求收斂的數(shù)項級數(shù)“和”的若干典型方法

◎黃毅蓉 （成都航空職業(yè)技術學院，四川 成都 610100）

1 引言

2 方法論述

2.1 利用數(shù)項級數(shù)自身求數(shù)項級數(shù)的“和”

2.1.1 直接求解法（定義法）

例1求級數(shù)的和.

解由上，此時

說明：只要等比級數(shù)滿足公式（1） 的條件，均可以用公式（1） 求和.

2.1.2 方程式法

方程式法是利用一些運算技巧對部分和數(shù)列構造方程表達式，進而得到部分和數(shù)列的和式表達，再取極限求得數(shù)項級數(shù)的“和”.

例2求數(shù)項級數(shù)的和.

解可以判定此級數(shù)是收斂且絕對收斂.設sn＝1－

上面兩式相加有：

2.1.3 通項拆項法

通項拆項法是將數(shù)項級數(shù)的通項進行拆分，將部分和數(shù)列簡化后再取極限求數(shù)項級數(shù)的“和”.

定理1數(shù)項級數(shù)若un＝an － an＋1，且a，則

例3求級數(shù)的和.

定理1 的一種變形為：

例4求級數(shù)的和.

解此時數(shù)項級數(shù)的通項

由an＝n，且

2.1.4 間接求和法

間接求和法是通過級數(shù)運算、級數(shù)性質(zhì)將某些未知的數(shù)項級數(shù)表示為已知的收斂級數(shù)的線性組合，從而求得“和” 值.

2.2 利用冪級數(shù)求數(shù)項級數(shù)“和”

2.2.1 冪級數(shù)定值法

利用冪級數(shù)定值法的關鍵在于針對收斂的數(shù)項級數(shù)構造一個對應的冪級數(shù).

例6求數(shù)項級數(shù)的和.

解構造形如的冪級數(shù)，當x＝ 3 時即為上述數(shù)項級數(shù).

逐項求導，得

2.2.2 冪級數(shù)阿貝爾定理法

阿貝爾的冪級數(shù)連續(xù)定理：

在應用阿貝爾定理求數(shù)項級數(shù)和時，首先要依據(jù)所給數(shù)項級數(shù)適當?shù)卦O置一個冪級數(shù)，再求出此冪級數(shù)的和函數(shù).定理表明和函數(shù)在x＝1 處是左連續(xù)的，最后對和函數(shù)求極限，從而求出收斂數(shù)項級數(shù)的和.

例7求數(shù)項級數(shù)的和.

解構造冪級數(shù)其收斂區(qū)間是（－1，1］.

2.3 利用傅里葉級數(shù)求數(shù)項級數(shù)“和”

nancosnωx0＋bnsinnωx0，而x0是傅里葉級數(shù)展開式收斂區(qū)間的點，所以有此法也稱傅里葉級數(shù)的定值法.

例8求數(shù)項級數(shù)的和.

解將［－π，π］上的函數(shù)f（x）＝x2做周期為2π 的周期延拓，并做傅里葉級數(shù)展開.

因為f（x）＝x2為偶函數(shù)，

2.4 利用復級數(shù)求數(shù)項級數(shù)“和”

利用復級數(shù)求數(shù)項級數(shù)和的方法一般稱為三角級數(shù)法，主要是求級數(shù)的和，通常把它們視為復數(shù)域內(nèi)的復級數(shù)此時z＝eix， 然后對求和，并將其展成實部與虛部，則所求級數(shù)就是此復級數(shù)的實部與虛部對應的系數(shù)，從而求出“和”.

例9求的和.

解因為 cosnπ＝ （－1）n，n＝ 0，1，2，…所以

令z＝eix，考慮復級數(shù)

有 ez＝ eeix＝ ecosx＋isinx＝ ecosx·eisinx＝ ecosx［cos（sinx） ＋isin （sinx）］.

取x＝ π，得

3 結束語

求收斂的數(shù)項級數(shù)“和”是級數(shù)理論中的一個重點與難點，教學過程中因?qū)W時限制不能做系統(tǒng)地介紹，本文歸納和總結了一些典型的求“和”方法，主要涉及利用數(shù)項級數(shù)、冪級數(shù)、傅里葉級數(shù)及復級數(shù)的分析性質(zhì)、和函數(shù)及函數(shù)的級數(shù)展開等對收斂的數(shù)項級數(shù)求“和”，有助于學生對級數(shù)理論的深入理解和提高.