化、形式化、數(shù)學(xué)化的過(guò)程. 對(duì)學(xué)生的表象進(jìn)行梳理、提煉、概括，學(xué)生就容易停留在感性的、膚淺的、表面化的、零碎的外部現(xiàn)象上，就不能形成對(duì)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)知. 在引導(dǎo)學(xué)生對(duì)具體事物充分感知、形成表象之后，教師要引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)概括. 只有這樣，才能讓學(xué)生的感性認(rèn)知上升到理性認(rèn)知層面，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力.

比如教學(xué)八年級(jí)上冊(cè)的“三角形的高”，教師可以出示同一三角形擺放不同位置、擺放不同方向的高，可以出示不同三角形的高，可以出示同一三角形不同的底對(duì)應(yīng)的高，等等. 通過(guò)豐富的素材，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較、概括，形成學(xué)生對(duì)高的數(shù)學(xué)認(rèn)知. 在概括的過(guò)程中，要注重概括的科學(xué)性，比如“從三角形的頂點(diǎn)到底邊的垂直線段”“從三角形的頂點(diǎn)到底邊的距離”等. 只有對(duì)高形成了本質(zhì)性的概括，學(xué)生才能有效地將三角形的高、三角形的中線、三角形的角的平分線、三角形的中垂線等區(qū)分開(kāi)來(lái). 在對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行概括的過(guò)程中，教師不要期望一步到位，而要允許學(xué)生的循序漸進(jìn). 有時(shí)候，一個(gè)概念的有效概括是經(jīng)過(guò)“兩次提煉”乃至“多次提煉”形成的. 因此，數(shù)學(xué)概括的過(guò)程，有助于催生學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生進(jìn)行深度的思維加工.

概括要求學(xué)生能去異求同、去粗取精、去偽存真、由表及里、由此及彼，將本質(zhì)屬性從相關(guān)屬性中進(jìn)行抽離、提煉. 通過(guò)數(shù)學(xué)概括，教師不僅能形成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)性認(rèn)知，而且能對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)形成結(jié)構(gòu)性認(rèn)知、關(guān)系性認(rèn)知. 借助問(wèn)題、推理、抽象以及概括，數(shù)學(xué)教學(xué)能掀起學(xué)生思維的千層浪，進(jìn)而有效地提升學(xué)生學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).