關(guān)注自然生成，滲透數(shù)學(xué)思想

吳慧珍

[摘? 要] 在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，唯有掌握了知識(shí)背后的數(shù)學(xué)思想，才能自我生成數(shù)學(xué)知識(shí)，從而掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的核心. 要想在教學(xué)中讓知識(shí)自然生成、滲透數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)教師要從多個(gè)方面做好教學(xué)設(shè)計(jì)，分層次展開課堂教學(xué)活動(dòng)，注重?cái)?shù)學(xué)思想的提煉，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，快速提高數(shù)學(xué)授課質(zhì)量和效率，積極落實(shí)新課改理念和核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)思想;知識(shí);絕對(duì)值

對(duì)于廣大學(xué)生而言，數(shù)學(xué)知識(shí)能夠靈活運(yùn)用的關(guān)鍵在于背后的思想，這也是數(shù)學(xué)學(xué)科的精髓和靈魂. 在多年的教學(xué)過程中筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的掌握并非一蹴而就的，需要數(shù)學(xué)教師在日復(fù)一日的授課中通過講解知識(shí)來逐步滲透，讓他們逐漸感悟和強(qiáng)化.

順應(yīng)認(rèn)知，搭建數(shù)形結(jié)合平臺(tái)

隨著年齡的增長，學(xué)生的認(rèn)知能力也在不斷增強(qiáng). 教師在授課時(shí)要順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知情況，幫助他們運(yùn)用已有認(rèn)知來快速進(jìn)入思考狀態(tài)，從而發(fā)展數(shù)學(xué)能力.

師：同學(xué)們，大家根據(jù)已有生活經(jīng)驗(yàn)，說一下你對(duì)“距離”一詞的理解.

學(xué)生根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)思考如何表達(dá)距離，初步思考完成后，再結(jié)合教材內(nèi)容找到距離的定義，即兩物體在空間或時(shí)間上相隔或間隔的長度.

師：如何求圖1中數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離？請(qǐng)舉例說明. 你認(rèn)為例子中哪種情形較為簡單？

學(xué)生重新思考和觀察數(shù)軸的結(jié)構(gòu)，得到兩種常見求距離的方法：（1）找到數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置，觀察兩點(diǎn)之間相隔的長度;（2）把距離轉(zhuǎn)化為線段再進(jìn)行加減. 在所舉的例子中我們發(fā)現(xiàn)，其中某個(gè)點(diǎn)為原點(diǎn)時(shí)，數(shù)量關(guān)系較為直接，很容易便得到答案.

設(shè)計(jì)意圖？搖 以學(xué)生自身的生活經(jīng)驗(yàn)為切入點(diǎn)，結(jié)合他們對(duì)數(shù)軸的認(rèn)知，能為引入絕對(duì)值的概念做好鋪墊.

關(guān)注需求，構(gòu)建數(shù)形結(jié)合模型

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，實(shí)際問題更有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)教材內(nèi)容、構(gòu)建數(shù)形結(jié)合模型、發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力. 教師要多關(guān)注學(xué)生的需求，要借助現(xiàn)實(shí)問題來提升學(xué)生的建模能力.

師：在點(diǎn)O處，甲、乙兩輛車分別向相反的方向行駛10千米后到達(dá)A，B兩點(diǎn)處. 那么，兩輛車是否有相同的行駛路線？行駛路程是否相同？（如圖2）

學(xué)生紛紛展開討論，回答提出的問題. 在討論過程中，學(xué)生不單單要考慮路程的問題，還要考慮運(yùn)動(dòng)的方向、路線等，這也與日常生活相一致.

師：正式比賽前，裁判員需要對(duì)運(yùn)動(dòng)員賽場所用足球進(jìn)行稱重. 如果克數(shù)超過標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量，用正數(shù)記錄;如果未超過標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量，用負(fù)數(shù)記錄. 下面是裁判員記錄的結(jié)果：-30，+25，-5，+10，-15，+20. 根據(jù)上述稱量結(jié)果，你認(rèn)為哪個(gè)足球的質(zhì)量好一些？依據(jù)剛才的兩道題，你發(fā)現(xiàn)了什么知識(shí)？你還能找到相關(guān)實(shí)例嗎？一般來說，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離就稱為數(shù)a的絕對(duì)值，記作a. 對(duì)于“絕對(duì)值”的定義，你有何看法？

學(xué)生在討論哪個(gè)球最符合標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)不管是超出標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量還是不足標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量，與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量相差越大，說明質(zhì)量越差，由此得到“-5”的球質(zhì)量最好. 在問題的基礎(chǔ)上，延伸到數(shù)學(xué)概念知識(shí)，通過豐富的實(shí)例積累到感性認(rèn)知，再自然地抽象得到“絕對(duì)值”的概念，能讓學(xué)生感受到絕對(duì)值的提出意義和存在價(jià)值.

設(shè)計(jì)意圖 ？搖從學(xué)生熟悉的生活問題出發(fā)，引導(dǎo)他們積極探討并解答，能自然地延伸到“絕對(duì)值”的概念，體會(huì)到絕對(duì)值是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，從而有效發(fā)展自身數(shù)學(xué)思維，感悟其中的數(shù)學(xué)思想.

洞悉規(guī)律，提煉數(shù)形結(jié)合思想

初步理解數(shù)學(xué)概念后，教師不妨給出一些實(shí)例來引導(dǎo)學(xué)生從中提煉和洞悉規(guī)律，找到數(shù)學(xué)知識(shí)背后隱藏的規(guī)律，從而提煉出絕對(duì)值的相關(guān)性質(zhì).

師：大家以小組為單位，說出7，-6，-0.5，0，- 的絕對(duì)值. 如果不用數(shù)軸，你們是否能說出它們的絕對(duì)值？能否說一下思路？

學(xué)生以小組為單位來舉例說出一些數(shù)的絕對(duì)值. 并在不用數(shù)軸的情況下說出那些數(shù)的絕對(duì)值. 在這道題中，筆者的意圖是讓學(xué)生把數(shù)軸內(nèi)化，從內(nèi)心來運(yùn)用好數(shù)軸這一工具，發(fā)展自身的數(shù)學(xué)綜合能力.

師：有以下三組數(shù)——（1）41，0.5，

4.2， ，1001;（2）-5，-2.1，-0.14，- ，-2648;（3）0. 大家說出這三組數(shù)中每個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，看從中能提煉出哪些規(guī)律，再列舉出其他例子來加以驗(yàn)證.

學(xué)生先寫出上述三組數(shù)中每個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，試圖發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，卻發(fā)現(xiàn)各個(gè)數(shù)之間并沒有什么規(guī)律. 實(shí)際上，對(duì)于七年級(jí)的學(xué)生來講，完整地歸納出絕對(duì)值的相關(guān)性質(zhì)并不容易，這就有賴于教師引導(dǎo)他們進(jìn)行交流、探討和完成. 在性質(zhì)歸納環(huán)節(jié)，可先由學(xué)生得到絕對(duì)值，然后引導(dǎo)他們判斷絕對(duì)值的符號(hào)，帶領(lǐng)他們發(fā)現(xiàn)：正數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是其自身的相反數(shù)，0是一種特殊情況. 求出三組數(shù)的絕對(duì)值后，學(xué)生再把問題一般化，接著進(jìn)行總結(jié)概況，得到絕對(duì)值的性質(zhì)，以加深對(duì)知識(shí)的理解和掌握.

設(shè)計(jì)意圖 ？搖在理解絕對(duì)值概念的基礎(chǔ)上，學(xué)生根據(jù)定義來求數(shù)的絕對(duì)值，再由求解過程思考其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)規(guī)律，以加深他們對(duì)絕對(duì)值概念的理解.

變式訓(xùn)練，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合優(yōu)勢(shì)

隨著學(xué)習(xí)的深入，普通試題已無法滿足學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，這就要求教師進(jìn)行變式訓(xùn)練，發(fā)散他們的數(shù)學(xué)思維，從更深層次來解決教材內(nèi)容. （1）判斷下列說法是否正確：①絕對(duì)值最小的數(shù)是0，最大的數(shù)不存在;②一般而言，一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值越大，在數(shù)軸上該數(shù)越靠右;③一般而言，一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值越大，在數(shù)軸上該數(shù)就離原點(diǎn)越遠(yuǎn). （2）如果兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，那么它們倆的絕對(duì)值______. （3）a和b在數(shù)軸上的位置如圖3，判斷a與b兩個(gè)數(shù)的大小關(guān)系.

在本環(huán)節(jié)中，學(xué)生要從宏觀角度來感知絕對(duì)值. 上述3道試題與絕對(duì)值的定義及性質(zhì)有著緊密的聯(lián)系：對(duì)于問題（1），需要學(xué)生從宏觀角度進(jìn)行驗(yàn)證;對(duì)于問題（2），學(xué)生舉出實(shí)例1和-1互為相反數(shù)，兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值均是1;對(duì)于問題（3），則需要判斷兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離大小關(guān)系，根據(jù)圖來推斷，從而得到a

設(shè)計(jì)意圖 ？搖上述三道題并非簡單的求絕對(duì)值問題，而是根據(jù)定義進(jìn)行變化，有助于拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，可以借助數(shù)形結(jié)合思想來深入探討，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢(shì).

分析因果，顯化數(shù)形結(jié)合思路

講解完上述試題后，學(xué)生會(huì)有一種意猶未盡的感覺，此時(shí)教師不妨趁熱打鐵地來繼續(xù)深入引導(dǎo)學(xué)生挖掘內(nèi)在的因果關(guān)系，從而顯化數(shù)形結(jié)合思路，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的吸收和理解.

教師布置下列三道試題：（1）在數(shù)軸上，某個(gè)數(shù)與其相反數(shù)之間的距離為8，那么這個(gè)數(shù)為_____;（2）結(jié)合數(shù)軸來看，絕對(duì)值小于5的整數(shù)有_____;（3）已知a=4，b=1，且a

上述三道試題的難度逐步加大. 對(duì)于問題（1），要選擇絕對(duì)值等于4作為解題的切入點(diǎn);對(duì)于問題（2），要在理解絕對(duì)值的幾何意義的基礎(chǔ)上進(jìn)行討論;對(duì)于問題（3），則要根據(jù)絕對(duì)值的定義來找到a與b可能的值，再根據(jù)條件進(jìn)行取舍. 三道試題要求學(xué)生思維靈活，教師則要注重引導(dǎo)他們深入理解和閱讀試題信息，從而找到解題方法.

解答完后，教師可以再布置兩道題供學(xué)有余力的學(xué)生練習(xí)：（1）數(shù)軸上存在兩點(diǎn)，與原點(diǎn)的距離分別為3和4，那么這兩點(diǎn)之間的距離為多少？（2）已知a，b，c三點(diǎn)滿足a<0，b<0，c>0，且c>b>a，請(qǐng)?jiān)跀?shù)軸上畫出上述三點(diǎn)的大致位置.

問題（1）要考慮到多種情況，問題（2）要從c>b>a來判斷各點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，再確定大致位置，或考慮a，b，c的符號(hào)，根據(jù)絕對(duì)值的大小來判斷它們與原點(diǎn)之間的距離.

設(shè)計(jì)意圖 ？搖拔高題引導(dǎo)班級(jí)中的學(xué)生向更深層次思考，發(fā)散他們的數(shù)學(xué)思維，從而形成靈活處理問題的能力，品味蘊(yùn)含在其中的數(shù)形結(jié)合思想.

課堂小結(jié)

在班級(jí)學(xué)習(xí)中，由于個(gè)體差異，學(xué)生對(duì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來理解絕對(duì)值的問題的理解各不相同. 面對(duì)這一情況，筆者會(huì)邀請(qǐng)班級(jí)學(xué)生分享學(xué)習(xí)心得，讓他們相互借鑒學(xué)習(xí)方法和觀點(diǎn)，豐富學(xué)習(xí)思想，從而實(shí)現(xiàn)資源共享. 在本節(jié)課的教學(xué)中，學(xué)生要基于自身經(jīng)驗(yàn)來定義距離→結(jié)合實(shí)際問題來構(gòu)建絕對(duì)值模型→結(jié)合知識(shí)點(diǎn)，歸納絕對(duì)值的性質(zhì)→通過變式，感受數(shù)形結(jié)合的優(yōu)點(diǎn)，形成解答問題的思路→綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)思想來解答數(shù)形結(jié)合試題. 教學(xué)環(huán)節(jié)各自獨(dú)立卻又環(huán)環(huán)相扣，每一環(huán)節(jié)都有所側(cè)重，且照顧到班級(jí)每個(gè)層次的學(xué)生，使他們易于接受絕對(duì)值知識(shí)，在課堂學(xué)習(xí)中默默體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，形成有層次的學(xué)習(xí)漸進(jìn)過程.

總之，教師要做好絕對(duì)值教學(xué)離不開數(shù)形結(jié)合思想的講解過程準(zhǔn)備. 唯有讓學(xué)生的知識(shí)自然生成，掌握有“思想”的知識(shí)，才能提升自身的數(shù)學(xué)能力，發(fā)展數(shù)學(xué)思維.